數(shù)學(xué)建模生物種群模型2025/11/26簡介種群(Population)：是指在特定時(shí)間里占據(jù)一定空間的同一物種的有機(jī)體集合。種群生態(tài)學(xué)：主要研究種群的時(shí)間動態(tài)及調(diào)節(jié)機(jī)理。種群分為單種群和多種群。生物種群模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/262)羅杰斯特(Logistic)模型

表示該種群的最大容納量。1單種群的數(shù)學(xué)模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型

表示時(shí)刻的種群數(shù)量，稱為內(nèi)稟增長率。2025/11/264)開發(fā)了的單種群模型具有常數(shù)收獲率具有時(shí)變收獲率3）一般的種群模型2025/11/26

2兩種群的一般模型

兩種群生活在同一自然環(huán)境下，存在下面三種情形，相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食。設(shè)甲、乙兩種群在時(shí)刻的數(shù)量為，則線性化，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26

表示甲（乙）種群的自然生長率；表示甲（乙）種群為非密度制約，表示甲（乙）種群為密度制約；表示甲、乙種群相互競爭；4)表示甲、乙種群相互依存；5)表示甲、乙種群為弱肉強(qiáng)食（捕食與被捕食）。2025/11/263三種群的一般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復(fù)雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每兩個(gè)種群之間的關(guān)系仍可歸結(jié)為：相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食。三種群兩兩關(guān)系不同的組合就得到種類繁多的數(shù)學(xué)模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26記三個(gè)種群分別為123并約定1）種群供食于種群表示為12122）種群為密度制約可表示為113）種群不主要靠吃本系統(tǒng)（1，2，3個(gè)種群組成的系統(tǒng)）為生，114）種群與種群相互競爭：12125）種群與種群互惠共存：1212）2025/11/26如，設(shè)A，B，C三種群為捕食與被捕食關(guān)系，則三者關(guān)系有三種：兩個(gè)食餌種群，一個(gè)捕食者種群。一個(gè)食餌種群，兩個(gè)捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26下面對于食餌種群增長是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數(shù)學(xué)模型（Volterra模型）（1）兩個(gè)食餌種群A，B，一個(gè)捕食者種群C。設(shè)A，B，Ct時(shí)刻的密度分別為假設(shè)：C種群主要以A，B種群為食餌，A，B不存在時(shí)，C要逐漸絕滅，C不是密度制約的；A，B種群不靠本系統(tǒng)為生，它們?yōu)槊芏戎萍s且相互競爭。圖示如下：2025/11/26CBA（）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26（2）一個(gè)食餌種群A，兩個(gè)捕食者種群B，C。ACB（）2025/11/26ACB）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26ACB）））（3）捕食鏈：A是B的食餌，B是C的食餌。2025/11/26ACB）））西北大學(xué)數(shù)學(xué)系說明下列微分方程組的生態(tài)意義2025/11/26ACB）））2025/11/26ACB）））西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26種群模型的求解方法：微分方程定性與穩(wěn)定性理論數(shù)值方法2025/11/26平面自治系統(tǒng)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程定性與穩(wěn)定性理論2025/11/26

假定方程組(1)的右端函數(shù)，在平面區(qū)域滿足解的存在唯一的條件，則過相平面中任一點(diǎn)有唯一的軌線。相平面：所在的平面。軌線：2025/11/26平衡點(diǎn)（Equilibrium）：使得的點(diǎn)為組(1)的平衡點(diǎn)，否則稱為常點(diǎn)。即平衡點(diǎn)滿足記為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（stable）；否則是不穩(wěn)定（unstable）的。穩(wěn)定與不穩(wěn)定：如果存在某個(gè)鄰域，使系統(tǒng)（1）的解從這個(gè)鄰域內(nèi)的某一初值出發(fā)，滿足2025/11/26其中是常數(shù)。平面線性微分方程組的平衡點(diǎn)分類系統(tǒng)（2）有唯一的平衡點(diǎn)（0，0）。記系數(shù)矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26記組(2)的系數(shù)矩陣構(gòu)成的特征方程為：其中唯一的平衡點(diǎn)（0，0）的穩(wěn)定性由特征根確定。方程組（2）解的一般形式為2025/11/26方程組（2）解的一般形式為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)(node)stable不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)unstable鞍點(diǎn)(saddle)unstable穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)stable不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)unstable穩(wěn)定焦點(diǎn)(focus)stable不穩(wěn)定焦點(diǎn)unstable中心(center)unstable2025/11/26pq鞍點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)奇點(diǎn)的性態(tài)與的關(guān)系2025/11/26簡單非線性微分方程的奇點(diǎn)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26稱下列方程組為組(1)的一次（線性）近似方程組：2025/11/26結(jié)論1

如果則(4)的一次近似方程組的奇點(diǎn)在五種一般情形與組（4）的奇點(diǎn)的性態(tài)相同。2025/11/26結(jié)論2

設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。2025/11/26

捕食與被捕食模型問題的提出20世紀(jì)20年代，意大利生物學(xué)家U.D’Ancona在研究魚類變化規(guī)律時(shí)，無意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間，意大利Finme港收購站的軟骨掠肉魚（鯊魚等以其他魚為食的魚）在魚類收購量中的所占比例的資料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,112025/11/26戰(zhàn)爭期間鯊魚比例明顯增加！

顯然，捕獲的各種魚的比例基本上代表了地中海漁場中各種魚的比例。戰(zhàn)爭中捕獲量大幅下降，應(yīng)該使?jié)O場中食用魚和以此為生的鯊魚數(shù)量同時(shí)增加。然而，捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加？發(fā)現(xiàn)D’Ancona的迷惑：2025/11/26請教著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra。

將魚分為兩類，一類為捕食(predator)種群，另一類為被捕食(prey)種群。設(shè)

t

時(shí)刻兩種群的數(shù)量（或密度）為y(t)，x(t)。在無捕撈和忽略了密度制約的情形下，有：2025/11/26平衡點(diǎn)為一次近似系統(tǒng)2025/11/26一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的？。的鞍點(diǎn)。的中心。2025/11/26定理：設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。2025/11/26為了研究平衡點(diǎn)M，作平移變換首次積分2025/11/26由定理，得平衡點(diǎn)M的外圍鄰近被一閉軌線族所環(huán)繞。說明：在M附近，食餌種群與捕食種群的個(gè)體總量呈周期性變化。OxyM盡管沿不同的閉軌線的周期可能不同，但兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)。2025/11/26兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)：兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值恰好是平衡點(diǎn)的坐標(biāo)。事實(shí)上，而2025/11/26同理，可證西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2025/11/26現(xiàn)考慮捕撈的影響平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為解釋：捕撈能力減少，食餌種群數(shù)量減少，而捕食種群數(shù)量增加。2025/11/26應(yīng)用農(nóng)藥的使用策略。害蟲—食餌，害蟲的天敵—捕食者。因此，應(yīng)該適量地使用農(nóng)藥，更應(yīng)發(fā)展以蟲治蟲的策略。平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)Volterra

原理：殺蟲能力過量，害蟲種群數(shù)量增加，而天敵種群數(shù)量減少，對天敵更為不利。2025/11/26

天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對人類生存起著重要作用。長期以來，人為破壞（如過度放牧、獵殺動物及采挖草藥等）使草原生態(tài)每況愈下，日漸衰竭。據(jù)2000年8月6日《北京晚報(bào)》載：“……受利益驅(qū)使，有些人不顧國家法律和當(dāng)?shù)卣?，在呼倫貝爾草原大肆采挖中草藥，致使草原?yán)重受損。據(jù)此，有關(guān)專家推斷，10年之內(nèi)，該草原將變成荒漠?！辈菰\(yùn)思考2025/11/26為了天然草原生息繁衍和可持續(xù)發(fā)展，完成以下工作：（1）建立草原自然生長規(guī)律模型，描述人為破壞對草原生長的影響過程;（2）論證或駁斥報(bào)載消息中專家的推斷，如果立即停止對草原的一切破壞，10年后的情形如何？（3）尋找導(dǎo)致草原消失的臨界條件，給出草原生長的挽救方案，并對挽救效果進(jìn)行預(yù)測。2025/11/262007年6月湖南洞庭湖鼠患20億田鼠洞庭“跑馬圈地”2025/11/26政府收購鼠尾巴鼓勵捕鼠；成千上萬田鼠陷落捕鼠溝。新華社圖人鼠大戰(zhàn)可能還將繼續(xù)。新華社圖

2007年07月11日08時(shí)13分廣州日報(bào)

2025/11/26洞庭湖區(qū)用毒藥滅鼠可能釀成新的生態(tài)災(zāi)難捕食鏈破壞老鼠的天敵蛇、貓頭鷹大量減少老鼠泛濫莊稼、環(huán)境受到威脅人類的盤中餐豐盛有余威脅人類的生存從人類自身做起保護(hù)環(huán)境！2025/11/26關(guān)于撰寫建模論文摘要問題重述模型假設(shè)（符號說明）問題分析模型的建立及求解結(jié)果的分析與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)缺點(diǎn)評價(jià)問題進(jìn)一步思考（模型推廣）參考文獻(xiàn)2025/11/26競賽過程中注意的問題時(shí)間安排合理分工團(tuán)結(jié)奮戰(zhàn)，互相鼓勵2025/11/26時(shí)間安排上午下午晚上定題準(zhǔn)備，思路作題（第一問）建