第02講等比數(shù)列

目錄

題型一：重點考查驗證是否為等比數(shù)列中的項............................1

題型二：重點考查判斷、證明等比數(shù)列..................................2

題型三：重點考查等比數(shù)列角標和性質(zhì)..................................3

題型四：重點考查等比數(shù)列函數(shù)特征....................................4

題型五：重點考查等比數(shù)列基本量計算..................................5

題型六：重點考查等比數(shù)列片段和性質(zhì)..................................6

題型七：重點考查等比數(shù)列奇偶項和....................................7

題型一：重點考查驗證是否為等比數(shù)列中的項

典型例題

例題1.(2020下?陜西西安?高一高新一中?？茧A段練習)在各項均為負數(shù)的數(shù)列｛4｝中，已知

24=3%(〃eN)且吟.

(1)求｛〃”｝的通項公式；

(2)試問-或是這個數(shù)列中的項嗎？如果是，指明是第幾項：如果不是，請說明理由.

OI

精練核心考點

1.（2023?全國福二課堂例題）已知等比數(shù)列｛%｝的首項為％=27,公比g=

⑴求6；

（2）判斷18是否是這個數(shù)列中的項，如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由.

題型二：重點考查判斷、證明等比數(shù)列

典型例題

例題1.（2024上?天津河東?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛勺｝的前〃項和為S.,若%+2=2S〃（〃eN“），則有

（）

A.｛〃“｝為等差數(shù)列B.｛《,｝為等比數(shù)列

C.⑸｝為等差數(shù)列D.母｝為等比數(shù)列

例題2.（多選）（2023上?河南濮陽?高二范縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知乩｝是等比數(shù)列，則下列數(shù)

列一定是等比數(shù)列的是（）

A.m+1｝B.｛3ait｝C.忖｝D.

例題3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝的首項4=+，且滿足可”=:1,"=一-

⑴求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

精練核心考點

1.（2023上?河南周口?高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，前〃項積為7；，滿足S.=24-1,

則噫牛=（）

A.45B.50C.55D.60

2.（2024上?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列｛q｝的前“項積為7；=（石）'+"，則｛4｝的前八項和

S,=.

題型三：重點考查等比數(shù)列角標和性質(zhì)

典型例題

例題1.（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列｛q｝中，外的是方程f-8x+2=0的兩根，貝I」竽二（）

%

A.&B.-72C.±V2D.3±石

例題2.（2023卜?江蘇常州?高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列｛q｝滿足①=2.6+6+4=26,則/+%+見=

（）

A.26B.78C.104D.130

例題3.（2023下?高二課時練習）已知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列.

（1）若4+々+/=21,4%。3=216,求勺；

⑵若6%=18,a4a=72,求公比夕.

精練核心考點

1.（2017上嚀夏石嘴山?高二石嘴山市第三中學?？计谥校┤舻缺葦?shù)列｛/｝滿足4?4+2%?％+《?4=36,

則%+%等于（）

A.6B.±6C.5D.±5

2.（2023上?河南?高二校聯(lián)考階段練習）在正項等比數(shù)列｛q｝中，師，則幾｝的公比為

（）

A.-2或3B.3C.2或一3D.2

3.（2024上?黑龍江牡丹江?高三處丹江市第二高級中學校聯(lián)考期末）在正項等比數(shù)列｛4｝中，已知

?？?%=4,。洶4=8，。4用勺+2=128，則"=.

題型四；重點考查等比數(shù)列函數(shù)特征

典型例題

例題1.（多選）（2023上?重慶?高二重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4,其前

〃項和為S”，前〃項積為，，且滿足條件4>1,%022%023>1，（為22-1）（%023-1）<°，則下列選項正確的是

（）

A.°<1B.SjQ22>,2023-1

C.723是數(shù)列｛4｝中的最大項D.^<1

例題2.（多選）（2023上?廣東深圳?高三深圳市寶安中學（集團）校考階段練習）設(shè)公比為4的等比數(shù)列｛q｝

的前〃項和為S”，前〃項積為且4>1,*外24>1，&*<°，則下列結(jié)論正確的是（）

a2O24-1

A.。<夕<1B.S2023s20M-1>0

C.（如是數(shù)列工｝中的最大值D.4。23是數(shù)列億｝中的最小值

例題3.（2022上?廣東東莞?高三?？茧A段練習）已知等比數(shù)列｛%｝均為正數(shù)，4=1024,且4s4=5$2，（S,

為伍”｝的前〃項和）

（1）求數(shù)列伍“｝的通項公式;

（2）若7；是數(shù)列｛七｝的前〃項積,請求出7；,及當。取最大值時對應(yīng)的〃的值.

精練核心考點

1.（多選）（2023上?江蘇南通?高二統(tǒng)考期中）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的前〃項積為7；,且滿

足。<4<1,+1<a.a+<2,則（）

A.（）V<1B.〃2023〃2025>1

C.對任意的正整數(shù)〃，有刀；北X7D.使得7；>1的最小正整數(shù)〃為4047

2.（多選）（2023上?甘肅武威?高二天祝藏族自治縣第一中學?？茧A段練習）關(guān)于遞減等比數(shù)列應(yīng)｝，下

列說法正確的是（）

A.當4>。時，OvqvlB.當4>0時，q<0

C.當％<0時，］>1D.~^~<1

3.（2023下?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列｛可｝滿足

2%+2+q=3q+1，4=1,%=5,記4（〃，a?）,B（n,9）,。為坐標原點，則△Q4B面積的最大值

為.

題型五：重點考查等比數(shù)列基本量計算

典型例題

例題1.（2022上?陜西咸陽?高二咸陽市實驗中學?？奸_學考試）記S“為等比數(shù)列m｝的前〃項和.若

S、=168,4—%=42,貝ij%=()

A.24B.12C.6D.3

例題2.（多選）（2023上?河南三門峽?高三陜州中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“,

公比為令，則下列選項中錯誤的是（）

A.若邑=4,$6=12,則Sg=29

3

B.若4=1，q=j貝lJS”=4—3a”

4

C.若見+叼=2,牝6=-8,則4+40=-6

D.若q=1,6=4%，則an=2"」

例題3.（2023?全國?高二課堂例題）設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S”，若§3=（,§6吟，求

精練核心考點

1.12022?陜西西安?統(tǒng)考一模）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為儲若公比＞1,%=8,4+%=2。,

則邑二（）

A.15B.20C.31D.32

2.（2022上?陜西咸陽?高二咸陽市實驗中學校考階段練習）設(shè)正項等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為工，若

2S?=3%+8〃],SR=2s7+2,則％=.

3.（2023下?：!匕京西城?高二統(tǒng)考期末）在等比數(shù)歹U｛q｝中，若％+出=-6,%+%=—24,則%+緣=.

題型六：重點考查等比數(shù)列片段和性質(zhì)

典型例題

例題1.（2024上?天津?高二天津力第一百中學校聯(lián)考期末）已知S”為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，S°=-21,

54=5S2,則S?=（）

例題2.（2023下?河南洛陽?高二校聯(lián)考階段練習）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若率=5,則興=（）

d5dIO

31521

A.—B.—C.—D.3

245

例題3.（2023?高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，Sln=20,則%-25“+’。的最

小值為.

精練核心考點

1.（2024上?黑龍江哈爾濱?高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學校聯(lián)考期末）記S”為等比數(shù)列｛《,｝的前

〃項和，若$3=3,S6=9,則凡=（）

A.48B.81C.93D.243

2.（2023下湖北宜昌,高二校聯(lián)考期中）己知等比數(shù)列｛為｝的前"項和為S”，且4>0,若56一0九三38,

則$24=（）

A.27B.45C.65D.73

3.（2023上?內(nèi)蒙古赤峰?高三赤峰二中?？茧A段練習）設(shè)等比數(shù)列｛&｝的前〃項和是S”.已知*=30,

§6=120,貝［券=.

題型七：重點考查等比數(shù)列奇偶項和

典型例題

例題1.（2023上?重慶?高二重慶一中校考期中）已知等比數(shù)列｛4,｝有2〃+1項，％=1,所有奇數(shù)項的和為

85,所有偶數(shù)項的和為42,則〃=（）

A.2B.3C.4D.5

例題2.（2022下?江西南昌?高一南昌二中階段練習）已知一個等比數(shù)列首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項

之和為85,偶數(shù)項之和為170,則這個數(shù)列的公比和項數(shù)分別為（）

A.8,2B.2,4C.4,10D.2,8

例題3.（2023上?高二課前預(yù)習）［1）在等比數(shù)列｛〃”｝中，已知邑=48,J=60,求，

（2）一個等比數(shù)列的首項是1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求此數(shù)列的公比和

項數(shù).

精練核心考點

1.（2022下?浙江?高一校聯(lián)考期中）已知一個等比數(shù)列首項為I,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)

項之和為170,則這個數(shù)列的項數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考三模）等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，所有得奇數(shù)項之和為85,所有的偶數(shù)

項之和為170,則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.10

3.（2022?全國?高三專題練習）已知一個等比數(shù)列首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為341,偶數(shù)項之

和為682,則這個數(shù)列的項數(shù)為

第02講等比數(shù)列

目錄

題型一：重點考查驗證是否為等比數(shù)列中的項............................1

題型二：重點考查判斷、證明等比數(shù)列..................................2

題型三：重點考查等比數(shù)列角標和性質(zhì)..................................3

題型四：重點考查等比數(shù)列函數(shù)特征....................................4

題型五：重點考查等比數(shù)列基本量計算..................................5

題型六：重點考查等比數(shù)列片段和性質(zhì)..................................6

題型七：重點考查等比數(shù)列奇偶項和....................................7

題型一：重點考查驗證是否為等比數(shù)列中的項

典型例題

例題1.(2020下?陜西西安?高一高新一中?？茧A段練習)在各項均為負數(shù)的數(shù)列｛4｝中，已知

24=3%(〃eN)且吟.

(1)求｛〃”｝的通項公式；

(2)試問-或是這個數(shù)列中的項嗎？如果是，指明是第幾項：如果不是，請說明理由.

OI

2丫“

【答案】(1)%=(2)是這個數(shù)列中的項，是第6項

3>

【詳解】解：(1)?.?24,=34川(〃￡").A^=(,又???數(shù)列｛〃”｝的各項均為負數(shù)，「.qc。

二.數(shù)列｛q｝是以:為公比的等比數(shù)列，.?.凡2丫7

3,

/=q.仔]：，又〃心:《

…｛（I亨5]（3）81-38127

n-2

29r八3

ci[=-,乂CL=--,〃€N'）.

421

2丫-2

(2)令q=—?貝1」"-2=4,n=6wN",

3;81

.?.-或是這個數(shù)列中的項，且是第6項.

OI

精練核心考點

1.(2023?全國?高二課堂例題)已知等比數(shù)列乩｝的首項為q=27,公比q=

⑴求。8；

(2)判斷18是否是這個數(shù)列中的項，如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由.

【答案】嗚

(2)不是,理由見解析

(1)由等比數(shù)歹I」的通項公式可知。8=4,=27x(；)=1

【詳解】

、〃一1n-4

（2）a=27x-J

n-4

設(shè)18是數(shù)列中的第〃頂，則r=18,

3）

化簡得32-〃=2,因為這個方程無正整數(shù)解,

所以18不是數(shù)列中的項.

題型二：重點考查判斷、證明等比數(shù)列

典型例題

例題1.(2024上?天津河東?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為若可+2=2S”(〃￡N”)，則有

()

A.｛4｝為等差數(shù)列B.｛凡｝為等比數(shù)列

C.⑸｝為等差數(shù)列D.母｝為等比數(shù)列

【答案】B

【詳解】AB選項，當〃=1得q+2=2q,解得4=2,

4+2=2S"（〃wN'）①，當〃22時，％+2=2Sw②

式子①-②得4,一%、=2c”，故4=-1,

所以｛q｝為2,-2,2,-2…，是公比為7的等比數(shù)列，A錯誤，B正確；

CD選項,由于S=2,$2=0,S3=2,故S「S產(chǎn)S「S?,故｛Sa｝不是等差數(shù)列，

由于Sz=0,故｛&｝不是等比數(shù)列，CD錯誤.

故選：B

例題2.（多選）（2023上?河南濮陽?高二范縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知｛4｝是等比數(shù)列，則下列數(shù)

列一定是等比數(shù)列的是（）

A.｛4+1｝B.｛3qJC.｛a；｝D.｛.-弓｝

【答案】BC

【詳解】不妨設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4.

對于A選項，不妨取數(shù)列｛4｝展開為2,4,8,16…，則｛《,+1｝展開為3,5,9,17…，顯然不是等比數(shù)列，故A項

錯誤；

對于B選項，由守■=4曰=/則數(shù)列｛3可｝為等比數(shù)列，故B項正確：

對干C選項，由結(jié)=（馱）2=八則數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，故C項正確；

對FD選項，當4-1時，數(shù)列｛/-4｝為首項為0的常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D項錯誤.

故選：BC.

例題3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列乩｝的首項4=g,且滿足%+L今r%《一；.

⑴求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

【答案】（1）證明見詳解

【詳解】（1）因為%々二――

%+4%2

8%

44------

_q,+4_4—％I21

所以/褊彳％”N?，乂4=——5=1,

2a向2x-^^24Z

4+4

所以數(shù)列｛2｝是以1為首項，以g為公比的等比數(shù)列.

精練核心考點

1.（2023上?河南周口?高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，前〃項積為7；，滿足S.=24-1,

則噫牛=（）

A.45B.50C.55D.60

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意：S,=2a”—1,S,T=24T-1，

兩式作差可得%=2。"_|,當,2=1時，4=1,

所以數(shù)列｛4｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，

所以2'",與=6?6?.?《2=（%?。9）'=（2”了=260,

所以4=60,

故選：D.

2.（2024上?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列｛《,｝的前〃項積為7；=（V5）"'r,則｛?,｝的前〃項和

S“=?

q〃+l_a

【答案】

2

［詳解］因為數(shù)列｛an｝的前〃項積為Tn=（G嚴”

所以當另=1時,q=（百產(chǎn)=3,

當〃之2時，a“=M=朋）；（二廣=3”,

a（v3）（n-,）+（w-0'7

因為當〃=1時，3=4，

所以q=3".

Z74”

因為廣=*=3（心2）,

an-\°

所以數(shù)列｛q,｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

所以S二生二工1=生二）=莖二1

w1-322

-3

故答案為:

2

題型三：重點考查等比數(shù)列角標和性質(zhì)

典型例題

例題1.（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列｛叫中，％,%是方程f—8.r+2=（）的兩根，則”/=（）

“6

A.0B.-V2C.±72D.3土石

【答案】A

【詳解】因為｛%｝是等比數(shù)列，且包，/是方程f—8x+2=（）的兩根，所以：且4＞（），%＞（）.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得：&q=%q=a：=2,且%＞。，所以《二夜

故選：A

例題2.（2023上?江蘇常州?高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=2,q+%+%=26,則%+%+%=

（）

A.26B.78C.104D.130

【答案】B

【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為4，

根據(jù)已知可得，％+/+%=6（1-夕2+/）=2（1+"+94）=26,

所以，1+d+（力LB解得^=3,

所以，6+牝+%=+//+=/（4+q+%）=3x26=78.

故選：B.

例題3.（2023下?高二課時練習）已知數(shù)列｛〃”｝為等比數(shù)列.

（1）若4+%+/=21,4=216,求知；

⑵若。必=18,。必=72,求公比q.

【答案】⑴氏=3-2〃T或%=12七『

（2）±72

【詳解】（1）q=嬉=216,/.fl2=6,

qy=36.

又4+%=21-%=15,

4,4是方程一一151+36=0的兩根3和12.

當4=3時，4=生=2,a“=32i；

a\

6八1(1丫T

當4=12時,q=—=-,=12--;

%2a，⑴

44

(2)a4a8=%?q?6?q'=aya5q=18^=72,

<?4=4,/.q=±5/2.

精練核心考點

1.(2017上嚀夏石嘴山?高二石嘴山市第三中學?？计谥?若等比數(shù)列｛叫滿足aq+2a/%+4q=36,

則出+%等于()

A.6B.±6C.5D.±5

【答案】B

(詳解】解：,等比數(shù)列｛6｝滿足%+2%'為+%?=36,

2

+2%?%+a；=(4+a7)=36,

%+%=±6.

故選：B.

2.(2023上?河南?高二校聯(lián)考階段練習)在正項等比數(shù)列｛q｝中，%+4+4=7向？，則｛〃“｝的公比為

()

A.-2或3B.3C.2或一3D.2

【答案】D

【詳解】由題意得生+物+效2=7后,得%(1+4+,)=7同,

由?！?gt;。，得l+g+q2=7,得9=2或一3(舍去).

故選：D.

3.(2024上?黑龍江牡丹江?高三吐丹江市第二高級中學校聯(lián)考期末)在正項等比數(shù)列｛4｝中，已知

1卬%=4,%%%=&。“勺+4+2=128，則n=.

【答案】16

【詳解】因為％生%=4,所以a：J=4,因為5a6=8,所以4獷=8,

所以“=2,4rq+閥“+2=128,所以〃％"=128,

.?./-3=32=/5,所以〃=16.

故答案為：16.

題型四：重點考查等比數(shù)列函數(shù)特征

典型例題

例題1.（多選）（2023上?重慶?高二重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心其前

〃項和為S”，前〃項積為，，且滿足條件卬>1,4022。2023>1，（段022-1）（“2023-1）<。，則下列選項正確的是

（）

A.0<q〈IB.$2022>S2023—1

C./。23是數(shù)列｛1｝中的最大項D.T4W<\

【答案】AB

【詳解】?二（^202211）（02023?1）〈。，，“2022-1“2023一】<°或“2022一]<“2023一】>。，Q4>】，“2022“2023>1，

。2022，42023同號，

且心必小，/013<1，即數(shù)列前2022項大丁1,從笫2023項開始小丁1,

對于A,^=—<1,且易知q>0,故A正確，

fl2O22

對于B,易知。2023<1，故S2023—‘2022<]，1^2022>^2023―B正確，

對于C,由題意知｛4｝是遞減數(shù)列，且生022>1，/023<1，故及22是數(shù)列｛1｝中的最大項，故C錯誤，

對于D,小3=4??…。碇=」3.產(chǎn)業(yè)—=（%片>1,故D錯誤,

故選:AB

例題2.（多選）（2023上?廣東深圳?高三深圳市寶安中學（集團）?？茧A段練習）設(shè)公比為4的等比數(shù)列｛6｝

的前〃項和為S“，前〃項積為小且q>l,402gm>1,絢=<0,則下列結(jié)論正確的是（）

°2024T

A.0V“V1B.S2023S2O24-1>0

C.心”是數(shù)列｛G中的最大值D.第023是數(shù)列｛G中的最小值

【答案】AB

【詳解】當。<。時，則。如必旃=。，”。，不合乎題意；

當心1時，對任意的〃eN*,勺=4/>0,且有智="1,

a—]

1'1得〃〃+1—?可得?“20242&）2324>1,此時7>°?

&）24-I

與題干不符，不合乎題意；故。<夕VI,故A正確；

對任意的刀eN\q=4/>0,且有?=”1,可得。向<生，

此時，數(shù)列｛〃“｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則。的>。初4，

結(jié)合%023一;<0可得0<1024V1<%。23，

“2024-1

結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得4>1(〃w2023),0<%<1522024),

故52023>2023a2023>2023>1,52024=§2023+“2024>2023>1，

*'?%24>$2023>1nS2024s2023一1>。,故B1E確；

因為。V<1<%⑦，數(shù)列｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

所以&23是數(shù)列｛1｝中的最大值，故CD錯誤.

故選:AB.

例題3.(2022上?廣東東莞?高三?？茧A段練習)已知等比數(shù)列｛%｝均為正數(shù)，q=1024,且4s4=552,(S.

為｛《』的前〃項和)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若7；是數(shù)列｛/｝的前〃項積，請求出r“，及當7；取最大值時對應(yīng)的〃的值.

【答案】⑴見=2g(〃wN?)

n(2l-n)

⑵1=2^^,〃=10或11

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列『”｝的公比為q,則4>o,

當q=1時，4S/5s2,不合題意；

當"1時，由條件可得4K40_勺：)_5.4°_于)，

1-c/\-q

化簡得4(l-^)=5(l-d),則詈=：；

故1+/=；,又q>0,解得夕=；,

■1

(1y-',、

從而=4〃"”=1024x|—=21

k2,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=2"-"(〃eN，)

(2)若，是數(shù)列｛%｝的前〃項積，則1=2隈29』.》2"-"=2(2~'=2'2)

7；取最大值時，當且僅當仁也取最大值

因”(21-〃)為\(21丫卜4丁41，

又?w(10,ll),所以當〃=10或II時，吟幻取最大值

故當7；取最大值時刀=10或11.

精練核心考點

1.（多選）（2023上?江蘇南通高二統(tǒng)考期中）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的前〃項積為且滿

足°<4<1,〃2023。2024+1<。2023+“234<2,貝lj()

A.（）<q〈lB.42023生025>1

C.對仟意的正整數(shù)〃，有力之「的D.使得。>1的最小正整數(shù)〃為4047

【答案】BD

【詳解】由于｛q｝為正項等比數(shù)列，所以4>。,

111"2023〃2024+<“2023+“2024?得。2023。2024+1-4()23一。2024<°?

所以（。2023—1）（〃2024—1）<。，

若0<”1,則｛q｝為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，由于0<4<1,所以0<%。23<1，。<生024〈I，

此時不滿足（4陽一D（生皿-1）<0，故A錯誤，

當4=1時，此時6023=電必=4?°，1），顯然不滿足（。2023-1）（%24-1）<0，

當">1，則｛q｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，由于。<%<1和（.23T）（。如4-1）<?？傻?</。23<U2024>1，

外021“2025=（〃2024）2?因為。2024>1，所以。2023。2025>?所以B正確：

對于C,當“N2024時,an>1,當〃W2023時，0<an<l,

則1的最小值為q23,故對任意的正整數(shù)“，有工？n023,故C錯誤，

a=

對于D,乂勺023+“2024<2,貝!]42014V2-勺⑵,故々2024。2023<（22O23）^2023（%）23?1<1'

加=4出….0*=。黑>1，加=（囁必⑼嚴<1，所以使得的最小正整數(shù)〃為4047,故D止確.

故選：BD.

2.（多選）（2023上?甘肅武威?高二天祝藏族自治縣第一中學?？茧A段練習）關(guān)于遞減等比數(shù)列｛4｝,下

列說法正確的是（）

A.當q>0時，。vqvlB.當q>0時，q<（）

4<1

C.當時，“>1D.

【答案】AC

【詳解】A.當%>。，0<夕<1時，從第二項起，數(shù)列的每一項都小于前一項，所以數(shù)列｛%｝遞減，A正確;

B.當4〉。，夕<（）時，｛〃“｝為擺動數(shù)列，故B錯誤;

C.當q<0,“>1時，數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，故C正確;

Hx

D.a^t-a?=axq'（^-1）<0,當—>0時,q<\,此時——>1,當q<。時，<7>I,—故D錯誤.

4+14”+i

故選：AC.

3.（2023下?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列｛〃/滿足

2q+2+凡=3。2，％=1,%=5,記A（〃，%）,8（〃，9）,。為坐標原點，則△048面積的最大值

為.

【答案】4

[詳解】因為為“+2+凡=X+1，所以2%2-2%=4.1-a?,

即%+2一。川=3（4“一凡），

因為%-4=4,所以｛《.「叫是以4為首項g為公比的等比數(shù)列，

所以々“+[-?！?4?g,由累加法得：

I/]Y"

所以=a｝+（生一4）+…a”J=l+4+4x—+…+4x—

因為24一”>0,所以〃“=9-2j<9,

S&s一;IA0?，一：(9-9+2-b,一〃?盧

乙乙

令函數(shù)/(〃)=〃"-“，則/5+1)-/(〃)=(〃+1)?22-“一〃.23-"=(1-〃).22-".

當“N1時，/(〃+1)-/(〃)W0,而/(1)=/(2),所以/(〃)在口”)上單調(diào)遞減.

/(回2=/⑴=/⑵=4,故△O4B面積的最大值為4.

故答案為：4.

題型五：重點考查等比數(shù)列基本量計算

典型例題

例通1.（2022上?陜西咸陽?高二咸陽市實驗中學?？奸_學考試）記5.為等比數(shù)列｛q｝的前〃項和.若

53=168,生一生二42,貝ijaA=（）

A.24B.12C.6D.3

【答案】B

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為9，

若￡=168,%_6=42,則q+qq+qg2=168,qq_q4,=42,

兩式相除得霽即品=4,解得舊，從而4=96,

則％=%/=96x1=12.

8

故選：B.

例題2.（多選）（2023上?河南三門峽?高三陜州中學校考階段練習）已知等比數(shù)列｛a,,｝的前F項和為S”,

公比為4,則下列選項中錯誤的是（）

A.若邑=4,S6=12,則Sg=29

3

B.若，,則……

C.若〃」+〃7=2,〃，q二-8,貝lJq+q0=-6

1

D.若q=1,a$=4a3>則cin-2"

【答案】ACD

【詳解】對A選項：由等比數(shù)列等距片段的性質(zhì)有合二發(fā)

即亡了二k'解得S—溫故A錯誤;

對B選項:a**、3=1.圖,

<4,4

f3)

4-3%4-3--二4.嗚即"=4-3可，故B正確;

%a,==4-2或|

對C選項：由4%=火必=-8,又2+。7=2,解得，

；a.=—42時，即1

當M1叫q_^2，故4+4。=1+(#(-2))=1一8=—7。-6,故C錯誤;

對D選項：由6=46，有”=斤=4,即4=±2,故a.=2i或%=（-2廣，故D錯誤.

ai

故選：ACD.

例題3.（2023?全國?高二課堂例題）設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S“，若身=＜，S,,=黑求明.

【答案】4=2-2

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛/｝的公比為4工（），

若4=1,則SG=2S3,這與已知S,=:,S,,#是矛盾的，所以"1,

乙4

從而邑二"Lz.竺.

\-q26\-q2

將上面兩個等式的兩邊分別相除，得1+/=9,解得夕=2,

由此可得q=：,因此=gx2"-=2"".

精練核心考點

1.[2022?陜西西安?統(tǒng)考一模）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為5.，若〃“>0,公比“>1,%=8,4+4=2。,

貝監(jiān)二（）

A.15B.20C.31D.32

【答案】A

【詳解】在等比數(shù)列｛q｝中，?！?gt;。，4則｛〃”｝為遞增數(shù)列，%%=。；=64,

%+%=20.—

由已知條件可得<=64,解得:,.?.4=/生=2,4=q=1,

見二16N/q

因此，S—吐2=以匕）=5

\-q1-2

故選：A.

2.（2022上?陜西咸陽?高二咸陽市實驗中學?？茧A段練習）設(shè)正項等比數(shù)列｛6｝的前〃項和為S；,若

2s3=3a2+8q,S&=2sl+2,則aA=.

【答案】16

【詳解】解：因為2s3=3,+8q,

所以2（%+%+q）=3%+防，即6q+4-24=（）,

即6+q-2/=0,解得4=2或4=-弓（舍去），

又y=257+2,即S7+G=2S?+2,即4=57+2,

即〃二-（i）+2,解得4=2,

i-q

所以%==16,

故答案為：16

3.（2023下?北京西城?高二統(tǒng)考期末）在等比數(shù)列｛q｝中，若q+%=-6,%+包=-24,則見+緣=

【答案】-96

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為4，

由已知條件得6+g=4+4“=4（1+〃）=-6,

%+4=442+4d=q夕2（1+夕）=-24,

以上兩式相比得4=4,

則%+4+。145=?1<74（l+^）=-6xl6=-96,

故答案為：-96.

題型六：重點考查等比數(shù)列片段和性質(zhì)

典型例題

例題1.（2024上?天津?高二天津方第一百中學校聯(lián)考期末）已知S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，S6=-21,

S、=5s2,則$2=（）

I21

A.3B.—C.—1D.---

325

【答案】C

【詳解】由題意知，*為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，

貝iJSz.S,一S2，S6—S4成等比數(shù)歹IJ,

由等比中項,得區(qū)-$2）2-$20-凡），

2

gp（552-S2）=S2（-21-5S2）,解得§2=—1或52=0（舍去）.

故選：C

例題2.（2023下?河南洛陽?高二校聯(lián)考階段練習）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若莖=5,則處=（）

31521

A.-B.—C.—D.3

245

【答案】C

【詳解】法—：設(shè)等比數(shù)列的公匕為0,若4=1,則親=粵=2=5,所以“工1；

o5

由上1=5,得4°一力=5x型U）,即1—力=5（1—力，所以1+”=5,

%\-q\-q

q(i-力/

解得八4,心=i3=也_-工工包

；J

S10《(I-力1"]_(5)271-165

"q

故選：c.

法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為“，若夕=1,則親=粵=2*5,所以gwl；

S55q

由等比數(shù)列的性質(zhì)知SsMo-Ss，幾-幾，…成等比數(shù)歹lj,其公比為必衿=率-1=4,設(shè)&=/,顯然20,

2

則$0=5/,S15-S|0=r4=16r,

S21

所以九=2”,所以清=三.

d10n

故選：c.

例題3.(2023?高三課時練習)已知s,是正項等比數(shù)列｛qj的前〃項和，幾=20,則%-2s2c+‘0的最

小值為.

【答案】-5

【詳解】解：設(shè)的｝公比為“

當4=1時，Sw=10q=20,貝ljq=2,此時有S30-2s2。+工。=30q—2x20q+10q=0：

當“1時，

因為SJO一SJQ=々I+々22+L+々30，SJQ—Sg=%+42+…+%＞，A。=4+4+''?+4()，

由S，J_S&,_，％+a〃+L+〃,,J_l0S川S|U_41+%+L+%,_10

Szy—SjoOu+qz+L+〃2oSi。q+i+L+4。

1020

所以SJO—，o=，ox/°=20/°,5的一S2G=(S2