2026屆福建省百校高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.112．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“，”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是正三角形，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.5．設(shè)aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知，是空間中的任意兩個(gè)非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.7．礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線的焦點(diǎn)為，則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.8．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.49．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定10．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為112．已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線的距離為_______.14．關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有______個(gè)①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點(diǎn)；④曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形15．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.16．已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是_______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若恰好是的中點(diǎn)，求直線的方程.19．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項(xiàng)；（2）若第4項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)比為，求：①二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；②二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點(diǎn)M是線段PD上的一點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值22．（10分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可得的邊長，進(jìn)而可得周長及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.2、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B3、A【解析】本題可依次判斷“，”是否是“為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件，即可得出結(jié)果.【詳解】若等比數(shù)列滿足、，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故“，”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，因?yàn)槿舻缺葦?shù)列滿足、，則數(shù)列也是遞減數(shù)列，所以“，”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件，綜上所述，“，”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性，考查推理能力，是簡單題.4、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C5、A【解析】運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時(shí)a的值，而后運(yùn)用充分必要條件的知識來解決即可解：∵當(dāng)a=1時(shí)，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件故選A考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系6、C【解析】利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；對D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.7、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D8、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.9、A【解析】首先求出直線過定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷；【詳解】解：直線恒過定點(diǎn)，又，即點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交；故選：A10、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，于是得：，即，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：A11、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對稱軸、零點(diǎn)、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像的對稱軸為，，，不是對稱軸，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以，即，所以，故D正確.故選：D12、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時(shí)點(diǎn)位于橢圓短軸的頂點(diǎn).因此，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求點(diǎn)線距離.【詳解】由題設(shè)，點(diǎn)到距離為.故答案為：14、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對稱性、范圍，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故正確；②因?yàn)椋獾没?，故，同理可得：，故錯(cuò)誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關(guān)于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點(diǎn)；綜上所述，③正確；④假設(shè)曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形，根據(jù)對稱性，第一象限的交點(diǎn)必在上，聯(lián)立與可得：，故交點(diǎn)為，而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對稱性以及范圍問題，屬困難題.15、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，不等式恒成立，只要即可，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，所以.故答案為：.16、【解析】由題意，,.故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），是奇函數(shù)（2）【解析】(1)由求出，進(jìn)而求得的解析式，利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；(2)根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所?所以.的定義城為，且，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】因?yàn)?，在上均為增函?shù)，所以在上增函數(shù)，所以.對任意，不等式恒成立，則，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范固為.18、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關(guān)系，在雙曲線中方程是非標(biāo)準(zhǔn)的方程，注意套公式時(shí)容易出錯(cuò).（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得斜率值.【小問1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因?yàn)椋?【小問2詳解】當(dāng)時(shí),橢圓，雙曲線.當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P,Q恰好重合，坐標(biāo)為，所以不符合條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程得，利用韋達(dá)定理，所以；同理聯(lián)立方程，韋達(dá)定理得，所以由于是的中點(diǎn)，所以,所以，即，化簡得，所以直線方程為或.19、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理求解（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理與條件求解，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項(xiàng)為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為20、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因?yàn)?，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因?yàn)?，，易得，，∴，?又因?yàn)锳C，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點(diǎn)M到平面ABC的距離為，∴，∴.21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.22、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面