2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末押題試卷01

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分測(cè)試范圍：平面向量+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計(jì)概

率

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)L把的虛部為()

I

A.TB./C.0D.1

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)3,進(jìn)而可得答案.

I-/

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)橹?="="所以虛部為i.

l-z(I+/)(1-/)2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，注意復(fù)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.AABC的三內(nèi)角A,B,。所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.設(shè)向量〃=(a+c,〃)，q=(b-a,c-ci)?

若向量0/例，則角C的大小是()

A.—B.—C.—D.一

6323

【分析】因?yàn)镽//q,根據(jù)向量平行定理可得(a+c)(c-a)=〃S-4)，展開(kāi)即得〃?+c/-c?=〃〃，又

根據(jù)余弦定理可得角C的值.

【解答】解：???p//(i/.(a+c)(c-a)=b(b-a)b2+a2-c2=ab

2cosc=\:.C=—

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩向量平行的坐標(biāo)形式的重要條件及余弦定現(xiàn)和三角函數(shù)，同時(shí)著重考查了同

學(xué)們的運(yùn)算能力

3.某中學(xué)全體學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)

都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所

示，下列說(shuō)法正確的是()

頻率

B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80)的學(xué)生數(shù)為30人

C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?3分

D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分

【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解.

【解答】解：對(duì)于A：根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分到100分之間的頻率和為I,可得

10x(0.()05+0.01+0.015+X+0.040)=I,解彳尋％=0.03,故A中音誤；

對(duì)于3：在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80)的學(xué)生數(shù)為10x0.015x4(X)=60人，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C:估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?5x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故。錯(cuò)

誤；

對(duì)于。：全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90+空xlO=95分，故。正確.

0.4

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬「基礎(chǔ)題.

4.已知直線平而a,直線/〃u平面a,則()

A.若/與機(jī)垂直，則/與a一定垂直

B.若/與加所成的角為30。，則/與a所成的角也為30。

C.〃/機(jī)是/〃a的充分不必要條件

D.若/與a相交，則/為〃?一定是異面直線

【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A選項(xiàng)：利用線面角的定義可判斷4選項(xiàng)：利用線面平行的

判定定理和性質(zhì)可判斷。選項(xiàng)：根據(jù)已知條件直接判斷/與，〃的位置關(guān)系，可判斷。選項(xiàng).

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)/與，〃垂直時(shí)，由線面垂直判定定理可得/與a不一定垂直，A錯(cuò)誤：

對(duì)于3選項(xiàng)，由線面角的定義可知，/與a所成的角是直線/與平面a內(nèi)所有直線所成角中最小的角，

若/與〃，所成的角為30。，則/與a所成的角。滿足0°領(lǐng)J930°,8錯(cuò)；

對(duì)于。選項(xiàng)，若〃/,〃，mua,I牛a,則〃/a,即//〃〃=〃/a,

若IHa，因?yàn)閙ua,則/與“1平行或異面,BPI//m,

所以，〃/用是〃3的充分不必要條件，C對(duì)：

對(duì)于。選項(xiàng)，若/與a相交，則/與根相交或異面，。錯(cuò).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中線面，線線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.隼合4={1.2}??={3.4.5},從A,A中各取一個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之和等于S的概率是（

）

71I1

A.-B.-C.-D.-

3263

【分析】先求出基本事件總數(shù)〃=2x3=6,再利用列舉法求出這兩數(shù)之和等于5包含的基本事件個(gè)

數(shù)，由此能求出這兩數(shù)之和等于5的概率.

【解答】解：集合A={l,2},8={3,4,5},從4,8中各取一個(gè)數(shù)，

基本事件總數(shù)〃=2x3=6,

這兩數(shù)之和等于5包含的基本事件有：（1,4）,（2,3）,共有2個(gè)，

.?.這兩數(shù)之和等于5的概率〃=?=1.

63

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解

能力，考杳化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

6.如圖，已知長(zhǎng)方體Aae-A4GA的底面為正方形,?為棱AR的中點(diǎn),且PA=3五.

45>/5

D.----n

2

【分析】判斷出四極錐P-ABCZ）的外接球球心位置并計(jì)算出球的半徑，從而求得外接球的體積.

【解答】解：設(shè)Q是AD的中點(diǎn)，設(shè)

依題意，四邊形A3C￡>是正方形，所以AO=4?=8,

P是的中點(diǎn)，所以M=J(3夜)2-3?=3,

OA=OB=OC=OD=-AC=-x6>/2=3yf2,

22

由于O,Q分別是AC,AD的中點(diǎn)，所以O(shè)Q//CD,OQ=LCD=3,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知COJL平面4ORA，所以。Q，平面人OQA，

由于PQu平面人。。八，所以O(shè)Q_LPQ,

所以O(shè)〃=6"百=3五，

所以O(shè)是四棱錐。-ABCD的外接球球心，且外接球的半徑為3>/2,

所以外接球的體積為與x(3及尸=72、&,

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查球與多面體的切接問(wèn)題，空間想象能力的培養(yǎng)筆知識(shí)，屬于中等題.

7.如圖所示，平行四邊形ABC。中，8月=2成，點(diǎn)b為線段AE的中點(diǎn)，則/=()

424424

【分析】先求出68尸=-5人從卜2AC,3AE=AB+2AC,組成方程組即可求解.

【解答】解：?.?點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，

BF=-BA+-x-BC=-BA+-(AC-AB)=--Afi+-ACt

2232363

即6BF=-5AB+2AC?,

BE=2EC,

_B_2_____B2__.__Bj___2___

/.AE=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

3333f

即3%戶=八8+24仁②，

由??得，AC=-AE+-BF,

42

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量加減運(yùn)算及基本定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.在銳角AA6c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,S為AA8C為面積，且2s=/一俗一切，,

則生土《的取值范圍為（）

be

A.若二)B.哈C.嗒

D.[2,+8)

1515

【分析】由已知利用三角形面積公式及余弦定理可得2-sinA=2cosA,然后利用同角關(guān)系式可得

sin4的值，利用正弦定理及三角恒等變換可得2=」_+3,結(jié)合條件可得tanC>3,進(jìn)而即得幺

c5tanC54c

范圍，最后換元應(yīng)用單調(diào)性可解.

【解答】解：因?yàn)?s=l-s-c）2,

所以可得2x—besinA=b2+c2-2bccosA-(b~+c2-2bc)>

2

化簡(jiǎn)得sinA+2cosA=2,

又Aw(0，)，sin2A+cos2A=\,

2

聯(lián)立得5sin2A-4sinA=0,

4

解得sinA=—或sinA=0(舍去),

5

rt-iMbsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAC43

幽以—=----=---------=-----------------=------F—

csinCsinCsinC5tanC5

因?yàn)镸BC為銳角三角形，

所以0<。<工，B=7r-A-C<-，

22

所以2-A<C<2,

22

所以lanC>tan(--A)=—!—=—?

2tanA4

所以熹

所以高〃°‘與‘

?043

vx.t=-=----+-e(b

c5tanC5ri

b2+c2bc

所以

beb

由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知），=，+；在g,i）上單調(diào)遞減，在（i,|）上單調(diào)遞增,

當(dāng)，=1時(shí)，y=2；當(dāng)，=3時(shí)，y=—；當(dāng)時(shí)，y=—t

-515315

34

所以，G[2，E），

所以勺匚的取值范圍是⑵費(fèi)）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查運(yùn)

算求解能力和函數(shù)思想，屬于中檔題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分

9.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為I,2,3,4,5,6）,并分別記

錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒(méi)有出

現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（）

A.中位數(shù)為3,眾數(shù)為5B.中位數(shù)為3,極差為3

C.中位數(shù)為1,平均數(shù)為2D.平均數(shù)為3,方差為2

【分析】利用中位數(shù)、眾數(shù)的定義和性質(zhì)判斷4：利用中位數(shù)、極差的定義和性質(zhì)判斷A：利用中

位數(shù)和平均數(shù)的定義和性質(zhì)判斷C：利用平均數(shù)和方差的定義和性質(zhì)判斷。.

【解答】對(duì)于4,?.?中位數(shù)為3,眾數(shù)為5,.??這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，

第3個(gè)數(shù)是3,則第4個(gè)數(shù)和第5個(gè)數(shù)都是5,

.這5個(gè)數(shù)中一定沒(méi)有6,故A正確：

對(duì)于?.?中位數(shù)為3,極差為3,.?.這5個(gè)數(shù)可以是3,3,3,4,6,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,?.?中位數(shù)為1,平均數(shù)為2,.?.這5個(gè)數(shù)可以是1,1,1,1,6,故C錯(cuò)誤：

對(duì)于Z),,平均數(shù)為3,方差為2,.,.n+%+N+乙+$=15，

222

2[(司-3)+(,馬―3)2+(m—3)+(x4—3)+(Xj-3)"]=2,

x+v22

若取X=6,則與+&+4-5=9，(x,-3打+(x?-3)+(七一3)+($一3尸=1,

(蒞-3)2,,1?*3—3)~”1t(x4—3)*,.I,($—3)",,1,

天，&，，-J這4個(gè)數(shù)可以是4,3,3,3與2,3?3?3,與天+』+七+&=9矛盾，故6不

存在，故。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是()

A.設(shè)G,囚為非零向量，若則d_L〃

B.設(shè)H，坂為非零向量，若G$)0,則d,6的夾角為銳角

C.設(shè)萬(wàn)，d為非零向量，則(小萬(wàn))？=小(5?0

D.若點(diǎn)G為AABC的重心，^GA+GB+GC=0

【分析】利用向量模的性質(zhì)以及垂直條件判斷A;向量的數(shù)量積判斷夾角，判斷8：利用反例向量

的數(shù)量積判斷C：三角形的重心判斷Q.

【解答】解；對(duì)于八，a,B為非零向量，若花"|=|儀5|,

則(&+萬(wàn))2=(4-5>,即4出=0,

故故A正確；

對(duì)于3,設(shè)a,6為非零向量，若小5>0,則a,6的夾角為銳角或同向共線，所以4是假命題：

對(duì)于C,設(shè)d=(l,-l),b=(0.1),=(1,1)?則m〃)Y=0,(2?(bC)=-d,所以。是假命題.

對(duì)于。，如圖：

取8C的中點(diǎn)。，連接GO,并延長(zhǎng)至E,使IOERGOI，則四邊形月KCG為平行四邊形,

/.GB+GC=GE=2GD.又G4+GA+GC=O,

AGA=-2GD,即G、A、。三點(diǎn)共線，且G為三等分點(diǎn),

故G為A43C的重心；

設(shè)G是A4BC的重心，則G是A43C的三邊中線的交點(diǎn),

GA=-2GD,

又一2G力=一（6月+6C），

GA+GB+GC=O.

.??命即〃成立，綜上，點(diǎn)G為AABC的重心，則G4+G4+GC=0,所以D真命題:

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷，向量運(yùn)和的法則和幾何意義，三角形重心的性質(zhì)，充分條件、

必要條件的判斷，屬于中檔題.

11.如圖，在菱形A8C/）中，AB=2,N48C=60。，M為8c的中點(diǎn)，將A48W沿直線AM翻折

成△Aqw,連接和4。，N為4。的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是（）

MC

A.AM±BtC

B.CN的長(zhǎng)為定值

C.A片與CN的夾角為工

6

D.當(dāng)三棱錐片-人M3的體枳最大時(shí)，三棱徘居-/1MO的外接球的表面枳是8江

【分析】利用平面幾何的知識(shí)結(jié)合直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、余弦定理和勾股定理判

斷選項(xiàng)A，再利用余弦定理判斷選項(xiàng)B，利用兩條異面直線所成角的定義以及余弦定理判斷選項(xiàng)C，

再利用三棱錐的體枳公式結(jié)合球的表面積公式判斷選項(xiàng)。，即可得到答案.

【解答】解：因?yàn)锳&7）是菱形，ZABC=60°.所以A8=8C,則A48C為等邊三角形，

Bi

又因?yàn)?為5c的中點(diǎn)，所以AM_L8C,

又8M=；8C=gA8=l,又因?yàn)榈㎝=3M=1,AB,=AB=2,4￡M=ZABM=60°,

所以AM2=A8；+片M?-2A修用McosNAQM,BPAM2=22+12-2x2xlxcos600=3,

所以AM=J5,所以AM?+8附2=3，所以AM_L始M,

又因?yàn)镸M0|8C=M,8CU平面為WC,MCU平面gMC,

所以AM_L4C,故選項(xiàng)A正確；

作AD的中點(diǎn)E,連結(jié)￡7V,EC，因?yàn)镹為用/）的中點(diǎn)，

所以EN//AB「又因?yàn)镋C//AM,

所以/NEC=NgAM=巴,

所以NC?=NE2+EC2-2NE-ECcos/NEC,NC2=NE2+EC2-2NE-ECcosZB^M,

又NE=：A&=：A4=l,￡C=4M=V?cosN4AM=咚，所以NC?=1+3-2乂以6、￥=1,即

NC=\?

所以NC為定值，故選項(xiàng)4正確：

A4與NC的夾角也就是EV與CN的夾角，即N￡NC,又NNEC=30°,NC=\,

所以cos/ENC=*NO、￡C~=」,所以/ENC=三,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

2EN-NC23

要使％YW最大，則4M_L8C，

因?yàn)镹flADnlgCr-NAbCnlZO0,-=-,AM±BC,

AB2

所以N8AM=30°,則NM4D=N8AO-N^1M=90。，

所以MA_LAO,

在直角三角形MM）中，M￡）為斜邊，取斜邊上的中點(diǎn)/，又N為BQ的中點(diǎn)，

所以EN//BiM,又8幽_!,平面AMO,

所以川J.平面/VW）,M/）u平面人如，

所以招_1,用。，

所以N為外接球的球心，

所以半徑/=，3〃0）2+（吶）2=NM,又M￡>2=/1例2+AO2=G，+2：=7,FN?=；,

則r=口/m+2砂=72,

V44

所以外接球的表面積S=4無(wú)尸=84，故選項(xiàng)。正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是立體幾何知識(shí)的應(yīng)用，主要考查的是直線與直線之間的位置關(guān)系的判斷，兩

條異面直線所成的角的求解，空間幾何體的體積與表面積的問(wèn)題，同時(shí)涉及了余弦定理的應(yīng)用，本

題的綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力要求較高.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)z滿足z-N=4,則lz-31的最小值為1.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共鈍復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：設(shè)2=々+〃，a,bwR,

?/z-z=4?/.{a+bi){a-bi)=a2+/?2=4,

表不以(0,0)為圓心，半徑為2的圓，

?.?Iz-31表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(0,-3)的距離,

z-3|的最小值為J(0—0尸+(0+3尸-2=3-2=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共恢復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

13.若隨機(jī)事件A,4互斥，A,4發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=3-〃，P(B)=2〃一5,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為_(kāi)g,3)_.

【分析】由隨機(jī)事件A、4互斥，A、4發(fā)生的概率均不等0,且，(A)+P(B)?1,由此能求

出實(shí)數(shù)。的取值范鬧.

【解答】解：隨機(jī)事件A、8互斥，A、8發(fā)生的概率均不等于0,且0(A)=3-a,P(B)=2a-5,

C<P(A)<10<3-?<1

C<P(8)<1,即0<2?-5<1,

a-2,I

解得：-<a<3.

2

故答案為：g,3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件和對(duì)立事件，難度不大，屬了基礎(chǔ)題.

14.如圖，三極臺(tái)AAC-Aqq的上、下底邊長(zhǎng)之比為1:2,記三楨錐用體積為匕，三樓臺(tái)

【分析】利用相似關(guān)系確定上下底面面積的比值，將棱錐轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，結(jié)合體積公式求得兩個(gè)幾何體

的體積，即可求解.

【解答】解：由三棱臺(tái)ABC-A4G的上、下底邊長(zhǎng)之比為1:2,可得上、下底面的面積比為1:4,

設(shè)棱臺(tái)的高為/?，則點(diǎn)3到四G伍距離也為〃，上底而面枳為S，則卜.底面而枳為4S,

1/1/1/―.

貝|J_L=叫g(shù)______3__________1

匕匕BC-A4G匕BC-AA。,(S+4S+JSX4S)7

故答案為：

7

【點(diǎn)評(píng)】木題考查了臺(tái)體、錐體體積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.把一個(gè)棋子放在A48C的頂點(diǎn)A，棋子每次跳動(dòng)只能沿AA3C的一條邊從一個(gè)頂點(diǎn)跳到另一個(gè)

頂點(diǎn)，并規(guī)定：拋一枚硬幣，若出現(xiàn)正面朝上，則棋子按逆時(shí)針?lè)较驈钠遄铀诘捻旤c(diǎn)跳到AAM的

另一個(gè)頂點(diǎn)：若出現(xiàn)反面朝上，則棋子按順時(shí)針?lè)较驈钠遄铀诘捻旤c(diǎn)跳到AA5c的另一個(gè)頂點(diǎn).現(xiàn)

在拋3次硬幣，棋子按上面的規(guī)則跳動(dòng)3次

(I)列出棋子從起始位置A開(kāi)始3次跳動(dòng)的所有路徑(用AA3c頂點(diǎn)的字母表示)：

(II)求3次跳動(dòng)后，棋子停在A點(diǎn)的概率.

【分析】(/)列舉出從A出發(fā)的所有的跳動(dòng)路徑，用頂點(diǎn)的字母來(lái)表示跳到的位置，中間用帶有箭

頭的線段表示跳動(dòng)的方向.

(〃)本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)由上一問(wèn)知是8,滿足條件的事件包含2

個(gè)基本事件：Ar4fC->A,4fA.根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果.

【解答】解：（I）棋子3次跳動(dòng)的所有路徑如下：

A-,B->C->A,A->B->C->B*A->B->A->B,A-,B->A―>C

A->C->B->A,A->C-,B->C9A->C-,A-,C?A-,C->A—>B

共8條路徑.

（II）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，

試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是8.

滿足條件的事件包含2個(gè)基本事件：A—BfCfA,AfCfAfA.

7I

：.P=-=-

84

即3次跳動(dòng)后，棋子停在八點(diǎn)的概率為

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目需要根據(jù)條件中所給的說(shuō)法，對(duì)題

目進(jìn)行理解，是一個(gè)新定義問(wèn)題.

16.如圖，在長(zhǎng)方體中，4?=4）=1,他=2,點(diǎn)。為棱。。上一點(diǎn).

3）試確定點(diǎn)。的位置，使得8〃//平面/HC,并說(shuō)明理由：

（2）在（I）的條件下，求異面直線與八尸所成角的大小.

【分析】（I）根據(jù)三角形中位線證明線線平行即可求證，

（2）根據(jù)線線平行找到異面直線的所成角，即可結(jié)合三角形邊角關(guān)系求解.

【解答】解:（1）當(dāng)。為桂DQ的中點(diǎn)時(shí)，平面抬C.

理由如下：設(shè)AC和4。交于點(diǎn)O,則。為3。的中點(diǎn).

連接"O，又因?yàn)镻是?！ǖ闹悬c(diǎn)，所以PO//84.

又因?yàn)镻Ou平面PAC,平面P4C.

所以直線8〃//平面A4C.

(2)由(1)知，PO//BDy,所以NAPO即為異面直線BQ與AP所成的角或其補(bǔ)角.

因?yàn)槭珹=PC=&,AO=-AC=—KPO±AO,

22

72

所以sinZAPO==-7=-=—.

APV22

又N4尸Oe(0,g,所以NAP。］.

故異面直線BD｝與AP所成角的大小為-.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定，異面直線所成角的求法，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

17.2022年7月1日是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對(duì)黨章黨史的認(rèn)知程度，

針對(duì)黨支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史''知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(95分及以上為

認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有初人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,

30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這〃，人的第80百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者.若有甲(年

齡36),乙(年齡42)兩人己確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)

抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.

頻率

百分位數(shù):

(2)結(jié)合頻率分布直方圖確定在［35,40)和［40,45)兩區(qū)間內(nèi)頻率分別為0.2,0.1,進(jìn)而求得在［35,

40)司［40,45)的使者分別為4人、2人，再運(yùn)用古典概型模型求解.

【解答】解：(1)設(shè)這加人的平均年齡為了，

則x=22.5x0.05+27.5x0.35+32.5x0.30+37.5x0.20+42.5x0.10=32.25歲.

設(shè)第80百分位數(shù)為〃，

由0.05+0.35+0.3+(a-35)x0.04=0.8,解得:a=37.5.

(2)由樣本頻率估計(jì)總體頻率，在［35,40)和［40,45)兩區(qū)間內(nèi)頻率分別為0.2,0.1,

［35,40)區(qū)間應(yīng)抽取20x0.2=4(人)，設(shè)為A,B,C,甲，

［40,45)區(qū)間應(yīng)抽取20x0.1=2(人),設(shè)為丫,乙,

則從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為

C=IA8,AC,4甲，4乙，AY,BC，8甲，B乙,BY,C甲，。乙，CY,甲乙，甲V,

乙片，共15個(gè)，

記4="甲、乙兩人至少有人被選上；

則A=(八甲，A乙，B甲,B乙，。甲，C乙，甲乙，甲丫，乙丫｝,共9個(gè)，

以P(A)

〃(Q)155

故甲、乙兩人至少有一人被選上的概率為士.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由頻率分布直方圖求頻數(shù)、頻率、平均值，考查頻率公式，百分位數(shù)，古典概型,

屬于基礎(chǔ)題.

18.平面內(nèi)給定三個(gè)向量”(2,2),5=(〃+l,4)e=&3),且m+孫?"

(1)求實(shí)數(shù)&關(guān)于〃的表達(dá)式；

(2)如圖，在AA8C中，G為中線AM的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G的直線與邊AB,AC分別交于點(diǎn)P,Q(P,

。不與A重合).設(shè)向量=(攵+3"氏碩="?AC,求2/〃+〃的最小值.

4

【分析】(I)由平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得到等量關(guān)系即可；

(2)由平面向量的線性運(yùn)算得到，?=-!-A戶+再由〃，G,Q三點(diǎn)共線，所以

8/74/〃8/74m

最后由基本不等式即可求出.

【解答】解：(1)因?yàn)榧?簧=(2+2n8),方一"=(〃一1,2),"+勿〃(6-㈤,

所以2(2+22)=801-1),即&=2〃一3.

(2)由⑴可知,AP=(k+3)AB=2nABfAQ=mACt

由題意可知小，n>0?

因?yàn)镚為中線AM的中點(diǎn)，；.AG=-AM=-AB+-AC,AB=—AP,AC=-AQ

2442nrn

所以AG=」-/3+」一，。，

8〃4〃？

因?yàn)?。，G,。三點(diǎn)共線，所以-L+-L=|,

8〃4m

..11、1"n5、1,[mn5、9

所以2〃?+〃=(2〃?+，i)(—H---)=—(—i--i--)..—(z2./-----+—)=—,

8n4m4nm24Vnm28

當(dāng)且僅當(dāng)，〃=〃=3時(shí)，取等號(hào)，

8

即加=g4A,AC=|時(shí)，2,“+〃取最小侑|.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、線性運(yùn)算與基本不等式的綜合，屬于中檔題.

19.已知平面四邊形ABC￡>,4?=4)=2,ZBAD=60%48=30。，現(xiàn)將A4BO沿皮)邊折起,

使得平面/WD_L平面38,此時(shí)AQ_LC￡),點(diǎn)尸為線段A￡)的中點(diǎn).

(1)求證：AP_L平面ACO；

(2)若M為CZ)的中點(diǎn)，求M尸與平面4尸。所成角的止弦值：

(3)在(2)的條件下，求二面角尸-郎/-。的平面角的余弦值.

AA

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三級(jí)合一定理及線面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理

及線面垂直的判定定理即可求解：

（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，再利用線面角的定義及勾股定理，結(jié)合銳角三角

函數(shù)的定義即可求解：

（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，再利用面面角的定義及勾股定理，結(jié)合等面積法

及銳角三角函數(shù)的定義即可求解.

【解答】證明：（1）因?yàn)??=4），㈤￡>=60。，所以AABO為等邊三角形，

因?yàn)椤笧槿?。的中點(diǎn)，所以3P_LA￡>.

取瓦>的中點(diǎn)E,連接AB=AD,則AEJ.Q,

因?yàn)槠矫嫫矫?CD,平面45。0|平面次7￡>=3。，AEu平面4?。，

所以AE_L平面8c。，又COu平面