初中初中保密★啟用前2025-2026學(xué)年深圳市初三期中測試模擬試卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，請將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼好．2．本卷考試時(shí)間90分鐘，滿分100分．本試卷共6頁．3．作答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題時(shí)，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．作答綜合題時(shí)，把所選題號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑，并作答．寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A B. C. D.2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.4.如圖，內(nèi)接于，，，為的直徑，，那么的值為（）A. B.4 C. D.35.共享單車計(jì)劃2021年10、11、12月連續(xù)3月對(duì)廣州投放新型單車，計(jì)劃10月投放3000臺(tái)，12月投放6000臺(tái)，每月按相同的增長率投放，設(shè)增長率為x則可列方程（）A. B.C. D.6.已知拋物線為常數(shù)，，，拋物線上三點(diǎn)，則，，由小到大依次排列為（）A. B. C. D.7.如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為A.B.C.D.8.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其下方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于點(diǎn)B、D，若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9.已知關(guān)于方程x2-3x+m=0的一個(gè)根是1，則另一個(gè)根為____．10.如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D在線段上，則的大小為_____．11.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則_______．12.如圖，是的半徑，弦于點(diǎn)D，連接，若的半徑為，的長為，則的長是_________．13.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上，且位于軸下方，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，_________．三、解答題（本大題共7小題，共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．15.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，已知，．（1）求的度數(shù)；（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比．①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說明理由；②求的長；③在直線或上是否存在點(diǎn)（點(diǎn)、除外），使是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)，簡要說明畫出點(diǎn)的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．16.我國大力發(fā)展職業(yè)教育，促進(jìn)勞動(dòng)力就業(yè)，某職業(yè)教育培訓(xùn)中心開設(shè)：（旅游管理）、（信息技術(shù)）、（酒店管理）、（汽車維修）四個(gè)專業(yè)，對(duì)某中學(xué)有參加培訓(xùn)意向的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須從這四個(gè)專業(yè)中選擇一個(gè)且只能選擇一個(gè)，該培訓(xùn)中將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．面根號(hào)）根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有________人：扇統(tǒng)計(jì)圖中（旅游管理）專業(yè)所對(duì)應(yīng)的心角的度數(shù)為________：（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，若該中學(xué)有名學(xué)生有培訓(xùn)意向，請估計(jì)該中學(xué)選擇“信息技術(shù)”專業(yè)意向的學(xué)生有___人：（3）從選擇（汽車維修）專業(yè)的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人去某汽車維修店觀摩學(xué)習(xí)，請用列表法活畫樹狀圖的方法求出恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的概率．17.“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行線上銷售．經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是50元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出2件，設(shè)該商品的售價(jià)為x元/件（）．（1）用含售價(jià)x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)為______件（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤為1000元．求該商品的售價(jià)．18.如圖，是圓的直徑，為圓心，、是半圓的弦，且．延長交圓的切線于點(diǎn)．（1）判斷直線是否為的切線，并說明理由；（2）如果，求的長；（3）將線段以直線為對(duì)稱軸作對(duì)稱線段，點(diǎn)正好在圓上，如圖，求證：四邊形為菱形．19.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一個(gè)物體在燈光下，它的影子的長度與電燈到物體的距離有一定的關(guān)系，利用物體影子的長度可以計(jì)算電燈到物體的距離，利用電燈到物體的距離也可以計(jì)算物體影子的長度．下面是他們試驗(yàn)內(nèi)容，請解答：（1）如圖①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一個(gè)小射燈，在小射燈的照射下，正方形框架在地面上的影子為、，若正方形框架的邊長為，，則________；小射燈離地面的距離為_______．（2）如圖②，不改變（1）中的條件，將另一個(gè)同樣大小的小正方形框架緊貼在原小正方形框架的左邊并排擺放，即正方形．求小射燈下的影長的長度．（3）如圖③，小射燈到地面的距離為，一共有個(gè)邊長為的小正方形框架（無重疊）并排如圖擺放，影長與的和為__________________（用、、表示）．20.如圖1，在矩形中，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，，將沿直線對(duì)折，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線上時(shí)，求的長；（2）如圖3，當(dāng)，求的長；（3）若直線交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．保密★啟用前2025-2026學(xué)年深圳市初三期中測試模擬試卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，請將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼好．2．本卷考試時(shí)間90分鐘，滿分100分．本試卷共6頁．3．作答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題時(shí)，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．作答綜合題時(shí)，把所選題號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑，并作答．寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無效．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．【詳解】解：A選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)中的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可.【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是是解題的關(guān)鍵.3.如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理，即可得出結(jié)果

．【詳解】解：∵點(diǎn)A、B、C在上，，∴

故選：

B．4.如圖，內(nèi)接于，，，為的直徑，，那么的值為（）A. B.4 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本題考查圓周角定理，等邊對(duì)等角，含30度的直角三角形等知識(shí)，首先根據(jù)“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)求出的度數(shù)，再結(jié)合圓周角定理得到，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∵內(nèi)接于，為的直徑，∴，∴；故選B．5.共享單車計(jì)劃2021年10、11、12月連續(xù)3月對(duì)廣州投放新型單車，計(jì)劃10月投放3000臺(tái)，12月投放6000臺(tái)，每月按相同的增長率投放，設(shè)增長率為x則可列方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)10月投放臺(tái)數(shù)，利用增長率表示12月投放3000（1+x）2臺(tái)，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)增長率為x，∵計(jì)劃10月投放3000臺(tái)，∴12月投放3000（1+x）2，則可列方程．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查列一元二次方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是抓住增長率表示出12月的投放臺(tái)數(shù)．6.已知拋物線為常數(shù)，，，是拋物線上三點(diǎn)，則，，由小到大依次排列為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性解答即可．【詳解】解：∵，，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)，隨的增大而增大，∵關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，且，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性，求出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．7.如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對(duì)稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長度．【詳解】解：如圖∵拋物線y=x2-x-與直線y=x-2交于A、B兩點(diǎn)，∴x2-x-=x-2，解得：x=1或x=，當(dāng)x=1時(shí)，y=x-2=-1，當(dāng)x=時(shí)，y=x-2=-，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1），∵拋物線對(duì)稱軸方程為：x=-=作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與對(duì)稱軸（直線x=）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，∴A′B′=．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．8.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其下方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于點(diǎn)B、D，若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再求出的解析式，分別求出直線與拋物線相切時(shí)m的值以及直線過點(diǎn)B時(shí)m的值，結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，∴=0，∴x1=5，x2=9，，拋物線向左平移4個(gè)單位長度后的解析式，當(dāng)直線過B點(diǎn)，有2個(gè)交點(diǎn)，，，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，，，相切，，，如圖，若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，--，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9.已知關(guān)于的方程x2-3x+m=0的一個(gè)根是1，則另一個(gè)根為____．【答案】2【解析】【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2因?yàn)橐辉畏匠蘹2-3x+m=0的一個(gè)根是1．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，1+x2=3，得x2=3-1=2．故答案是：2．10.如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D在線段上，則的大小為_____．【答案】##50度【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得：，，．故答案為：．11.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則_______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)可知方程=0根的判別式△=0，解方程求出k值即可得答案．【詳解】∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程=0根的判別式△=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，對(duì)于二次函數(shù)（k≠0），當(dāng)判別式△＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12.如圖，是的半徑，弦于點(diǎn)D，連接，若的半徑為，的長為，則的長是_________．【答案】2【解析】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長即可．【詳解】解：由題意，，∵是的半徑，弦于點(diǎn)D，∴，∴，∴．故答案為：2．13.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上，且位于軸下方，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．設(shè)，依題意得，可設(shè)，，用待定系數(shù)法求得，，從而求得，，則，把代入，得，再代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)，依題意得，可設(shè)，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，，當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：∴，當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，∴，，把代入，得，，，，．故答案為：2．三、解答題（本大題共7小題，共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查解一元二次方程的方法，掌握十字相乘法、提公因式法進(jìn)行因式分解，是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)解一元二次方程的方法——“十字相乘”分解因式，即可求解；（2）根據(jù)題意，可移項(xiàng)、提公因式，進(jìn)行因式分解，即可求解．【小問1詳解】解：，移項(xiàng)得，分解因式得，解得；【小問2詳解】原方程等價(jià)于，移項(xiàng)得，提公因式得，即，解得．15.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，已知，．（1）求的度數(shù)；（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比．①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說明理由；②求的長；③在直線或上是否存在點(diǎn)（點(diǎn)、除外），使是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)，簡要說明畫出點(diǎn)的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．【答案】（1）36°；（2）①有三個(gè)：，，．②是黃金三角形，③存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)、、．【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)∠B=x,則∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x,列出方程即可得出∠B的度數(shù);(2)根據(jù)黃金三角形是一個(gè)等腰三角形,它的頂角為36°每個(gè)底角為72°它的腰與它的底成黃金比,當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí)角平分線分對(duì)邊也成黃金比,并形成兩個(gè)較小的等腰三角形,這兩三角形之一相似于原三角形,依此數(shù)出圖中黃金三角形的個(gè)數(shù)并作出點(diǎn)P.【詳解】解：（1）∵．則，．設(shè)，則，．又，∴．∴，．∴；（2）①有三個(gè)：，，．∵，，∴是黃金三角形，（或∵，．∴是黃金三角形．或∵，∴．又，∴．∴．∴是黃金三角形．②是黃金三角形，∴，∵，∴．∵，，∴，③存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)、、．?。┮詾榈走叺狞S金三角形：作的垂直平分線分別交直線、得到點(diǎn)、．ⅱ）以為腰的黃金三角形：以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧與的交點(diǎn)為點(diǎn)

．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金三角形的特征,黃金三角形的一個(gè)幾何特征是:它是唯一一種能夠由5個(gè)與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形,中等難度,讀題能力是解題關(guān)鍵.16.我國大力發(fā)展職業(yè)教育，促進(jìn)勞動(dòng)力就業(yè)，某職業(yè)教育培訓(xùn)中心開設(shè)：（旅游管理）、（信息技術(shù)）、（酒店管理）、（汽車維修）四個(gè)專業(yè)，對(duì)某中學(xué)有參加培訓(xùn)意向的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須從這四個(gè)專業(yè)中選擇一個(gè)且只能選擇一個(gè)，該培訓(xùn)中將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．面根號(hào)）根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有________人：扇統(tǒng)計(jì)圖中（旅游管理）專業(yè)所對(duì)應(yīng)的心角的度數(shù)為________：（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，若該中學(xué)有名學(xué)生有培訓(xùn)意向，請估計(jì)該中學(xué)選擇“信息技術(shù)”專業(yè)意向?qū)W生有___人：（3）從選擇（汽車維修）專業(yè)的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人去某汽車維修店觀摩學(xué)習(xí)，請用列表法活畫樹狀圖的方法求出恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的概率．【答案】（1）；（2）作圖見解析，（3）【解析】【分析】（1）由選擇專業(yè)的人數(shù)除以所占百分比即可得本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；用乘以選擇專業(yè)的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案；（2）求出選擇專業(yè)的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用乘以樣本中選擇的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案；（3）畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案【小問1詳解】解：本次被調(diào)查的學(xué)生有：（人），扇統(tǒng)計(jì)圖中（旅游管理）專業(yè)所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：；；【小問2詳解】條形統(tǒng)計(jì)圖中，（信息技術(shù)）專業(yè)的人數(shù)為：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．（人）∴估計(jì)該中學(xué)選擇“信息技術(shù)”專業(yè)意向的學(xué)生有人，故答案：；【小問3詳解】畫樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的結(jié)果有：甲丙，丙甲，共種，∴恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的概率為，答：恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，能夠讀懂統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解題的關(guān)鍵．17.“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行線上銷售．經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是50元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出2件，設(shè)該商品的售價(jià)為x元/件（）．（1）用含售價(jià)x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)為______件（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤為1000元．求該商品的售價(jià)．【答案】（1）（2）該商品的售價(jià)為30元【解析】【分析】（1）由該商品的售價(jià)結(jié)合售價(jià)每降低1元就會(huì)多售出2件，即可得出每天售出該工藝品的件數(shù)；（2）根據(jù)總利潤=每件工藝品的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：∵該商品的售價(jià)為x元/件，且當(dāng)售價(jià)是50元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出2件，∴每天能售出該工藝品的件數(shù)為件．故答案為：；【小問2詳解】解：由題意得：，整理得：，解得，（不合題意，舍去），答：該商品的售價(jià)為30元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18.如圖，是圓的直徑，為圓心，、是半圓的弦，且．延長交圓的切線于點(diǎn)．（1）判斷直線是否為的切線，并說明理由；（2）如果，求的長；（3）將線段以直線為對(duì)稱軸作對(duì)稱線段，點(diǎn)正好在圓上，如圖，求證：四邊形為菱形．【答案】（1）直線為的切線，理由見解析；（2）；（3）見解析．【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，正切，菱形的判定，平行線的判定，對(duì)稱，同弧所對(duì)的圓周角相等，含30度角的直角三角形性質(zhì)，切線長定理。（1）連接，由是圓O的直徑可得，進(jìn)而求得，即可得出直線為的切線；（2）求出，解直角三角形求出，根據(jù)含角直角三角形求出即可；（3）根據(jù)折疊和已知求出，根據(jù)平行線的判定推出，求出，，推出，求出，根據(jù)切線長定理可得，，進(jìn)而結(jié)論得證．【小問1詳解】直線為的切線，理由如下：如圖1，連接，∵是的直徑，，，∵，，，∴，即，∵是的半徑，直線為的切線；【小問2詳解】為切線，，，，在中，，，∴，，∵，∴；【小問3詳解】如圖2，連接，由題意得：，，∵，∴，，∴，∴，∴，，為切線，，，四邊形為平行四邊形，∵、為切線，∴，四邊形為菱形．19.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一個(gè)物體在燈光下，它的影子的長度與電燈到物體的距離有一定的關(guān)系，利用物體影子的長度可以計(jì)算電燈到物體的距離，利用電燈到物體的距離也可以計(jì)算物體影子的長度．下面是他們的試驗(yàn)內(nèi)容，請解答：（1）如圖①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一個(gè)小射燈，在小射燈的照射下，正方形框架在地面上的影子為、，若正方形框架的邊長為，，則________；小射燈離地面的距離為_______．（2）如圖②，不改變（1）中的條件，將另一個(gè)同樣大小的小正方形框架緊貼在原小正方形框架的左邊并排擺放，即正方形．求小射燈下的影長的長度．（3）如圖③，小射燈到地面的距離為，一共有個(gè)邊長為的小正方形框架（無重疊）并排如圖擺放，影長與的和為__________________（用、、表示）．【答案】（1）；80（2）（3）【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí)與方法，（1）設(shè)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)得，，，，則，所以，再證明，得，則，所以，求得，于是得