2025年專升本數學專業(yè)線性代數真題模擬試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每小題4分，共20分）1.若矩陣A=(aij)3×4，且A≠O，則|A|的秩r(A)≤_______。2.向量組α1=(1,2,3),α2=(0,1,2),α3=(k,0,1)線性無關的充分必要條件是k_______。3.齊次線性方程組x1+x2+x3=0有非零解，則其系數矩陣的秩r≤_______。4.若矩陣A的特征值為λ1=2,λ2=-1,λ3=3，則|A|=_______。5.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩陣表示為_______。二、選擇題（每小題5分，共25分）1.下列矩陣中，可逆的是()A.[12;36]B.[10;01]C.[01;10]D.[12;24]2.設向量組α1,α2,α3線性無關，則下列向量組中線性無關的是()A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.2α1,2α2,2α3D.α1,α2+α3,α33.非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣(A|b)的秩為r，系數矩陣A的秩為r'，則方程組()A.有唯一解當且僅當r=r'B.有無窮多解當且僅當r=r'+1C.無解當且僅當r=r'+1D.有解當且僅當r=r'+14.設A是n階矩陣，且存在非零向量x使得Ax=0，則()A.A必可逆B.A必不可逆C.|A|>0D.|A|<05.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3經過正交變換x=PTy后，化為f=y12+y22-2y32，則原二次型的矩陣A的特征值是()A.1,1,-2B.2,-1,0C.1,-1,2D.1,0,-1三、計算題（每小題10分，共40分）1.計算行列式D=|123;012;135|的值。2.設矩陣A=[120;213;011]，求矩陣A的逆矩陣A?1（若存在）。3.解線性方程組：x1-x2+x3=1,2x1+x2-x3=2,x1+x2+x3=3。4.求向量組α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,5)的秩，并求其一個極大無關組。四、證明題（每小題15分，共30分）1.設向量組α1,α2,α3線性無關，證明向量組β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1也線性無關。2.設矩陣A是n階實對稱矩陣，且滿足A2=A（稱為冪等矩陣），證明：A的特征值只有0或1。---試卷答案一、填空題1.22.≠03.24.-65.[[1,1,1];[1,1,1];[1,1,1]]二、選擇題1.B2.A3.D4.B5.A三、計算題1.解：按第一列展開，得D=1×|12;35|-0×|23;11|+1×|21;13|=1×(1×5-2×3)+1×(2×3-1×1)=1×(5-6)+1×(6-1)=-1+5=4.思路：利用行列式的按行（列）展開定理進行計算，選擇零元素較多的行或列展開可以簡化計算。2.解：計算行列式|A|=1×(1×1-3×1)-2×(2×1-3×0)+0×(2×1-1×0)=1×(1-3)-2×2+0=-2-4=-6。因為|A|≠0，所以A可逆。利用伴隨矩陣法求逆：A?1=(1/|A|)*Adj(A)=(-1/6)*[Aij]3×3，其中Aij是元素aij的代數余子式。Adj(A)=[[-2-33];[-313];[33-3]](計算各代數余子式后轉置)A?1=(-1/6)*[[-2-33];[-313];[33-3]]=[[1/31/2-1/2];[1/2-1/6-1/2];[-1/2-1/21/2]].思路：首先判斷矩陣是否可逆（行列式非零），然后利用伴隨矩陣公式計算逆矩陣，需要計算9個2階子式和代數余子式。3.解：寫出增廣矩陣(A|b)=[[1-11|1];[21-1|2];[111|3]]，進行初等行變換化為行最簡形：[[1-11|1];[21-1|2];[111|3]]→[[1-11|1];[03-3|0];[020|2]](R2-R1,R3-R1)→[[1-11|1];[01-1|0];[020|2]](1/3*R2)→[[1-11|1];[01-1|0];[002|2]](R3-2*R2)→[[1-10|1];[01-1|0];[001|1]](1/2*R3)→[[100|2];[010|1];[001|1]](R1+R2,R2+R3)對應方程組為x1=2,x2=1,x3=1，所以方程組有唯一解(x1,x2,x3)=(2,1,1)。思路：利用高斯消元法（初等行變換）將增廣矩陣化為行最簡形，直接讀取解。4.解：寫出矩陣B=[α1α2α3]=[[111];[123];[135]]，對B進行初等行變換化為行階梯形：[[111];[123];[135]]→[[111];[012];[024]](R2-R1,R3-R1)→[[111];[012];[000]](R3-2*R2)行階梯形矩陣非零行數為2，所以向量組的秩r=2。非零行的首元素所在列對應的向量α1,α2是線性無關的，故極大無關組為{α1,α2}。思路：將向量組作為矩陣的列向量，通過初等行變換求矩陣的秩，同時找出線性無關的列向量構成極大無關組。四、證明題1.證明：設存在常數k1,k2,k3使得k1β1+k2β2+k3β3=0，即k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0。展開得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1,α2,α3線性無關，所以系數必須全為零：{k1+k3=0{k1+k2=0{k2+k3=0解此方程組，得k1=k2=k3=0。因此，β1,β2,β3線性無關。思路：利用線性無關的定義，設線性組合為0，得到關于系數的線性方程組，若只有零解，則向量組線性無關。2.證明：設λ是A的特征值，x是對應特征向量，即Ax=λx(x≠0)。由A2=A，得A(Ax)=Ax。代入Ax=λx，得A(λx)=λx，即