2025年高中物理競(jìng)賽專題訓(xùn)練三十七：宇宙學(xué)與天體物理初步一、哈勃定律與宇宙膨脹1.1哈勃定律的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)與公式表達(dá)1929年，美國(guó)天文學(xué)家哈勃通過對(duì)河外星系的觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，星系的退行速度(v)與距離(d)成正比，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：[v=H_0d]其中(H_0)為哈勃常數(shù)，當(dāng)前最佳測(cè)量值為(70\pm4,\text{km/s·Mpc})（1Mpc=3.26百萬光年）。該定律揭示了宇宙在大尺度上的均勻膨脹特性，即距離越遠(yuǎn)的星系退行速度越快。1.2紅移現(xiàn)象與宇宙學(xué)紅移星系退行速度通過光譜紅移測(cè)量，紅移量(z)定義為：[z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}]其中(\Delta\lambda)為觀測(cè)波長(zhǎng)與原波長(zhǎng)(\lambda_0)的差值。對(duì)于非相對(duì)論性退行（(v\llc)），紅移與速度關(guān)系近似為(v=cz)；而在相對(duì)論框架下需考慮宇宙學(xué)紅移，此時(shí)紅移反映的是空間膨脹而非單純的多普勒效應(yīng)。1.3宇宙年齡的估算假設(shè)宇宙勻速膨脹，由哈勃定律可估算宇宙年齡(t_0)：[t_0=\frac{1}{H_0}\approx\frac{1}{70,\text{km/s·Mpc}}\approx140,\text{億年}]實(shí)際宇宙年齡需考慮減速膨脹修正，結(jié)合WMAP觀測(cè)數(shù)據(jù)，當(dāng)前精確值為138億年。1.4哈勃定律的幾何意義哈勃定律表明宇宙沒有中心——在任何星系上觀測(cè)，其他星系均以該星系為中心退行。這一結(jié)論可通過二維球面膨脹類比：球面上任意兩點(diǎn)距離隨半徑增大而增加，且相對(duì)速度與距離成正比，不存在特殊中心位置。二、黑洞與致密天體2.1史瓦西半徑與視界黑洞的臨界半徑由史瓦西在1916年通過廣義相對(duì)論導(dǎo)出，公式為：[R_s=\frac{2GM}{c^2}]其中(G)為引力常數(shù)，(M)為天體質(zhì)量，(c)為光速。當(dāng)天體實(shí)際半徑小于(R_s)時(shí)，光無法逃逸，形成事件視界。例如：地球的史瓦西半徑約9mm太陽(yáng)的史瓦西半徑約3km銀河系中心超大質(zhì)量黑洞（400萬倍太陽(yáng)質(zhì)量）的(R_s\approx1.2\times10^7,\text{km})2.2史瓦西半徑的半經(jīng)典推導(dǎo)從牛頓力學(xué)出發(fā)，將逃逸速度設(shè)為光速(v=c)，由引力勢(shì)能與動(dòng)能平衡：[\frac{1}{2}mc^2=\frac{GMm}{R_s}]解得(R_s=\frac{2GM}{c^2})。需注意，該推導(dǎo)雖結(jié)果正確，但嚴(yán)格證明需通過廣義相對(duì)論的史瓦西度規(guī)。2.3黑洞的分類與觀測(cè)證據(jù)恒星黑洞：質(zhì)量3-100倍太陽(yáng)質(zhì)量，由大質(zhì)量恒星引力坍縮形成超大質(zhì)量黑洞：位于星系中心，質(zhì)量(10^6-10^{10}M_\odot)，如M87星系中心黑洞（65億倍太陽(yáng)質(zhì)量）觀測(cè)證據(jù)：通過引力透鏡效應(yīng)、吸積盤X射線輻射（如天鵝座X-1）及2019年事件視界望遠(yuǎn)鏡拍攝的黑洞陰影圖像2.4致密天體的質(zhì)量上限白矮星：錢德拉塞卡極限（1.44(M_\odot)），超過此質(zhì)量將坍縮為中子星中子星：奧本海默-沃爾科夫極限（2-3(M_\odot)），超過此質(zhì)量形成黑洞夸克星：理論預(yù)言的介于中子星與黑洞之間的天體，尚未觀測(cè)證實(shí)三、宇宙微波背景輻射3.1黑體輻射特性與溫度宇宙微波背景輻射（CMB）是大爆炸后38萬年（復(fù)合時(shí)期）的光子余暉，具有完美黑體譜，當(dāng)前溫度(T=2.725,\text{K})，峰值波長(zhǎng)約1.06mm（微波波段）。1964年彭齊亞斯和威爾遜通過射電望遠(yuǎn)鏡意外發(fā)現(xiàn)，因此獲得1978年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。3.2各向異性與宇宙結(jié)構(gòu)起源CMB溫度存在(\DeltaT\approx10^{-5},\text{K})的微小漲落，對(duì)應(yīng)宇宙早期密度擾動(dòng)。這些擾動(dòng)通過引力不穩(wěn)定性放大，最終形成星系團(tuán)等大尺度結(jié)構(gòu)。普朗克衛(wèi)星觀測(cè)到的溫度功率譜顯示：角尺度約1°處存在第一聲學(xué)峰，對(duì)應(yīng)重子-光子流體振蕩高階峰反映暗物質(zhì)分布特性，證實(shí)(\Lambda\text{CDM})宇宙模型3.3宇宙學(xué)參數(shù)的精確測(cè)量通過CMB各向異性分析可精確測(cè)定：宇宙平坦性：空間曲率(\Omega_k\approx0)物質(zhì)組成：重子物質(zhì)占4.9%，暗物質(zhì)占26.8%，暗能量占68.3%哈勃常數(shù)：(H_0=67.4\pm0.5,\text{km/s·Mpc})3.4熱歷史與復(fù)合過程大爆炸后38萬年：溫度降至3000K，電子與質(zhì)子復(fù)合成中性氫，光子退耦退耦后光子自由傳播：因宇宙膨脹紅移，波長(zhǎng)從可見光（500nm）拉長(zhǎng)至微波（1mm）當(dāng)前溫度：由(T(t)\propto1/a(t))計(jì)算，其中(a(t))為宇宙標(biāo)度因子四、天體物理中的引力應(yīng)用4.1開普勒定律與星系旋轉(zhuǎn)曲線開普勒第三定律：(T^2\proptor^3)適用于太陽(yáng)系，但星系外圍恒星速度(v(r)\approx\text{常數(shù)})，揭示暗物質(zhì)存在旋轉(zhuǎn)曲線公式：(v(r)=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}})，通過觀測(cè)(v(r))可反推星系質(zhì)量分布(M(r))4.2引力透鏡效應(yīng)光線經(jīng)過大質(zhì)量天體時(shí)發(fā)生偏折，形成：強(qiáng)透鏡：愛因斯坦環(huán)、多重像弱透鏡：背景星系形狀畸變微透鏡：恒星引力對(duì)背景天體的亮度放大該效應(yīng)已成為探測(cè)暗物質(zhì)分布的重要工具。4.3中子星與引力波中子星具有極端物理?xiàng)l件：密度(10^{17},\text{kg/m}^3)，核物質(zhì)狀態(tài)方程研究快速自轉(zhuǎn)（毫秒脈沖星），精確檢驗(yàn)廣義相對(duì)論雙中子星并合產(chǎn)生引力波，2017年LIGO首次探測(cè)到GW170817事件五、競(jìng)賽題型解析與拓展5.1哈勃定律應(yīng)用題例題：某星系紅移(z=0.1)，假設(shè)(H_0=70,\text{km/s·Mpc})，求其距離與退行速度。解答：非相對(duì)論近似：(v=cz=3\times10^5\times0.1=3\times10^4,\text{km/s})距離：(d=v/H_0=3\times10^4/70\approx429,\text{Mpc})（13.9億光年）5.2史瓦西半徑計(jì)算例題：若將太陽(yáng)壓縮為黑洞，其事件視界面積多大？若落入黑洞，時(shí)間如何變化？解答：(R_s=2GM/c^2=2\times6.67\times10^{-11}\times2\times10^{30}/(3\times10^8)^2\approx3,\text{km})視界面積：(A=4\piR_s^2\approx1.1\times10^8,\text{m}^2)引力時(shí)間膨脹：(\Deltat'=\Deltat\sqrt{1-R_s/r})，當(dāng)(r\toR_s)時(shí)，(\Deltat'\to0)5.3CMB黑體輻射計(jì)算例題：計(jì)算CMB光子的平均能量與宇宙中光子數(shù)密度。解答：平均能量：(\langleE\rangle=2.7kT=2.7\times1.38\times10^{-23}\times2.725\approx10^{-22},\text{J})數(shù)密度：(n_\gamma\approx400,\text{cm}^{-3})，遠(yuǎn)大于重子數(shù)密度（(n_b\approx0.2,\text{m}^{-3})）5.4暗物質(zhì)存在的動(dòng)力學(xué)證據(jù)例題：星系半徑(r=10,\text{kpc})處恒星速度(v=200,\text{km/s})，求該半徑內(nèi)總質(zhì)量。解答：由(v^2=GM/r)得：(M=v^2r/G=(2\times10^5)^2\times10\times3.086\times10^{19}/6.67\times10^{-11}\approx1.85\times10^{41},\text{kg}\approx9.3\times10^{10}M_\odot)該質(zhì)量遠(yuǎn)大于可見物質(zhì)質(zhì)量，證明暗物質(zhì)存在。六、宇宙學(xué)前沿與競(jìng)賽拓展6.1暴脹宇宙理論為解決視界問題與平坦性問題，1980年古斯提出暴脹理論：宇宙早期（(t\approx10^{-36},\text{s})）經(jīng)歷指數(shù)膨脹，標(biāo)度因子(a(t)\proptoe^{Ht})量子漲落被放大為CMB溫度漲落，成為結(jié)構(gòu)形成種子預(yù)言原初引力波，可能通過CMBB模式極化探測(cè)6.2暗能量與宇宙加速膨脹1998年超新星觀測(cè)發(fā)現(xiàn)宇宙加速膨脹，驅(qū)動(dòng)機(jī)制為暗能量：狀態(tài)方程(w=p/\rhoc^2\approx-1)，具有負(fù)壓特性可能模型：宇宙學(xué)常數(shù)、Quintessence動(dòng)態(tài)標(biāo)量場(chǎng)未來命運(yùn)：若暗能量持續(xù)主導(dǎo)，宇宙將進(jìn)入“大撕裂”或“熱寂”6.3高紅移天體與再電離類星體：(z>7)的類星體揭示星系形成早期階段再電離：(z=6-10)期間，第一代恒星紫外輻射電離氫原子詹姆斯·韋伯望遠(yuǎn)鏡：探測(cè)第一代星系，檢驗(yàn)恒星形成理論6.4競(jìng)賽重點(diǎn)公式總結(jié)公式名稱表達(dá)式物理意義哈勃定律(v=H_0d)星系退行速度與距離關(guān)系史瓦西半徑(R_s=2GM/c^2)黑洞事件視界半徑紅移-距離關(guān)系(d_L=\frac{cz}{H_0})低紅移近似距離（光度距離）黑體輻射定律(\lambda_{\text{max}}T=b)維恩位移定律，(b=2.898\times10^{-3},\text