答疑計(jì)算行列式：第二章

矩

陣§1

矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換表示一個(gè)從變量到變量線性變換，其中為常數(shù)。矩陣與線性變換

n個(gè)變量與m

個(gè)變量之間的關(guān)系式系數(shù)矩陣√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開(kāi)辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地。BACD城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:√√一、矩陣概念的引入為了便于計(jì)算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況。其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量。例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量。

由

m×n

個(gè)數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡(jiǎn)稱

m×n矩陣。記作矩陣的概念簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元。行數(shù)不等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣?？捎涀?只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量)。

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)。元素全是零的矩陣稱為零距陣，可記作O

.例如：特殊的矩陣形如的方陣稱為對(duì)角陣，

特別的，方陣稱為單位陣，記作記作．[da???ɡ?nl?me?tr?ks]§2.2

矩陣的運(yùn)算2.2.1同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣。例如為同型矩陣。

兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.注意：不同型的零矩陣是不相等的。例如【例1】

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量。其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量。其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量?！窘狻抗S在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量2.2.2矩陣的加、減法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說(shuō)明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)比較交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣。顯然，可以定義矩陣的減法為設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量?！纠?】該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量?！窘狻抗S向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量。2.2.3數(shù)乘矩陣定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)比較【例3】已知求【解】

其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量?！纠?】

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量。試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量。【解】以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量。其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量?？捎镁仃嚤硎緸橐话愕兀?.2.4矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．【例5】已知

求【解】

【例6】設(shè)則AB=?知識(shí)點(diǎn)比較有意義嗎？沒(méi)有意義。只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘?！纠?】結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律。矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對(duì)加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的。純量陣不同于對(duì)角陣(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立若矩陣A與B滿足：AB=BA，則稱A與B可交換。此時(shí)，A與B必為同階矩陣?！纠?】已知

，求出所有與A可交換的矩陣?！窘狻吭O(shè)

為與A可交換的同階矩陣，則

由

，可推出

且可取任意值，即得

【例9】用數(shù)學(xué)歸納法證明矩陣等式?！咀C明】當(dāng)n=1

時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，有當(dāng)n=k+1時(shí)，即n=k+1時(shí)，等式也成立，所以任意正整數(shù)n，此等式成立?！揪毩?xí)】用數(shù)學(xué)歸納法證明矩陣等式?！咀C明】當(dāng)n=1時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，有當(dāng)n=k+1時(shí)，即n=k+1時(shí)，等式也成立，所以任意正整數(shù)n，此等式成立。【練習(xí)】設(shè)n階方陣A和B滿足

，

證明【證明】由

可推出

再由證得2.2.5矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)【例10】已知【解法1】【解法2】定義：設(shè)A

為n

階實(shí)方陣，如果滿足，即那么A稱為實(shí)對(duì)稱矩陣。如果滿足A=－AT，那么A稱為實(shí)反對(duì)稱陣。

實(shí)對(duì)稱陣實(shí)反對(duì)稱陣?yán)?1：設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對(duì)稱陣，且HHT=E.【證明】從而

H是對(duì)稱陣。

【練習(xí)】設(shè)矩陣A=（1，2），B=C=，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（）A．ACB B．ABCC．BAC D．CBAB【練習(xí)】設(shè)矩陣A=，B=，則________．（10）【練習(xí)】設(shè)矩陣A=，B=，則A+2B=

．【練習(xí)】設(shè)A=，B=，則AB=

．【練習(xí)】設(shè)，則___________．【練習(xí)】設(shè)A=，B=，則AB=

．2.2.6方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣。假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式令，則

C=(cij)=AB．從而．【練習(xí)】設(shè)矩陣A=，則行列式|ATA|=________．【解】100【練習(xí)】設(shè)A為n階方陣，為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．C【練習(xí)】設(shè)A為3階方陣，且已知，則（）A．－1 B．

C． D．1C【練習(xí)】設(shè)為2階矩陣，若則（）A． B．C． D．C【練習(xí)】設(shè)為3階矩陣，，則（）A．－3 B．－27 C．3 D．27D【練習(xí)】設(shè)3階方陣A的行列式為2,則()A.－1 B.－16C.16 D.1B定義：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式

Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣。元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列性質(zhì)性質(zhì)證明§2.3方陣的逆矩陣矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題。這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說(shuō)明，所指的都是n階方陣。

從乘法的角度來(lái)看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位。一個(gè)復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來(lái)刻劃。類似地，我們引入對(duì)于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有定義：

n階方陣A稱為可逆的（或非奇異矩陣），如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣。根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式。

對(duì)于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）。定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1

.方陣A可逆此時(shí)，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對(duì)于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣。定理：若方陣A可逆，則．推論：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且下面要解決的問(wèn)題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1？伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系

結(jié)論：，其中定理：若，則方陣A可逆，而且推論：若，則.元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列【例12】求二階矩陣的逆矩陣?！窘狻慨?dāng)A可逆時(shí)，【例13】求3階方陣的逆矩陣?！窘狻縷A|=1，則對(duì)于較高階的矩陣，用伴隨矩陣法求逆矩陣計(jì)算量太大。【例14】設(shè)A為n階方陣，則.【證明】由可得當(dāng)|A|≠0時(shí)，有如果|A|=0時(shí)，則要證明|A*|=0.用反證法，如果|A*|≠0，則A*是可逆矩陣，于是在矩陣等式的兩邊同時(shí)右乘A*的逆矩陣即可得A=O。零矩陣的伴隨矩陣為零矩陣，即A*=O，這與|A*|≠0矛盾，所以必有|A*|=0。設(shè)n階方陣A滿足A2-A-2En=O,求A,A-En

,A+2En的逆矩陣。由A2-A=2En得A(A-En)=2En,也即A[1/2(A-En)]=En，

(1/2A)(A-En)=En∴A-1=1/2(A-En)，(A-En)-1=1/2A，又由A+2En=A2

得(A+2En)-1=(A2)-1=(A-1)2

=1/4(A2-2A+En)=1/4(3En-A)【例15】【解】

凡是需要通過(guò)方陣等式求出逆矩陣的這種問(wèn)題，經(jīng)常用的是湊逆矩陣法，對(duì)于需要求逆矩陣的A，借助于A所滿足的方陣等式，湊出一個(gè)矩陣X使得

AX=En，或XA=En.

設(shè)A是三階矩陣，其行列式|A|=5，求行列式

|(5A*)-1|的值。|A*|=|A|(3-1)=52【例16】【解】【練習(xí)】設(shè)2階矩陣A=，則A*=（）A．

B． C． D．A【練習(xí)】矩陣的逆矩陣是（）A． B． C． D．C【練習(xí)】矩陣A=的伴隨矩陣A*=（）A． B． C． D．D【練習(xí)】設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知?jiǎng)tA=（）A． B．

C． D．D【解】【練習(xí)】設(shè)3階矩陣A=，A*A=

．【解】【練習(xí)】設(shè)A為四階矩陣，且，則（）A．1 B．3 C．9 D．27D【解】【練習(xí)】設(shè)A=，則（）A．－4 B．－2 C．2 D．4B【解】【練習(xí)】設(shè)A為三階矩陣，且，則（）A． B．1 C．2 D．4A【解】【練習(xí)】設(shè)，則

．【解】【練習(xí)】設(shè)，則____________．【解】【練習(xí)】已知2階矩陣的行列式，則（）A． B． C． D．A因?yàn)?，所以，【解】【練?xí)】設(shè)A為3階方陣，且,則_________．9【練習(xí)】設(shè)矩陣A的伴隨矩陣則（）A． B． C． D．C【解】§2.4

矩陣分塊法引言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳的情況，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳。家具的拆卸與裝配問(wèn)題一：什么是矩陣分塊法？問(wèn)題二：為什么提出矩陣分塊法？問(wèn)題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊；每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。這是2階方陣嗎？思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？答：不是。伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個(gè)數(shù)），而不是矩陣。問(wèn)題二：為什么提出矩陣分塊法？

答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣

A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想。分塊矩陣的加法若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！分塊矩陣的數(shù)乘若l是數(shù)，且

則有形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！分塊矩陣的乘法一般地，設(shè)A為m

l矩陣，B為l

n矩陣

，把A、B分塊如下：按行分塊以及按列分塊m

n矩陣A有m行n

列，若將第i行記作若將第j列記作則于是設(shè)A為m

s矩陣，B為s

n矩陣，若把A按行分塊，把B按列塊，則分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若則例如：分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置。分塊對(duì)角矩陣定義：設(shè)A

是n

階矩陣，若

A

的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對(duì)角線上的子塊都是方陣，那么稱A

為分塊對(duì)角矩陣。例如：分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)|A|=|A1

||A2

|…|As

|若|As

|≠0，則|A|≠0，并且【例17】設(shè)，求

A－1

．【解】【例18】證

Am

n=Om

n的充分必要條件是方陣ATA=On

n

．【證明】把A按列分塊，有于是那么即A

=O

．§2.5矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四、初等變換的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)回顧：克拉默法則結(jié)論

1如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的。結(jié)論1′如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。

設(shè)用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零。

線性方程組的解受哪些因素的影響？引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷22×③＋5×②2×④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程，記作；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解；在上述變換過(guò)程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算。iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。初等變換初等行變換初等列變換增廣矩陣結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換。①②③÷2①②③④①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5

對(duì)應(yīng)方程組為令x3=c

，則備

注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“=”，例如：矩陣加法 ＋數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 ×矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式 |?|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“～”，例如：初等行變換初等列變換有限次初等行變換有限次初等列變換行等價(jià)，記作列等價(jià)，記作二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對(duì)稱性若，則；傳遞性若，則．行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素。行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零。行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零。行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等變換結(jié)論有限次初等行變換定義：由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣：對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

。三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系(1)對(duì)調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

E5(3,5)記作

Em(i,j)．(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E5(3(5))記作

Em(i(k))．(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

E5(35(k))記作

Em(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對(duì)調(diào)，即.把矩陣A的第i列與第j列對(duì)調(diào)，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.性質(zhì)1

設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣?？谠E：左行右列.初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?性質(zhì)2

方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2…,Pl

．這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣。其實(shí)，可逆矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣也是單位陣。推論1

方陣

A可逆的充要條件是.推論2

方陣

A與B等價(jià)的充要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=B

.四、初等變換的應(yīng)用【解】【例19】即初等行變換【例20】【解】列變換行變換求解矩陣方程：【例２1】【解】所以從而【練習(xí)】設(shè)A=，求．【解】【練習(xí)】設(shè)A=，求．【解】【練習(xí)】設(shè)A=

，則

．【解】【練習(xí)】已知矩陣A=，B=，（1）求A的逆矩陣；（2）解矩陣方程．（1）【解】（2）【練習(xí)】已知，，滿足，求．【解】【練習(xí)】已知矩陣,

,

矩陣滿足,求

．由，得，于是【解】【練習(xí)】設(shè)

，矩陣X滿足關(guān)系式A+X=XA,求X．由，得，于是【解】§2.6矩陣的秩一、矩陣的秩的概念

定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式。顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個(gè)．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式

定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零。矩陣A的一個(gè)3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個(gè)3階子式也等于零。

定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣A中任何一個(gè)r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來(lái)表示。如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零。事實(shí)上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零。

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)。規(guī)定：零矩陣的秩等于零。矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)。顯然，若矩陣A

中有某個(gè)s

階子式不等于零，則R(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則R(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個(gè)，即|A|． 當(dāng)|A|≠0時(shí)，R(A)=n;

可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣． 當(dāng)|A|=0時(shí)，R(A)<n;

不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩陣A的一個(gè)2階子式矩陣AT

的一個(gè)2階子式AT

的子式與A

的子式對(duì)應(yīng)相等，從而R(AT)=R(A)．【例22】求矩陣A

和B

的秩，其中【解】在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．【例23】求矩陣A

和B

的秩，其中【解（續(xù)）】B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的3階子式，因此R(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？【例24】求矩陣A

和B

的秩，其中【解（續(xù)）】B

還有其它

3

階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)。二、矩陣的秩的計(jì)算【例25】求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個(gè))，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的。一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的。.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)。一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣。兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？定理：若A~B，則R(A)=R(B)

．

證明思路：證明A

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)．

B

也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)锳，則R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．經(jīng)過(guò)一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過(guò)有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變．設(shè)A

經(jīng)過(guò)初等列變換變?yōu)锽，則AT

經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)锽T

，從而R(AT)=R(BT)． 又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．第1步：

A

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)．【證明】設(shè)

R(A)=r，且A

的某個(gè)r

階子式D≠0．當(dāng)或時(shí)， 在B

中總能找到與D

相對(duì)應(yīng)的r

階子式D1． 由于D1=D或D1=－D或D1=kD，因此D1≠0，從而

R(B)≥r．當(dāng)時(shí)，只需考慮這一特殊情形．返回第1步：

A

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)．證明（續(xù)）：分兩種情形討論：(1)D

中不包含r1中的元素 這時(shí)D

也是B

的r

階非零子式，故R(B)≥r

．(2)D

中包含r1中的元素 這時(shí)B

中與D

相對(duì)應(yīng)的r階子式D1為若p=2，則D2=0，D=D1≠0，從而R(B)≥r；若p≠2，則D1－kD2=D

≠0， 因?yàn)檫@個(gè)等式對(duì)任意非零常數(shù)k

都成立， 所以D1、D2

不同時(shí)等于零， 于是B

中存在r

階非零子式D1或D2，從而R(B)≥r， 即R(A)≤R(B)．定理：若A~B，則R(A)=R(B)

．應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩?！纠?6】求矩陣

的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式。【解】第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣。行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高階非零子式。選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列。R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式。分析：對(duì)B

作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)B

的行階梯形矩陣為，則就是A

的行階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出R(A)及R(B)．【例27】設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩?！窘狻縍(A)=2R(B)=3矩陣的秩的性質(zhì)若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(A)

;

R(PA)=R(AQ)=R(A).

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特別地，當(dāng)B=b

為非零列向量時(shí)，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，則R(A)＋R(B)≤n．【練習(xí)】設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣

P=，若矩陣B=PA,則R(B)=_____________.【解】根據(jù)性質(zhì)，若P可逆，則R(PA)=R(A).

2例：設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．附注：當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣。特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣。本題中，當(dāng)C=O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．【例28】設(shè)A為

n階矩陣，證明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．【證明】因?yàn)?/p>

(A＋E)＋

(E－A)=2E，由性質(zhì)“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)

=n

．又因?yàn)镽(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．【例29】若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．【解】因?yàn)?/p>

R(A)=n，

所以A

的行最簡(jiǎn)形矩陣為，設(shè)m

階可逆矩陣P

，滿足．于是因?yàn)镽(C)=R(PC)，而，故R(B)=R(C)．行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素。行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零。分析：若R(A)=n，則A

的行最簡(jiǎn)形矩陣應(yīng)該有n

個(gè)非零行；每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為1；每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零；于是A

的行最簡(jiǎn)形中應(yīng)該包含以下n

個(gè)列向量：又因?yàn)锳

是m×n矩陣，所以A

的行最簡(jiǎn)形矩陣為．前n

行后m-n

行【例30】若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．【例31】若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，則R(B)=R(C)．附注：當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣。特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣。 因此，本例的結(jié)論當(dāng)A為為方陣時(shí)，就是性質(zhì)④．本題中，當(dāng)C=O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則

B=O

．【練習(xí)】設(shè)矩陣A=，矩陣，則矩陣B的秩R(B)=____．3【練習(xí)】已知某個(gè)3元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：若方程組無(wú)解，則a的取值為_(kāi)___．0增廣矩陣無(wú)解的基本條件是：方程組的系數(shù)矩陣的秩小于方程組增廣矩陣的秩，即R(A)<R(A,b).若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．【練習(xí)】設(shè)A是4×5矩陣，秩R(A)=3，則（）A．A中的4階子式都不為0 B．A中存在不為0的4階子式C．A中的3階子式都不為0 D．A中存在不為0的3階子式D若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)?！揪毩?xí)】設(shè)矩陣A=則秩R(A)=（）A．1 B．2C．3 D．4C【練習(xí)】設(shè)矩陣A=，問(wèn)a為何值時(shí)，（1）R(A)=1；（2）R(A)=2．（1）時(shí)，秩(A)=1；（2）時(shí)，秩(A)=2．【解】【練習(xí)】已知4×3矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)，則的秩等于()。A.1 B.2 C.3 D.4CR(AT)=R(A)如果A的列向量組線性無(wú)關(guān)，顯然矩陣A有n個(gè)列向量，則可以得到矩陣A的秩r(A)=n，于是方程Ax=0只有零解?！?.7矩陣與線性方程組一、線性方程組的表達(dá)式一般形式向量方程的形式方程組可簡(jiǎn)化為AX=b

．增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式二、線性方程組的解的判定設(shè)有n

個(gè)未知數(shù)m

個(gè)方程的線性方程組定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無(wú)解，就稱它是不相容的．問(wèn)題1：方程組是否有解？問(wèn)題2：若方程組有解，則解是否唯一？問(wèn)題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？

m、n

不一定相等！定理：n

元線性方程組Ax=b無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．分析：只需證明條件的充分性，即R(A)<R(A,b)無(wú)解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n無(wú)窮多解．那么無(wú)解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；無(wú)窮多解R(A)=R(A,b)<n．證明：設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)B=(A,b)的行最簡(jiǎn)形矩陣為第一步：往證R(A)<R(A,b)無(wú)解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，則dr+1=1．于是第r+1行對(duì)應(yīng)矛盾方程0=1，故原線性方程組無(wú)解．R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1前r

列后n-r

列前n

列前r

列第二步：往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．后n-r

列

則dr+1=0且r=n，對(duì)應(yīng)的線性方程組為

從而bij

都不出現(xiàn).前r

列n

列第二步：往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．

則dr+1=0且bij

都不出現(xiàn).

即r=n，前

r

行后

m－r

行后n-r

列n

行對(duì)應(yīng)的線性方程組為后

m－n

行第三步：往證R(A)=R(A,b)<n無(wú)窮多解．若R(A)=R(A,b)<n，對(duì)應(yīng)的線性方程組為前r

列

則dr+1=0.后n-r

列

即r<n，令xr+1,…,xn

作自由變量，則再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解例32求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無(wú)窮多解。備注：有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=r<n，這時(shí)

還能根據(jù)R(A)=R(A,b)=r<n判斷該線性方程組有無(wú)限多解嗎？x1x2x3x4x1x2x4x3同解返回解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則方程組的通解可表示為．【例33】求解非齊次線性方程組【解】R(A)=2，R(A,b)=3，故原線性方程組無(wú)解。例34求解齊次線性方程組提問(wèn)：為什么只對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣？答：因?yàn)辇R次線性方程組AX=0的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可從R(A)判斷齊次線性方程組的解的情況．【例35】設(shè)有線性方程組問(wèn)l

取何值時(shí)，此方程組有(1)唯一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解。定理：n

元線性方程組AX=b無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．【解法1】對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣．附注：對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換：如果作了這樣的變換，則需對(duì)l+1=0（或l+3=0）的情況另作討論．分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù)l

取何值時(shí)，r2、r3

是非零行；在r2、r3

中，有5處地方出現(xiàn)了l

，要使這5個(gè)元素等于零，l=0，3，－3，1；實(shí)際上沒(méi)有必要對(duì)這4個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手。于是當(dāng)l

≠0且l

≠－3時(shí)，R(A)=R(B)=3，有唯一解；當(dāng)l=0時(shí)，R(A)=1，R(B)=2，無(wú)解；當(dāng)l=－3時(shí)，R(A)=R(B)=2，有無(wú)限多解?！窘夥?】因?yàn)橄禂?shù)矩陣A

是方陣，所以方程組有唯一解的充分必要條件是|A|≠0．于是當(dāng)l

≠0且l

≠－3時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)l=0時(shí)，R(A)=1，R(B)=2，方程組無(wú)解．當(dāng)l=－3時(shí)，R(A)=R(B)=2，方程組有無(wú)限多個(gè)解，其通解為定理：n

元線性方程組AX=b無(wú)解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．分析：因?yàn)閷?duì)于AX=0

必有R(A,0)=

R(A)，所以可從R(A)

判斷齊次線性方程組的解的情況．定理：n

元齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n．定理：線性方程組AX=b

有解的充分必要條件是

R(A)=R(A,b)．定理：矩陣方程AX=B

有解的充分必要條件是

R(A)=R(A,B)．定理：矩陣方程AX=B

有解的充分必要條件是

R(A)=R(A,B)．證明：