PAGE122.12二次函數(shù)與幾何壓軸：線段與周長(zhǎng)最值問(wèn)題（重難點(diǎn)分層培優(yōu)提升）一、解答題1．（23-24九年級(jí)上·江西宜春·期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線l的解析式為，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（21-22九年級(jí)上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)．(1)求的值和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在軸上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最?。?/p>

3．（2022九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖像稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線與是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；4．（2024九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，已知直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且線段．（注：拋物線的對(duì)稱軸為）(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．5．（22-23九年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，直線與拋物線相交于和，點(diǎn)是線段上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為_(kāi)_________；(3)在（2）的條件下，請(qǐng)用含有的式子表示的長(zhǎng)，并確定長(zhǎng)度的最大值．6．（21-22九年級(jí)上·山東菏澤·期末）已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（21-22九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上（其中），求m的值；(4)在（3）的條件下，試問(wèn)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使的值最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（22-23九年級(jí)上·天津紅橋·期中）如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．①當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（21-22九年級(jí)下·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，直角坐標(biāo)系中，拋物線，（，a，b均為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，13），分別交y軸正半軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線分別交拋物線于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)．10．（21-22九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為_(kāi)_______．（2）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（3）①頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②當(dāng)0≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_(kāi)______，最小值為_(kāi)_________．（4）若點(diǎn)M是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值．11．（2024九年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·學(xué)業(yè)考試）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)的最大值．12．（2024·河南周口·三模）如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

(1)求拋物線和直線的解析式；(2)點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，軸，點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)，，若與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．（2024·廣東佛山·二模）如圖，拋物線與直線相交于點(diǎn)，，直線AB與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線與直線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線在直線下方部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求的最大值．14．（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)若將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式；(3)若點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，求線段長(zhǎng)度的最大值．一、解答題1．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)，求使的值最小時(shí)m的值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)Q，求的最大值．2．（21-22九年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使的值最??？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．3．（2021·廣東東莞·一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求PA+PC長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)N（0，﹣1），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．求的最大值．5．（2024·山西晉城·三模）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)是線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2024·江西九江·二模）已知一次函數(shù)與二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中．(1)當(dāng)時(shí)，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如果兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是兩個(gè)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)．①當(dāng)軸時(shí)，求的最小值；②當(dāng)軸時(shí)，求的最小值．7．（2024·甘肅臨夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問(wèn)線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．8．（2024·河南鄭州·三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求的取值范圍；(3)如圖2，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最大值．9．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與x軸交于，，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)P是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，P到的距離為h，求h與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出h的最大值；(3)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．10．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)P，B在拋物線上，已知軸，且為等腰直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為F，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)是否存在常數(shù)m，使得恒成立？若存在求出m的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知，設(shè)，求的最大值，并求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2024·安徽合肥·三模）如圖，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，都在坐標(biāo)軸上，與軸上另一交點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，記，①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②求出的最小值．12．（2024·廣東廣州·二模）已知拋物線(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且．①當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上（不與點(diǎn)重合），且時(shí)，求的值；②取的中點(diǎn)，是否存在的最小值為？若存在，求出此時(shí)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22.12二次函數(shù)與幾何壓軸：線段與周長(zhǎng)最值問(wèn)題（重難點(diǎn)分層培優(yōu)提升）一、解答題1．（23-24九年級(jí)上·江西宜春·期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線l的解析式為，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或或【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，求函數(shù)解析式，一般利用待定系數(shù)法求解；二次函數(shù)與線段長(zhǎng)之間的關(guān)系，一般用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長(zhǎng),（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，根據(jù)得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∵，∴，即，∴或，解得或或或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．2．（21-22九年級(jí)上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)．

(1)求的值和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在軸上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最?。敬鸢浮?1)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式即可求解；（2），因?yàn)槎ㄖ?，故求的最小值即可．【詳解】?）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴，∴拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）解：∵，為定值∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求.

設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圖形周長(zhǎng)問(wèn)題．將“的周長(zhǎng)最小”轉(zhuǎn)化為“的值最小”是解題關(guān)鍵．3．（2022九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖像稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線與是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，可設(shè)拋物線的解析式為，再把代入，即可求解；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，從而得到當(dāng)A，C，P共線時(shí)，的值最大，再求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得：或4，∴，由題意設(shè)拋物線的解析式為，把代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，∵拋物線與是“共根拋物線”，，∴拋物線、的對(duì)稱軸是直線，∵拋物線的頂點(diǎn)為P，∴點(diǎn)P在直線上，∴，∴，如圖，當(dāng)A，C，P共線時(shí)，的值最大，此時(shí)點(diǎn)P為直線與直線的交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，代入得：，解得：∵直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，已知直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且線段．（注：拋物線的對(duì)稱軸為）(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式：（1）首先得點(diǎn)，，那么把A，B坐標(biāo)代入，即可求得函數(shù)解析式；（2）首先得的值最大，應(yīng)找到關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接交對(duì)稱軸的一點(diǎn)就是M．應(yīng)讓過(guò)的直線解析式和對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線與y軸交于點(diǎn)A，令，則，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，∵線段，直線與x軸交于B點(diǎn)，，把點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，由（1）得：拋物線的對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱，，要使最大，即是使最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A，B，M在同一直線上時(shí)，的值最大．∵，，設(shè)直線的解析式為∴，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴．5．（22-23九年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，直線與拋物線相交于和，點(diǎn)是線段上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為_(kāi)_________；(3)在（2）的條件下，請(qǐng)用含有的式子表示的長(zhǎng)，并確定長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）已知在直線上，可求得的值，拋物線圖象上的、兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）可設(shè)出點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線和拋物線的解析式表示出、的縱坐標(biāo)，（3）可設(shè)出點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線和拋物線的解析式表示出、的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于與點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值．【詳解】（1）解：，在直線上，，，，在拋物線上，∴解得∴拋物線的解析式為（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：（3）解：，∵，∴當(dāng)時(shí)，線段最大為【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí).善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件.6．（21-22九年級(jí)上·山東菏澤·期末）已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，，即可；（3）作拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)P，則交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解∶把點(diǎn)，代入拋物線可得方程組，解得：，所以函數(shù)表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，，解得；另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）解∶觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，；（3）解∶如圖，作拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)P，則交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)式為，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解兩條線段和的最小值，利用拋物線的圖象解一元二次不等式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（21-22九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上（其中），求m的值；(4)在（3）的條件下，試問(wèn)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使的值最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)對(duì)稱軸：直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)：(3)6(4)存在，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，最小【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答解答，即可求解；（2）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）把代入二次函數(shù)的解析式，即可求解；（4）作點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得∶，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)：；（3）解：∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，∴或6．∵，∴m的值為6；（4）解：存在．如圖，由（2）可知，作點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)、代入得：，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，∴．∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，最?。军c(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（22-23九年級(jí)上·天津紅橋·期中）如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．①當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：，則：，解得：，∴；（2）解：如圖與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，設(shè)設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，解得：或，∵點(diǎn)在第一象限，∴，∴②設(shè)直線的解析式為，把代入得：解得：，∴直線的解析式為，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，解得：（舍）∴；所以當(dāng)時(shí)，最長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．（21-22九年級(jí)下·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，直角坐標(biāo)系中，拋物線，（，a，b均為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，13），分別交y軸正半軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線分別交拋物線于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)，（，）(2)【分析】（1）把點(diǎn)（3，13）代入拋物線解析式即可求出a的值，再把解析式一般式化成頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由解析式得出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得OC長(zhǎng)度，由，可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)，代入解析式計(jì)算即可．【詳解】（1）將點(diǎn)（3，13）代入拋物線中，得解得拋物線的表達(dá)式為頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（2）由拋物線的表達(dá)式為可得，（，）點(diǎn)P作x軸的平行線分別交拋物線于點(diǎn)A，B當(dāng)時(shí)，即解得即A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為故，AB的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式、一般式化成頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（21-22九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為_(kāi)_______．（2）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（3）①頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______；②當(dāng)0≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_(kāi)______，最小值為_(kāi)_________．（4）若點(diǎn)M是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）①；②4，-5；（4）【分析】（1）設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；（2）把點(diǎn)B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；（3）①將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；②根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可得當(dāng)時(shí)，有最大值4，再由二次函數(shù)的增減性，即可求解；（4）設(shè)點(diǎn)，則，可得，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（3，0）和C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為；（2）把點(diǎn)B（3，0）和C（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；（3）①，∴點(diǎn)；②∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值4，∴在直線的左側(cè)時(shí)，隨的增大而增大；在直線的右側(cè)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為4，最小值為-5；（4）設(shè)點(diǎn)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2024九年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·學(xué)業(yè)考試）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)；接下來(lái)用含m的二次函數(shù)表示S，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；【詳解】（1）直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，、，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，，，．（2）設(shè)，平行于x軸，與直線交于點(diǎn)，令，，，，，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)取最大值，最大值為4．12．（2024·河南周口·三模）如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

(1)求拋物線和直線的解析式；(2)點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，軸，點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)，，若與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)或(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)線段與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)；③當(dāng)線段恰好經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，三種情況討論求解即可；（3）根據(jù)對(duì)稱性可知，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得，解得，∴拋物線的解析式為將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入直線的解析式，得，解得∴直線的解析式為．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，∵點(diǎn)A和點(diǎn)C的水平距離是3，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴；②當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)線段與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)；③當(dāng)線段恰好經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)．綜上所述，或．（3）∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，將代入，得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

13．（2024·廣東佛山·二模）如圖，拋物線與直線相交于點(diǎn)，，直線AB與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線與直線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線在直線下方部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)綜合—線段問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，得到，，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，分別代入，得：，解得：，拋物線表達(dá)式為將點(diǎn)，分別代入得：，解得：直線的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，軸，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)坐標(biāo)為，，軸，點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，，，開(kāi)口向下，的最大值為．14．（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)若將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式；(3)若點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）再把原解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)，即可求解；（3）先求出直線的解析式，設(shè)，則，可得，即可．【詳解】（1）解：將代入，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴平移后的函數(shù)解析式為；（3）解：令，則，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)有最大值4．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一、解答題1．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)，求使的值最小時(shí)m的值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)Q，求的最大值．【答案】(1)拋物線為，直線AC為(2)(3)的最大值為．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；（2）作直線，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，得坐標(biāo)為，連結(jié)交直線于點(diǎn)M，此時(shí)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出求出m的值；（3）設(shè)，則，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】（1）解：由拋物線過(guò)點(diǎn)得，解得，∴拋物線為；設(shè)直線為過(guò)點(diǎn)，得，解得，∴直線為；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，作直線，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，得坐標(biāo)為，如圖，

連接交直線于點(diǎn)M，此時(shí)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，設(shè)直線的關(guān)系式為：，把點(diǎn)和代入得，得，，∴直線NM的函數(shù)關(guān)系式為：，當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：如圖，

∵軸交于點(diǎn)Q，∴設(shè)，則，∴，∵，∴有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法，利用函數(shù)關(guān)系式求最值，利用對(duì)稱知識(shí)求最值，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（21-22九年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使的值最??？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)，求出直線的解析式，利用配方法求出拋物線的對(duì)稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接，設(shè)，根據(jù)的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵拋物線的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)直線的解析式為將點(diǎn)，代入，得，解得，∴直線的解析式為，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）連接，

設(shè)，的面積，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題與二次函數(shù)，圖形面積問(wèn)題與二次函數(shù)，正確掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東東莞·一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求PA+PC長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)N（0，﹣1），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3(2)PA+PC的長(zhǎng)為(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，理由見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，可得C（0，3）．再設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）連接PA、PB、PC，根據(jù)軸對(duì)稱性可得PA＝PB．從而得到PA+PC＝PC+PB．進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值．即可求解；（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸，可得點(diǎn)，再由點(diǎn)N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴拋物線的解析式為y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．（2）解：如圖，連接PA、PB、PC，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P在直線l上，∴PA＝PB．∴PA+PC＝PC+PB．∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝．∴PA+PC的最小值＝．（3）解：存在，理由：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1．∵拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．∴點(diǎn)，∵點(diǎn)N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．∴OM=ON=1，OB=OC=3，∴，∴∠CBM=∠MNO，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)N下方時(shí)，∠MNQ=135°，不符合題意，∴點(diǎn)Q在點(diǎn)N上方，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，n）．則QN=n+1，∵以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似，∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，當(dāng)時(shí)，，如圖（2），∴，∴，解得：，∴點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，如圖（3），∴，∴，解得：，∴點(diǎn)，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．求的最大值．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為(2)的最大值為4【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到含直角三角形的性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用，求出，從而求出，再求出直線AC的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)，從而求出，最后得到的最大值為4．【詳解】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，則，則，解得：，則拋物線的表達(dá)式為∶；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵，則，即，由點(diǎn)C、A的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)、則點(diǎn)，則，∴的最大值為4．5．（2024·山西晉城·三模）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)是線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，，，(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)與x軸和y軸的交點(diǎn)問(wèn)題、求一次函數(shù)不等式、線段問(wèn)題，熟練待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）把和分別代入即可求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意表示出，，然后利用列方程求解即可．【詳解】（1）把代入，得，，把代入，得，解得，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，．設(shè)線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為；∴解得∴線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，點(diǎn)在線段AC上方的拋物線上，，，，解得或（舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為．6．（2024·江西九江·二模）已知一次函數(shù)與二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中．(1)當(dāng)時(shí)，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如果兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是兩個(gè)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)．①當(dāng)軸時(shí)，求的最小值；②當(dāng)軸時(shí)，求的最小值．【答案】(1)或(2)(3)①；②【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題；（1）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為y=二次函數(shù)為，聯(lián)立解析式，解方程，即可求解．（2）聯(lián)立解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為y=二次函數(shù)為①設(shè)，表示出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②設(shè)，表示出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：（1）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為y=二次函數(shù)為聯(lián)立方程組解得或∴交點(diǎn)坐標(biāo)為或；（2）由得∵兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，∴得（3）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為二次函數(shù)為①∵軸設(shè)，∴當(dāng)時(shí)，②設(shè)∵軸，∴當(dāng)時(shí)，7．（2024·甘肅臨夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問(wèn)線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，最大值是，(3)或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）兩點(diǎn)式直接求出函數(shù)解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)得到，得到當(dāng)最大時(shí)，的值最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）設(shè)，得到，求出點(diǎn)恰好在拋物線上且時(shí)的值，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴；（2）存在；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)最大，為，∴；（3）設(shè)，則：，當(dāng)點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，則：，∴，當(dāng)時(shí)，則：，解得：或，∵線段與拋物線有交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．8．（2024·河南鄭州·三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求的取值范圍；(3)如圖2，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將代入中，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）將拋物線表達(dá)式配成頂點(diǎn)式得，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，結(jié)合圖象即可求解；（3）先求得的解析式為，可得，，設(shè)點(diǎn)，得，，可知，再求得，，根據(jù)的周長(zhǎng)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：將代入中，可得：，解得，∴；（2）當(dāng)時(shí)，或，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，結(jié)合圖象，可知當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，∴；（3）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)的解析式為，代入，，得，解得，∴的解析式為，∵，，∴，，則，∴，，設(shè)點(diǎn)，∵軸，則，∴，∴，，∴的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，解直角三角形及其應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、配方法求二次函數(shù)的最值，列出的長(zhǎng)與的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．9．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與x軸交于，，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)P是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，P到的距離為h，求h與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出h的最大值；(3)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，，，，【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，而，則，即可求解；（3）當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和列出方程組，即可求解；當(dāng)或?yàn)閷?duì)角線，同理可解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，又過(guò)，則，則．即，即；（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接、，、，則，，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線解析式為，，，．，又，．，則，當(dāng)時(shí)，；（3）解：存在，理由：設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和得：，解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：；當(dāng)或?yàn)?/p>