圖的基本概念課件目錄01圖的定義與分類02圖的表示方法03圖的基本術(shù)語04圖的遍歷算法05圖的特殊結(jié)構(gòu)06圖的算法問題圖的定義與分類01圖的基本定義圖是由頂點(diǎn)集合和邊集合組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用于表示實(shí)體間的關(guān)系。圖的數(shù)學(xué)定義圖可以通過鄰接矩陣或鄰接表等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表示，便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和處理。圖的表示方法圖中頂點(diǎn)的度數(shù)是指與該頂點(diǎn)相連的邊的數(shù)量，是圖的基本性質(zhì)之一。圖的簡單性質(zhì)無向圖與有向圖無向圖由節(jié)點(diǎn)和連接節(jié)點(diǎn)的邊組成，邊沒有方向，表示節(jié)點(diǎn)間的無序關(guān)系。無向圖的定義網(wǎng)頁鏈接構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有向圖，鏈接指向特定網(wǎng)頁，具有明確的方向性。社交網(wǎng)絡(luò)可以視為無向圖，其中人與人之間的關(guān)系（如朋友關(guān)系）是雙向的。有向圖同樣由節(jié)點(diǎn)和邊組成，但邊具有方向性，表示節(jié)點(diǎn)間的有序關(guān)系。有向圖的定義無向圖的實(shí)例有向圖的實(shí)例加權(quán)圖與非加權(quán)圖加權(quán)圖的定義加權(quán)圖是圖的一種，其中每條邊都賦予了一個(gè)權(quán)重，通常表示距離、成本或容量等。非加權(quán)圖的應(yīng)用實(shí)例社交網(wǎng)絡(luò)可以視為非加權(quán)圖，其中的邊僅表示用戶之間的朋友關(guān)系，不涉及權(quán)重。非加權(quán)圖的特點(diǎn)加權(quán)圖的應(yīng)用實(shí)例非加權(quán)圖，又稱無權(quán)圖，其邊沒有權(quán)重，僅表示節(jié)點(diǎn)間的連接關(guān)系，不涉及量度。例如，地圖上的道路網(wǎng)絡(luò)可以表示為加權(quán)圖，邊的權(quán)重可以是距離或行駛時(shí)間。圖的表示方法02鄰接矩陣表示法鄰接矩陣是一個(gè)二維數(shù)組，用于表示圖中各頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系，其中元素值表示邊的權(quán)重。定義和結(jié)構(gòu)無向圖的鄰接矩陣是對(duì)稱的，因?yàn)闊o向圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的連接是雙向的。對(duì)稱性對(duì)于稠密圖，鄰接矩陣表示法效率較高；而對(duì)于稀疏圖，鄰接表可能更為節(jié)省空間。稀疏與稠密圖通過鄰接矩陣可以快速判斷圖中任意兩點(diǎn)間是否存在路徑，以及計(jì)算最短路徑等問題。路徑和連通性鄰接表表示法01鄰接表是一種用于表示圖的邊和頂點(diǎn)關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)鏈表。02構(gòu)建鄰接表時(shí)，為圖中每個(gè)頂點(diǎn)創(chuàng)建一個(gè)鏈表，鏈表中存儲(chǔ)與該頂點(diǎn)相鄰的其他頂點(diǎn)。03與鄰接矩陣相比，鄰接表在稀疏圖中更節(jié)省空間，因?yàn)樗淮鎯?chǔ)實(shí)際存在的邊。鄰接表的定義鄰接表的構(gòu)建過程鄰接表與鄰接矩陣的比較邊列表表示法邊列表表示法中，圖由一系列的邊組成，每條邊連接兩個(gè)頂點(diǎn)。01邊的定義邊列表通常用數(shù)組或鏈表存儲(chǔ)，每個(gè)元素包含一對(duì)頂點(diǎn)，表示一條邊。02邊列表結(jié)構(gòu)在邊列表中，無向圖的每條邊只需表示一次，而有向圖的每條邊需表示兩次，分別對(duì)應(yīng)起點(diǎn)和終點(diǎn)。03無向圖與有向圖圖的基本術(shù)語03頂點(diǎn)、邊和路徑頂點(diǎn)是圖的基本構(gòu)成元素，代表實(shí)體或節(jié)點(diǎn)，例如社交網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)人或城市交通網(wǎng)絡(luò)中的站點(diǎn)。頂點(diǎn)的定義01邊連接兩個(gè)頂點(diǎn)，表示頂點(diǎn)間的某種關(guān)系，如道路連接兩個(gè)城市或朋友間的聯(lián)系。邊的含義02路徑是頂點(diǎn)序列，其中每對(duì)相鄰頂點(diǎn)間由邊相連，代表從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的路線。路徑的概念03連通性與連通分量01連通圖的定義連通圖是指在無向圖中，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑相連的圖。02連通分量的概念連通分量是無向圖中極大連通子圖，即無法通過添加更多邊使其與圖中其他部分連通。03強(qiáng)連通圖與強(qiáng)連通分量在有向圖中，如果任意兩個(gè)頂點(diǎn)都互相可達(dá)，則稱為強(qiáng)連通圖，其極大連通子圖稱為強(qiáng)連通分量。04弱連通圖與弱連通分量在有向圖中，如果忽略邊的方向后圖是連通的，則稱為弱連通圖，其極大連通子圖稱為弱連通分量。子圖與生成樹子圖是由原圖中選取部分頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的圖，可以看作原圖的一個(gè)“縮小版”。子圖的定義生成樹是圖的一個(gè)子圖，它包含圖中所有頂點(diǎn)，并且是一棵樹，即沒有環(huán)且連通。生成樹的概念最小生成樹是邊的權(quán)重之和最小的生成樹，常用于網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)和優(yōu)化問題。最小生成樹生成樹具有n-1條邊，其中n是頂點(diǎn)的數(shù)量，且每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)恰好為1。生成樹的性質(zhì)圖的遍歷算法04深度優(yōu)先搜索(DFS)深度優(yōu)先搜索通過盡可能深地遍歷圖的分支來訪問所有節(jié)點(diǎn)，直到無法繼續(xù)為止。DFS的基本原理在解決迷宮問題時(shí)，DFS可以用來找到從起點(diǎn)到終點(diǎn)的所有可能路徑。DFS的應(yīng)用實(shí)例DFS通常使用遞歸或棧實(shí)現(xiàn)，通過回溯來訪問未被訪問的節(jié)點(diǎn)，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問。DFS的實(shí)現(xiàn)方法廣度優(yōu)先搜索(BFS)從根節(jié)點(diǎn)開始，逐層訪問所有鄰接節(jié)點(diǎn)，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問過。BFS的基本原理使用隊(duì)列輔助，先訪問的節(jié)點(diǎn)先出隊(duì)列，其鄰接節(jié)點(diǎn)入隊(duì)列，按訪問順序遍歷。BFS的實(shí)現(xiàn)步驟在社交網(wǎng)絡(luò)中，BFS可用于計(jì)算兩個(gè)用戶之間的最短路徑，即最短好友鏈。BFS的應(yīng)用實(shí)例遍歷算法的應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)爬蟲利用圖的遍歷算法來訪問網(wǎng)頁，按照鏈接順序抓取網(wǎng)頁內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的快速收集。網(wǎng)絡(luò)爬蟲地圖導(dǎo)航軟件使用圖的遍歷算法來計(jì)算兩點(diǎn)之間的最短路徑，幫助用戶規(guī)劃出行路線。地圖導(dǎo)航社交網(wǎng)絡(luò)中，遍歷算法用于分析用戶關(guān)系，如計(jì)算兩人之間的最短路徑，了解信息傳播路徑。社交網(wǎng)絡(luò)分析圖的特殊結(jié)構(gòu)05完全圖與稀疏圖完全圖是指圖中任意兩個(gè)不同的頂點(diǎn)之間都存在一條邊相連的圖，例如K5是一個(gè)包含5個(gè)頂點(diǎn)的完全圖。完全圖的定義01稀疏圖是指邊的數(shù)量遠(yuǎn)少于可能的最大邊數(shù)的圖，通常用于表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間連接較少的情況。稀疏圖的特點(diǎn)02在社交網(wǎng)絡(luò)分析中，完全圖可以表示緊密聯(lián)系的社群，而稀疏圖則可能表示松散聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。完全圖與稀疏圖的應(yīng)用03二分圖與平面圖01二分圖是圖論中的特殊結(jié)構(gòu)，由兩個(gè)互不相交的頂點(diǎn)集合組成，每條邊連接的兩個(gè)頂點(diǎn)分別屬于這兩個(gè)集合。02在社交網(wǎng)絡(luò)分析中，二分圖可用于表示不同群體之間的關(guān)系，如“用戶-產(chǎn)品”喜好關(guān)系圖。03平面圖是可以在平面上畫出來的圖，其所有邊都不相交，這樣的圖可以被嵌入到平面上而不產(chǎn)生交叉。二分圖的定義二分圖的應(yīng)用實(shí)例平面圖的定義二分圖與平面圖庫拉托夫斯基定理是判定一個(gè)圖是否為平面圖的重要工具，它指出一個(gè)圖是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它不包含K5或K3,3作為子圖。平面圖的判定01電路板設(shè)計(jì)中，平面圖的概念被用來確保電路連線不會(huì)交叉，從而簡化布線過程。平面圖的實(shí)際應(yīng)用02樹與森林樹是一種無環(huán)連通圖，具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和n-1條邊，常用于表示層次結(jié)構(gòu)或分類關(guān)系。樹的定義和性質(zhì)樹的遍歷算法包括深度優(yōu)先搜索(DFS)和廣度優(yōu)先搜索(BFS)，用于訪問樹中的所有節(jié)點(diǎn)。樹的遍歷算法森林是由多個(gè)不相交的樹組成的集合，可以看作是圖中所有連通分量的集合。森林的概念樹與森林二叉樹是每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的樹，具有完全二叉樹、滿二叉樹等特殊形態(tài)。二叉樹的特殊形態(tài)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，樹結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于文件系統(tǒng)的目錄結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫索引和決策樹等領(lǐng)域。樹的應(yīng)用實(shí)例圖的算法問題06最短路徑問題Dijkstra算法用于在加權(quán)圖中找到單源最短路徑，廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)路由和地圖導(dǎo)航。Dijkstra算法01020304Bellman-Ford算法能處理帶有負(fù)權(quán)邊的圖，但不能有負(fù)權(quán)回路，常用于計(jì)算最短路徑。Bellman-Ford算法Floyd-Warshall算法用于求解所有頂點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑問題，適用于稠密圖。Floyd-Warshall算法A*算法結(jié)合了最佳優(yōu)先搜索和Dijkstra算法的優(yōu)點(diǎn)，常用于路徑規(guī)劃和游戲開發(fā)中。A*搜索算法最小生成樹問題最小生成樹是圖論中的一個(gè)經(jīng)典問題，常用于網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)，如設(shè)計(jì)成本最低的通信網(wǎng)絡(luò)。01普里姆算法是一種構(gòu)造最小生成樹的貪心算法，適用于帶權(quán)無向圖，以遞增方式生成樹。02克魯斯卡爾算法通過邊的權(quán)重排序，逐步合并邊，構(gòu)建最小生成樹，適用于稀疏圖。03不同算法在不同類型的圖中效率不同，如普里姆適合稠密圖，而克魯斯卡爾適合稀疏圖。04定義與應(yīng)用場(chǎng)景普里姆算法克魯斯卡爾算法算法效