平面及其方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、平面的點法式方程

如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法線向量.法線向量

平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直.

當(dāng)平面

上一點M0(x0,y0,z0)和它的一個法線向量n=(A,B,C)為已知時,平面

的位置就完全確定了.唯一確定平面的條件下頁

已知M0(x0,y0,z0)為平面

上一點,

n=(A,B,C)為平面

的一個法線向量.

設(shè)M(x,y,z)是平面

上的任一點,

則有因為

n=(A,B,C),平面的點法式方程

所以

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.這就是平面

的方程,

稱為點法式方程.下頁一、平面的點法式方程

過點M0(x0,y0,z0)且法線向量為n=(A,B,C)的平面的方程為

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

(x-2)-2(y+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0.

例1

求過點(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)為法線向量的平面的方程.

解

根據(jù)平面的點法式方程,得所求平面的方程為下頁平面的點法式方程

例2

求過三點M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面的方程.

解

所以根據(jù)平面的點法式方程,得所求平面的方程為首頁

過點M0(x0,y0,z0)且法線向量為n=(A,B,C)的平面的方程為

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.平面的點法式方程

14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即14x+9y-z-15=0.二、平面的一般方程

由于平面的點法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一點及它的法線向量來確定,所以任一平面都可以用三元一次方程來表示.

反過來,可以證明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面.

方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程,其法線向量為n=(A,B,C).

例如,方程3x-4y+z-9=0表示一個平面,n=(3,-4,1)是這平面的一個法線向量.下頁平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=0,其法線向量為n=(A,B,C).平面方程By+Cz+D=0

Ax+Cz+D=0

Ax+By+D=0Cz+D=0

Ax+D=0

By+D=0

法線向量

法線向量垂直于

平面平行于x軸y軸z軸xOy平面yOz平面zOx平面n

(0,

B,

C)n(A,0,

C)n

(A,

B,0)n

(0,0,

C)n

(A,0,0)n

(0,

B,0)x軸y軸z軸x軸和y軸y軸和z軸x軸和z軸討論：

1.填寫下表:提示：

D

0,

平面過原點.

2.平面Ax+By+Cz=0有什么特點？下頁提示：

平面通過x軸,表明A=0(它的法線向量垂直于x軸)且D=0(它通過原點).

可設(shè)此平面的方程為

By+Cz=0.

又因為此平面通過點(4,-3,-1),所以有

-3B-C=0.將C=-3B其代入所設(shè)方程,得

By-3Bz=0.于是所求的平面方程為

y-3z=0.下頁平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=0,其法線向量為n=(A,B,C).

例3

求通過x軸和點(4,-3,-1)的平面的方程.

解

例4

設(shè)一平面與x、y、z軸的交點依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c),求此平面的方程(a

0,b

0,c

0).將其代入所設(shè)方程,得下頁

解

因為點P、Q、R都在這平面上

所以它們的坐標都滿足所設(shè)方程

即有

aA

D

0

bB

D

0

cC

D

0

設(shè)所求平面的方程為Ax+By+Cz+D

0.

上述方程叫做平面的截距式方程,而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.三、兩平面的夾角

設(shè)平面

1和

2的法線向量分別為

n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面

1和

2的夾角

應(yīng)滿足下頁

兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.

例5

求兩平面

x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夾角的余弦:n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1).因為

解

下頁

平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要條件是

A1A2+B1B2+C1C2=0.兩平面垂直的條件

兩平面平行的條件

平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要條件是

A1:A2=B1:B2=C1:C2.下頁平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夾角的余弦:

例6

一平面通過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面

x+y+z=0,求它的方程.

設(shè)所求平面的法線向量為n=(A,B,C).

因為M1和M2在所求平面上,

所以n

n1,即

-A-2C

0,A

-2C.

又因為所求平面垂直于平面x+y+z=0,所以n

n1,即

A+B+C

0,

B

C.

由點法式方程,

所求平面為

-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)

0,

即2x-y-z

0.

從點M1到點M2的向量為n1=(-1,0,-2),平面x+y+z=0的法線向量為n2=(1,1,1).

解下頁

方法一：

所求平面的法線向量n可取為n1

n2.

因為所以所求平面方程為

2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即2x-y-z=0.下頁

例6

一平面通過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面

x+y+z=0,求它的方程.從點M1到點M2的向量為n1=(-1,0,-2),平面x+y+z=0的法線向量為n2=(1,1,1).

解

方法二：提示：

例7

設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點,求P