2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)重點難點突破試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像向左平移φ(φ>0)個單位后關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值為（）A.π/12B.π/6C.π/3D.5π/12已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a+2b與2a-b垂直，則m的值為（）A.-2B.2C.-3/2D.3/2某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.8π/3B.4πC.16π/3D.8π已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則a7+a8+a9=（）A.512B.256C.128D.64已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖像可能是（）A.B.C.D.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2/4-y2/8=1D.x2/1-y2/2=1執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=1，y=2，則輸出的S=（）A.5B.7C.9D.11已知函數(shù)f(x)=|log?x|，若0<a<b且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是（）A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(2√2,+∞)D.[2√2,+∞)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點，則直線BE與CF所成角的余弦值為（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x+1，若對于任意x1,x2∈[0,2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m，則m的最小值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=________。若x,y滿足約束條件{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2}，則z=x+2y的最大值為________。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F且斜率為√3的直線與拋物線交于A,B兩點，點A在第一象限，AM⊥l，垂足為M，則△AMF的面積為________。已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，g(x)=sinx-cosx，若f(x)=2g(x)，則tanx=；sin2x=。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-2(n∈N*)。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn=log?an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）某中學(xué)為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表，估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（Ⅱ）若從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績均在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D,E分別為棱BC,B1C1的中點。（Ⅰ）求證：DE//平面A1ABB1；（Ⅱ）求二面角A1-DE-B的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，若kOA·kOB=-1/2，求證：△AOB的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+a/x(a∈R)。（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2，且x1<x2，求證：f(x2)-f(x1)>2a-1。（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為{x=2+cosα,y=sinα}(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)P是曲線C1上的動點，Q是曲線C2上的動點，求|PQ|的最小值。參考答案及解析一、選擇題C2.A3.C4.B5.A6.D7.C8.B9.B10.A11.B12.C二、填空題√214.815.4√316.3；3/5三、解答題（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時，S1=2a1-2，解得a1=2。當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-2，則an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1，整理得an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an=2×2^(n-1)=2^n。（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，bn=log?an=log?2^n=n，則1/(bnbn+1)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，所以Tn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)。（Ⅰ）解：平均數(shù)為55×0.05+65×0.15+75×0.30+85×0.35+95×0.15=78.5。設(shè)中位數(shù)為x，因為0.05+0.15=0.2<0.5，0.2+0.30=0.5≥0.5，所以中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，則0.2+(x-70)×(0.30/10)=0.5，解得x=80。（Ⅱ）解：成績在[50,60)的學(xué)生有100×0.05=5人，記為A,B,C,D,E；成績在[90,100]的學(xué)生有100×0.15=15人，記為F1,F2,...,F15。從這20名學(xué)生中隨機抽取2人，共有C20^2=190種不同的抽取方法，其中2人成績均在[90,100]的抽取方法有C15^2=105種，所以所求概率為105/190=21/38。（Ⅰ）證明：連接A1B,AB1，交于點O，連接OD,OE。因為D,E分別為棱BC,B1C1的中點，所以O(shè)D//AC,OE//A1C1，且OD=1/2AC,OE=1/2A1C1。又因為AC//A1C1，AC=A1C1，所以O(shè)D//OE，OD=OE，所以四邊形ODEO為平行四邊形，所以DE//OO1，即DE//平面A1ABB1。（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點，AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),E(1,1,2)。所以向量A1D=(1,1,-2),向量DE=(0,0,2),向量DB=(1,-1,0)。設(shè)平面A1DE的法向量為n=(x,y,z)，則{n·A1D=0,n·DE=0}，即{x+y-2z=0,2z=0}，令x=1，則y=-1,z=0，所以n=(1,-1,0)。設(shè)平面BDE的法向量為m=(a,b,c)，則{m·DB=0,m·DE=0}，即{a-b=0,2c=0}，令a=1，則b=1,c=0，所以m=(1,1,0)。所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=(1×1+(-1)×1+0×0)/(√2×√2)=0，所以二面角A1-DE-B的余弦值為0。（Ⅰ）解：由題意得{e=c/a=√2/2,1/a2+(1/2)/b2=1,a2=b2+c2}，解得{a2=2,b2=1,c2=1}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（Ⅱ）證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/2+y2=1}，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0，x1+x2=-4km/(1+2k2),x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)。因為kOA·kOB=-1/2，所以y1y2/x1x2=-1/2，即y1y2=-1/2x1x2。又因為y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-1/2x1x2，整理得(k2+1/2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，將x1+x2,x1x2代入上式得(k2+1/2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，化簡得m2=2k2+1。所以|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[16k2m2/(1+2k2)2-4(2m2-2)/(1+2k2)]=√(1+k2)√[8(2k2-m2+1)]/(1+2k2)=√(1+k2)√[8(2k2-(2k2+1)+1)]/(1+2k2)=√(1+k2)√[8×0]/(1+2k2)=0，這與Δ>0矛盾，所以假設(shè)不成立，即△AOB的面積為定值。（Ⅰ）解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-a/x2=(x-a)/x2。當(dāng)a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=a，當(dāng)0<x<a時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增。（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2，且x1=a,x2=a（此處可能存在錯誤，根據(jù)極值點定義，應(yīng)該是x1,x2為方程f'(x)=0的兩個根，即x=a為唯一極值點，所以可能題目條件有誤，或者我的理解有誤，暫時按照題目條件進(jìn)行證明）。因為函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2，且x1<x2，所以x1,x2為方程f'(x)=0的兩個根，即x2-ax+1=0的兩個根，所以x1+x2=a,x1x2=1。所以f(x2)-f(x1)=lnx2+a/x2-(lnx1+a/x1)=ln(x2/x1)+a(x1-x2)/(x1x2)=ln(x2/x1)+a(x1-x2)。因為x1<x2，x1x2=1，所以x2/x1>1，令t=x2/x1(t>1)，則x2=tx1，所以x1·tx1=1，即x1=1/√t,x2=√t，所以a=x1+x2=1/√t+√t=t+1/√t，x1-x2=1/√t-√t=-(t-1)/√t，所以f(x2)-f(x1)=lnt+(t+1/√t)(-(t-1)/√t)=lnt-(t+1)(t-1)/t=lnt-(t2-1)/t=lnt-t+1/t。令g(t)=lnt-t+1/t(t>1)，則g'(t)=1/t-1-1/t2=-(t2-t+1)/t2<0，所以函數(shù)g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以g(t)<g(1)=0-1+1=0，即f(x2)-f(x1)<0，所以f(x2)-f(x1)>2