高等數(shù)學(xué)練習(xí)題一

一、選擇題(本大題共8小題，每題4分，共32分)

1.由向量次=(1,0,2),麗=(0,1,2)圍成的三角形AQAB面積為.....()

3

(A)-(B)2(C)3(D)4

2

2.=+(y_]”an(x2則<*,])=-------------------()

(A)1(B)2(C)x(D)2x

3.于(x,y,z)=2x2-y2+z4+1在點(diǎn)(1,一1,1)處方向?qū)?shù)的最大值為……()

(A)2(B)4(C)6(D)8

4.辦J；/(x,y)dy的另一種積分次序?yàn)?............................()

(A)J；dyj：J\x,y)dx(B)J；dy^Q/(%,y)clx

e'e

(C)J；(D)「力公

e

5.設(shè)平面曲線為上半圓周)，=Jif,則-------------------()

(A)0(B)sinl(C)1-sin1(D)1

6.設(shè)(=...1則級數(shù)----------------------------------------()

(A)名明與之力都收斂(B)Ex與之都發(fā)散

”=1n=ln=\r:=l

(C)“收斂，而發(fā)散(D)“發(fā)散，而收斂

n=l〃=1〃=1"=1

7.設(shè)/(x)是以2乃為周期的周期函數(shù)，其在(一應(yīng)乃］上的解析式為

f(x)=\.'—八■，則/(X)的傅里葉級數(shù)在x=0處收斂于-----()

sinx-1,0<x<^-

(A)--(B)0(C)-(D)I

22

x2x

8.以y=C^+C2e為通解的二階常系數(shù)齊次方程是----------------()

(A)y"+2y-S=0(B)y"+2y-8=0(C)y'^y'-Sy=0(D)/'4-8/-2>=0

二、計算題(本大題共4小題，每題7分，共28分)

1.設(shè)z=/（21nl”二），其中/（〃⑼具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x當(dāng)+y合.

ydxdy

2.若。={(x,y)|l<^2+y2<4),用極坐標(biāo)表示D并計算“^4-x2-y2dxdy.

D

2n-l

3.求級數(shù)N（T）"

的收斂半徑和收斂域.

2n+,

312(2n-l)

X

4.求微分方程一y=——滿足yL=e=e的特解.

Inx

三、計算問答題（本題8分）

設(shè)方程z、-1=0確定了z=z(x,y),

求（1）dz［（［0_［）；

（2）曲面z=z（x,y）在點(diǎn)（1,0,-1）處的切平面方程;

（3）問題（1）、（2）的結(jié)果有何關(guān)系？

四、計算題（本題8分）

設(shè)空間閉區(qū)域^={（茗乂2）|丁+/<1,,|2區(qū)1},Z是C的整個邊界曲面的外側(cè)，用

高斯公式計算目（丸+yz）dydz+2（y-xz）dzclx-4（z+xy）dxdy.

五、證明計算題（本題8分）

證明曲線積分。；（2,"+），）必一（％2/'+1一2），）4在整個My面內(nèi)與路徑無關(guān)，并

計算該積分值/.

六、計算題（本題8分）

設(shè)〃⑺為定義在0+8）上的正值可微函數(shù)，且力（0）=2,現(xiàn)有一個隨,變化的立體區(qū)

2(/+丁)

域Q(/)=<(x,yyz)|0<z<h(t)若其側(cè)面積S⑺滿足

h{t}

SQ）=Q/rJoJ?/#⑺力，試求〃Q）.

七、應(yīng)用題（本題8分）

要設(shè)計一個過水渠道，其斷面A8CQ為等腰梯形，AB.。。為兩腰，令斷面的下底

7T

BC=a,高BH=h,/BAH=0,0￡。一）,若要求過水渠道斷面面積為常數(shù)S,試

2

提供最優(yōu)設(shè)計方案，即確定〃，h,。，使?jié)欀躄=A4+3C+C。達(dá)到最小.

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題一答案

一、ADCBADBC

二、計算題(本大題共4小題，每題7分，共28分)

1.設(shè)z=/(21nx-lny」)，其中/(〃⑼具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求xg+y合■.

yexdy

a-z

axxy

次

￥=~~fu__y.4----------------------------3

yy

,,dzdz,

^x—+y—=J------------------------------2

oxdyu

2.若D={(x,y)|lW/+y2<4},用極坐標(biāo)表示D并計算JJ^4-x2-y2dxdy.

D

解：D={(p,0|O<0<2乃,1<p<2)-------------------------2

JJ-y~dxdy=J；dO^~p~pdp............3

D

=26兀.....................2

2n-l

3.求級數(shù)￡(—1)〃-V

的收斂半徑和收斂域.

2

n=\2^'(2/z-l)

解：-----------------------------------

"T8un(x)4

當(dāng)二＜1時，即|刈＜2時，有收斂半徑火=2-------------2

4

I②1

%=±2時，相應(yīng)級數(shù)為~~7收斂---------------2

4M2/2-1

???收斂域?yàn)閇-2,2]------------------------------1

（收斂半徑也可以用公式求解，此題需加根號）

X

4.求微分方程xy'-y=——滿足）L=e=e的特解.

Inx

解：將原方程變形為yf--y=-----------------------------

xInx

fdxjfdx

則y=ev[f---e*dx+c]_____________________________2

JInx

=x[ln|Inx14-c].......................................2

lhy\x=g=e得y=x(ln|lnx|+l)............................2

三、計算問答題(本題8分)

設(shè)方程z?>一日一1=0確定了z=z(x,y),

求⑴^|(1.0,-1)；

(2)曲面z=z(x,y)在點(diǎn)(1,0,-1)處的切平面方程;

(3)問題(1)、(2)的結(jié)果有何關(guān)系？

解：令F(x,y,z)=z2y-xz3-l

則%=FV(1,O-1)=HF=(L0-D=-3-------------2

….F(l,O,-D,工(1,。,-1),r,,

:v

(1)JzLnn=----------dx----------dy=-(dx+dy)......2

(2)切平面的法向量”=(U,-3)----------------------1

切平面方程為(x-l)+y-3(z+l)=0--------------------1

(3)上述切平面方程可改寫為z-(-1)=；[。-1)+()，-0)]------1

于是，dz\(10_0在幾何上表示曲面z=z(x,y)在點(diǎn)(1,(),-1)處切平面上點(diǎn)的豎

坐標(biāo)增量----------------------------------------1

四、計算題(本題8分)

設(shè)空間閉區(qū)域C={(tyz)|x2+y2v],,|zRl}.￡是。的整個i力界曲面的外側(cè)，用

高斯公式計算g(x+yz)dydz+2(y-xz)”z公一4(z+xy)dxdy.

z

解：P=x+yz,Q=2(y-xz),R=-4(z+A>?)-----------------------1

。是半徑為1、高為2的圓柱體1

原式:分Pclydz4-Qdzdx+Rdxdy=Jjj(^―++^-)dxdydz

2

ycdxoz

2

=—2〃----------------------------------------------------2

五、證明計算題(本題8分)

證明曲線積分j(lJ)(2xev+y)dx+(x2ey+x-2丁)力在整個xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并

計算該積分值/.

解：P=2xey+y,Q=x2ey+x-2y------------------------1

dP、，dQ

——=2xey+1=------------------------------------2

dyox

故原積分與路徑無關(guān)--------------------------------------1

I=J：：Pdx+Qdy+J：：Pclx+Qdy-------------------1

=J：23+J：("+1-2y)dy=e--------------3

六、計算題(本題8分)

設(shè)力?)為定義在［0,”)上的正值可微函數(shù)，且力(0)=2,現(xiàn)有一個隨/變化的立體區(qū)

域Q(r)=\(X,z)|0<Z</?(/)-,若其側(cè)面積S(t)滿足

h(t)

5(，)=13句:，廬⑺力，試求〃⑺.

解：。⑺在xOy面的投影區(qū)域?yàn)?/p>

O={(乂)，)x2+)，2<竽}={(p,0)\0<0<2乃,0<p

由S”)=13卻：〃后⑺力知S'(r)=13九山心⑴---------------------1

于是u/⑺〃()=S'⑺=13萬，后Q),即烏絲二3〃川

62師

其通解為/?(/)=4。%+eV故由/2(0)=2,得h(t)=4"%+1)2............2

七、應(yīng)用題(本題8分)

要設(shè)計一個過水渠道，其斷面4BC。為等腰梯形，AB、CQ為兩腰，令斷面的下底

BC=a,高BH=k,/BAH=e,es0：)，若要求過水渠道斷面面積為常數(shù)S,試

2

提供最優(yōu)設(shè)計方案，即確定。，h,0,使?jié)欀躄=A8+8C+CO達(dá)到最小.

解：由題設(shè)，目標(biāo)函數(shù)L=A8+8C+C￡>=a+2〃csc。，------------2

約束條件為S=+cot。------------------------------------1

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)產(chǎn)=a+2〃esc0+/l(S—R?-a?.........i

Fa=1-A/?=O

rhFh=2csc6^-22/?cot^=0...................................2

22

Fo=Ahesc8-2hcsc6cul6=0

2

FA=S-ah-hcot3=0

0=-

3

2網(wǎng)

得

,衣

h=-f=r

V3

由實(shí)際意義知，該設(shè)計方案使?jié)欀躄=A5+BC+CQ達(dá)到最小2

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題二

一、選擇題(本大題共8小題，每題4分，共32分)

1.由向量54=(-1,0,1)，麗=(0,1,1)圍成的三角形AO43面積為......()

近「

(A)——(B)I(C)V3(D)3

2

2./(x,y)=xy2+(y-2)sin(x2+y2),則￡(x,l)=)

(A)1(B)2(C)3(D)4

3.空間曲線x=f,)，=Lz=f—1在f=1處的切向量可選為------------()

tt

(A)(1,-1,-2)(B)(l,-l,O)(C)(1,-1,2)(D)(1,1,0)

4.6dM0』'/（乂），）辦的另一種積分次序?yàn)?-------------------------（）

(A)二時：/*,丁)辦(B)f(x,y)dy

e

(C)(D)JXf(x,y)dy

5.設(shè)平面曲線為右半圓周工二JI=手，則[yds=------------------()

(A)0(B)cosl(C)l-cosl(D)1

6.下列級數(shù)中收斂的是()

0op

(C)之1(D)￡1

n=IW=1nN〃+]

7.設(shè)/（五）是以24為周期的周期函數(shù)，其在（-乃，句上的解析式為

cosx+1,—^<x<0

fM=,則/5）的傅里葉級數(shù)在x=0處收斂于一一（）

2x,0<X<7T

(A)--(B)0(C)-(D)1

22

3xx

8.以y=C.e-+C2e為通解的二階常系數(shù)齊次方程是..............()

（A）y''+2y-3=O（B）y-=0（C）盧2盧3y=0（D）y"+3），-2y=0

二、計算題（本大題共4小題，每題7分，共28分）

1.設(shè)方程xz-z2y+l=0確定了z=z（x,y）,求詞（］o）

2.若D是），=X?,）,=1和y軸所圍的位于第一象限的平面區(qū)域，

畫圖表示D并計算0JL伙dy

D

aqn+l

3.求級數(shù)一人”的收斂半徑和收斂域

I〃

4.求微分方程孫'-），二」一通解。

x+1

三、計算問答題（本題8分）

函數(shù)y,z)=2/-y2+z?-式+6z+1在點(diǎn)(1,一2,3)處沿下列哪個方向的方向?qū)?shù)

最大？并求最大值。

四、計算題(本題8分)

設(shè)空間閉區(qū)域。=卜,y,z^x2+/+z2<l,,z>0},Z是。的整個邊界曲面的外

側(cè)，用高斯公式計算刊xdydz+4(y-xz)dzdx+(xy-2z)dxdy

￡

五、證明計算題(本題8分)

六、計算題(本題8分)

2

設(shè)/?⑺為定義在。+8)上的正值可微函數(shù)，且/?(())=],現(xiàn)有一個隨/變化的立體區(qū)

域。⑺=(x,z)|0<z<h(t)-4(^+y2),若其立體體積V(o滿足

h(l)

=⑺力，試求

七、應(yīng)用題(本題8分)

將一寬為L的長方形鐵皮的兩邊折起，做成一個斷面為等腰梯形的水槽，求此水槽的最

大過水面積Smax(等腰梯形面積)

一、選擇題ADCBADDC

二、計算題(本大題共4小題，每題7分，共28分)

1.設(shè)方程xz-z2y+l=0確定了z=z(x,y),求&]。)

解：令/(MKzInxz-zLv+l------------------------------------1

2

Fv=z,F..=-zF.=x-2yz--------------------------------1

z(l,O)=-lI

則%(1,0,7)=-1,Fv(l,0-D=-l，F(xiàn)z(1,0-1)=1-------------1

尺(1,0,-1)j4(1。T),、

——J-------dx——-------dy--------------------------2

)R(1,0-DR(1,0-D

=dx+dy-----------------------------------------------1

2.若D是)，=、2,y=1和y軸所圍的位于第一象限的平面區(qū)域,

畫圖表示D并計算JjGdxdy

D

解：

y.尸片

2

2

8

-----------------------------------3

21

8on+1

3.求級數(shù)￡——x2n的收斂半徑和收斂域

，由〃

解：向1|^^|=31----------------------------------------2

iun(x)

當(dāng)3/<1時，即|x|<二一時，有收斂半徑R=L--------------2

33

當(dāng)x-土立時，級數(shù)為￡3發(fā)散---------------------------------2

3?=1n

該級數(shù)的收斂域?yàn)椋?---，----）------------------------------------1

33

（收斂半徑也可以用公式求解，或換元或加根號）

X

4.求微分方程XV'-），=，匚通解.。

X+1

解：將原方程變形為yf--y=—.................................2

XX+1

（21_心

貝!jy=e"I*----exdx+c]................................3

Jx+1

r

=41n|——-|+c]..........................................2

x+1

（此題也可用常數(shù)變易法）

三、計算問答題（本題8分）

函數(shù)/3,y,Z）=2/-y2+Z?-X+6z+1在點(diǎn)（1,一2,3）處沿下列哪個方向的方向?qū)?shù)

最大？并求最大值。

解：Z=4x-l,/v=-2y"=2Z+6..................................2

則gm或(1,一2,3)=(3,4,12)2

[J/1(L-2.3)】max=|graJ(l,-2,3)|2

=132

四、計算題(本題8分)

設(shè)空間閉區(qū)域。=b，yz)|x2+y2+z2Q,,z2o},z是Q的整個邊界曲面的外

側(cè)，用高斯公式計算目xdydz+4(y-xz)dzdx+(孫一2z)dxdy

解：P=xyQ=4(y-xz),R=xy-2z-------------------------------1

。是半徑為1的半球休.............................................1

原式=0Pdydz4-Qdzdx+Rdxdy=jjj(^―++^-)dxdydz......2

yQdxOZ

=3jJjjv------------------------------------------------------2

c

=2萬--------------------------------------------------------2

五、證明計算題(本題8分)

證明曲線積分［；：(2%+/)公+。/-2)，)力在整個my面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算該

積分值/o

解：P=2x+e\Q=xey-2y------------------------------------------1

dPv.dQ.

②dx

故原積分與路徑無關(guān)------------------------------------------------1

r(1.0),_,/?(1.1)

/=J(uo)Pdx+Qdy+Pdx+Qdy-------------------------------1

=￡(lx+l)t/r+￡(e'-2y)dy=e-----------------------3

六、計算題(本題8分)

2

設(shè)力(。為定義在［O,+CQ)上的正值可微函數(shù)，且力(0)二—，現(xiàn)有一個隨/變化的立體區(qū)

3

,4(X2+V2)

域Q(r)=(x,y,z)0<z<h(t)一一-——匕1,若其立體體積V⑺滿足

V(7)二對,〃⑺力，試求力(/)

解：。⑺在面的投影區(qū)域?yàn)?/p>

=\y°\7a.一粉叱利⑺----------------------1

3、

亦有V'(f)=—幼2⑺萬⑺..........................-..................1

4

由V(t)=7r^rh(t)dt知V'(r)=7crh(t)...........................1

于是二3就2⑺萬，⑺=v，⑺="力??),即2九⑴dh⑴=8?/力----------1

43

其通解為〃(/)=112尸+。-------------------------------------------1

故由〃(0)=2,得由力=2,2「+1--------------------------------

33

七、應(yīng)用題（本題8分）

將一寬為L的長方形鐵皮的兩邊折起，做成一個斷面為等腰梯形的水槽，求此水槽的最

大過水面積Smx（等腰梯形面積）

解：設(shè)兩邊各折起X€（0,乙）,等腰梯形的腰與上底邊夾角為。w（0,乙）,

22

則該等腰梯形的上底、上底、高分別為--------------------------

L-2x,L-2x+2rcos^,xsin0

目標(biāo)函數(shù)S=（L-2x+xcos6）xsin。-------------------------2

S=(L-4x+2xcos^)sin6=0

由，x2

Sf,=LxcosO+x2(cos2〃-2cos〃)=0

L

x=-

得32

0=-

3

由實(shí)際意義知,該設(shè)計方案使水槽的過水面積達(dá)到最大,

1

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題三

一、選擇題(本大題共8小題，每題4分，共32分)

1.若向量〃=(1,2,1),b=(-l,3,2),c=(-1,1,1),則(qx?.c=------()

(A)一1(B)0(C)1(D)2

2.設(shè)z=[sin(x-y)r”，則，(尤,0)=----------------------------()

(A)-sin%(B)-cosx(C)sinx(D)cosx

3.設(shè)z=ln(l-勺)，則dz(l0)=-----------------------------------()

(A)-dx(B)—dy(C)dx(D)dy

4.二次積分「公公的另一種積分次序?yàn)?-----------------()

(A)J；時7/a，y)公(B)時%/a，)')小

(C)J：我f：J(內(nèi))&(D)J；我[。)(X,)，)公

5.J(x+y)2ds=-------------------------------------------()

(A)—(B)—(C)(D)五乃

422

6.若基級數(shù)方%x"在人=6處收斂，則該級數(shù)在x=5處..................()

〃二0

(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)斂散性無法確定

7.設(shè)/(幻是以2)為周期的周期函數(shù)，其在(-1，句上的解析式為

)一X,一TFVXWO

/(x)=,若記/(幻的傅里葉級數(shù)為S(x),則S(8i)=--()

-37r,()<x<7i

(A)-7：(B)(C)0(D)—

22

8.丁=4"'+。2/是下列哪個微分方程的通解............................()

(A)yn-yr=0(B)y"+yr=0(C)y"-y=0(D)y"+y=0

二、計算題(本大題共4小題，每題7分，共28分)

1.設(shè)z=/(x,)，)是由方程z+x_/=。確定的隱函數(shù)，求￡,當(dāng)

dxcy

2.計算“(Y十力40,，其中區(qū)域。由曲線)，=與)，=--i圍成.

D

3.求哥級數(shù)的收斂半徑.

n-12

4.求解微分方程fV一沖_2=0.

三、計算題（本題8分）

設(shè)空間閉區(qū)域。={。,），*），+了2?],一142?2},Z是。的整個邊界曲面的外側(cè),

用高斯公式計算jj（x2+y）dydz+2y（z-x）dzdx+z（l-z）dxdy.

I

四、問答題（本題8分）

試問拋物面z=x2+y2在點(diǎn)P（1J,2）處的切平面與已知平面x+y+4z=0的位置關(guān)

系如何？請說明理由.

五、證明求值題（本題8分）

證明：曲線積分。；（1+沖）*公+，*+2），）小，在皿），面內(nèi)與路徑無關(guān)，并H算該

積分值/.

六、計算題（本題8分）

設(shè)f（x,y）二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且以=0,在極坐標(biāo)下可表成/（x,y）=g（r）,

oxdy

其中r=+）2,求/（羽）,）.

七、應(yīng)用題（本題8分）

22

某橢圓型空地的邊界方程為0+當(dāng)=\,a>0/>0.欲在空地內(nèi)建立一個矩形運(yùn)動

a~b~

場，使其邊長平行于橢圓的軸，問怎樣設(shè)計才能使運(yùn)動場面積最大？

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題三答案

選擇題（本大題共8小題，每題4分，共32分）

CDBDABAC

二、計算題（本大題共4小題，每題7分，共28分）

1.

解：設(shè)尸（%），/）="-2+盯3,則以二丁3,々=3.\區(qū)=一一1..............3

也

一-

貝U&

包

-

辦

2.

解：令/,（）<x<l..........................................1

因區(qū)域。關(guān)于工軸對稱，由對稱奇偶性知---------------------------------1

原式=2JJx2dxdy------------------------------------------------------1

二2」產(chǎn)2公｛「的----------------------------------------------2

=2「(/4)血=3----------------------------------------2

3.

解：--------------------------------------------------3

“T8〃“W2

2

當(dāng)二<1時，即|x|<&時，該哥級數(shù)絕對收斂.......................-2

2

故其收斂半徑R=&.--------------------------------------------2

(收斂半徑也可以用公式求解，此題需加根號)

4.

12

解：y'—y=----------------------------------------------------2

XX

[—</?■「2f—?/x

y=eJx(j—eJxdx+C)------------------------------------------

=x(21nx+C).................................................2

三、計算題(本題8分)

解：P=x2+y,Q=2y(z-x),R=z(z+1)---------------------------1

Q是半徑為1、高為3的圓柱體---------------------------------1

原式=丹Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=jjj(―++—)dxdydz---------2

￡gRx°z

川小2

Q

=37r..............................-.....................2

四、問答題(本題8分)

解:2=/+、2在點(diǎn)尸(],],2)處的法線向量為

“=(2乂2)，,-1)|2=(2,2,-1)..........................................2

而已知平面x+y+4z=0的法線向量為n.=(1,1,4)-----------------------2

于是總?4=0--------------------------------------------------------2

貝ij%1n2,-----------------------------------------------------------

故所求切平面與已知平面相互垂直.-----------------------------------------1

五、證明求值題(本題8分)

證明：P=(\+xy)exy\Q=x2ex>'+2y

dP...dQ

—=x(2+xy)ex>v=—------------------------------------------------------------------------2

dydx

故原積分與路徑無關(guān)---------------------

I=Pdx+Qdy+j；：Pdx+Qdy

=*公+/：2必，-----------------------------------------------------------------------------2

=e+1?...............................................................................................................1

六、計算題(本題8分)_____

解：由于于(x,y)=g(r)=g(Jx?+)3),---------------------------------------------------------1

則%=--------------------------------------------------------1

&Jr+y~

于是薯二

g⑺1

dxdy尸+y(J+)J)2

22

rcos6^sin<9lzxrcos6^sin6^

“'⑺--T2——N⑺--r-------------------------------1

r-r

,

代入儀=0化簡得,g\r)--g(r)=0-----------------------------------------1

dxdyr

令g'(r)=h(r),h'(r)=-h(r\--------------------------------------------------------1

r

可解得〃(力-gV)-o,則gW)—G/+02，------------------------------1

從而/(x,y)=G(/+),)+。2?...................................................................i

七、應(yīng)用題(本題8分)

解：設(shè)2x,2y為矩形運(yùn)動場的邊長，---------------------------------------------------1

若使矩形面積S=4孫達(dá)到最大，貝ij(x,y)應(yīng)為橢圓上的點(diǎn).----------------------2

x22

令L=4Q，+〃r+*v—l)....................................................................................1

a-b-

則Q4y+歲=0，4=4工+霜=0二+41,---------------------------------2

ab-a1b-

易得X;也。，),二立力為L的唯一駐點(diǎn)-------------------------------------------1

22

故當(dāng)矩形的邊長分別為、64,歷時，可使運(yùn)動場面積達(dá)到最大.------------------1

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題四

一、選擇題(本大題共8小題，每題4分，共32分)

1.已知向量口=(1,一1,0),B=(L0,-2),c=1)則(4x/?)?c=---------()

(A)1(B)2(C)3(D)4

2.對函數(shù)z=/*,)，)而言，下列命題正確的是--------------------------()

(A)連續(xù)是其各偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件(B)連續(xù)是其可微的必要條件

(C)各偏導(dǎo)數(shù)存在是其可微的充要條件(D)各偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是其可微的充要條件

7T

3.〃=sinx+cosy-z在點(diǎn)(0,萬,一1)處沿下列哪個方向的方向?qū)?shù)最大……()

(A)(B)(0,-1,1)(C)(D)

4.辦/(工,)，)?的另一種積分次序?yàn)?...............................()

X

flr2v-3(B)J；dyj[f(x,y)dx

(A)「町f{x,y)dx

2)-27

C2r:(3-:

?L-'/(羽)，)公

研f(x,y)dx(D)]4>￡

y

5.設(shè)L為橢圓?+)，2=l,其周長為/,則$(x+y)*+5)，)A=......................()

(A)-/(B)I(C)y/5l(D)51

5

y(-If

6.當(dāng)4>0時，級數(shù)()

Tt\n(n+k)

(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)斂散性與女有關(guān)

7.設(shè)f(x)是以27為周期的周期函數(shù)，其在(-肛幻上的解析式為

7r<x

f(x)=r^~-,則/(幻的傅里葉級數(shù)在x=—■處收斂于........()

x,0<x<

,乃2->

(A)-7T2(B)——(C)0①)71~

2

8.微分方程y〃-2)，'=8大的一個特解可設(shè)為-------------------------------()

(A)ax(B)ax+b(C)ax2(D)ax2-\-bx

二、計算題(本大題共4小題，每題7分，共28分)

1.設(shè)肛-zln(2x+)，)+*=2確定了隱函數(shù)2=2。,y)，求喝(工),)=(0”).

2.計算；dcr,其中。由曲線y=x,y=l與)，軸所圍成.

00

3.求暴級數(shù)的收斂半徑R,并在內(nèi)，計算其和函數(shù)S(x).

n?lJ

4.求微分方程戶法滿足⑼口的特解.

三、計算題(8分)

設(shè)。={(乂)，)|/+/41}上的連續(xù)函數(shù)為f(xyy),且滿足

3

A、x+l

/&，)')=『==y)d(j，求JJf(x,y)do.

，r+yD

四、計算判斷題(8分)

x=t

求曲線＜y=-過點(diǎn)”0(l,1,0)的切線方程，并判斷其與平面_￥+)，=。的

t

位置關(guān)系.

五、證明求值題(8分)

求證：〃(x,)，)=)(ev-2d，+1)公+(工"一V)力在全平面內(nèi)與積分路徑無關(guān)，并

J(0.0)

計算〃(』,5).

5

六、計算題(本題8分)

設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足＜+3/.=Z“L)OJ(〃M=1,

令g(x)="2"(x,3x),求g*).

七、應(yīng)用題(8分)

如圖，在A地有一種海產(chǎn)品，希望通過公路段AP、鐵路段P。及公路段。8.以最短

時間運(yùn)到B地，此處不考慮轉(zhuǎn)運(yùn)時的裝卸耗時.

若軸，軸，AO=90(km),00=300(km),3O=60(km),

在鐵路段O。內(nèi)部選兩個不同的中轉(zhuǎn)站P,。，設(shè)OP=x(km),DQ=y(km),使沿折

線APQB的運(yùn)輸時間7最短，假設(shè)鐵路運(yùn)輸速度是公路運(yùn)輸速度的兩倍.

高等數(shù)學(xué)練習(xí)題四答案

一、選擇題（本大題共8小題，每題4分，共32分）

ABCBDACD

二、計算題（本大題共4小題，每題7分，共28分）

解：當(dāng)(x,y)=(O,e)時，z=-l----------------------------------------1

將方程兩端取微分有dxy-\n(2x+y)dz-zdln(2x+y)+e^clxz=0---------2

z

即xdy4-ydx-ln(2x+y)dz-------Qdx+dy)+(xdz+zdx)=0---------2