13.2勾股定理的應(yīng)用華師大版2024·八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)熟練掌握勾股定理中最短路程問(wèn)題能通過(guò)展開(kāi)立體圖形的結(jié)合勾股定理及其逆定理求物體運(yùn)動(dòng)的最短路程問(wèn)題，需要主要是否要分情況討論。掌握梯子下滑問(wèn)題熟練的掌握利用勾股定理解梯子下滑問(wèn)題的核心關(guān)鍵是下滑過(guò)程中，梯子的總長(zhǎng)度保持不變，能舉一反三的求解鉛筆類問(wèn)題等掌握勾股定理中臺(tái)風(fēng)類問(wèn)題熟練的掌握勾股定理中臺(tái)風(fēng)了問(wèn)題，能正確的判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響，準(zhǔn)確的計(jì)算出受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間等。舊知復(fù)習(xí)勾股定理及其逆定理課堂導(dǎo)入《九章算術(shù)》“勾股”章記載：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問(wèn)折者高幾何？”題目大意：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在竹子底端3尺處，那么折斷處離地面的高度為多少？（注：1丈=10尺）．可以設(shè)竹子未折斷部分的高度為x尺，折斷部分的高為（10-x）尺，利用勾股定理即可求解新知探究探究一：如圖所示，一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑。一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，求這只螞蟻爬行的最短路程（精確到0.01cm）思考：螞蟻要如何爬行，才能使得從點(diǎn)A到點(diǎn)C的路程最短？新知探究分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開(kāi)如圖所示，得到長(zhǎng)方形ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，所求的爬行的最短路程就是這一展開(kāi)圖------長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)方法探究新知探究解決問(wèn)題

典例分析例1.如圖，圓柱形玻璃杯高為7cm，底面周長(zhǎng)為16cm．在杯內(nèi)離杯底2cm的點(diǎn)C處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿1cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜C點(diǎn)的最短距離為多少先分析清楚螞蟻的路線，區(qū)別本題與探究中的試題的區(qū)別典例分析解析：如圖所示將圓柱的側(cè)面展開(kāi)

變式訓(xùn)練

如圖是一個(gè)底面周長(zhǎng)為10cm，高AB為12cm的圓柱模型，BC是底面直徑．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為（

）

提示：將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，根據(jù)題意可知AB=12cm，BC=5cm，利用勾股定理解得AC的長(zhǎng)度，然后計(jì)算裝飾帶長(zhǎng)度的最短值即可典例分析例2.消防員是城市的守護(hù)者．圖1是消防員某次消防救援時(shí)的工作圖，圖2是其幾何示意圖，已知云梯長(zhǎng)AB=CD=20m，云梯底部（點(diǎn)C、A）距離地面3m，消防車從距離地面15m高的點(diǎn)B處完成救援后，還要從距離地面19m高的點(diǎn)處進(jìn)行救援，這時(shí)云梯底部需要向樓房靠近多少米？（點(diǎn)A、C、O在同一水平線上，所有點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)）典例分析解題思路

本題主要解題關(guān)鍵在滑落的過(guò)程中梯子的長(zhǎng)度不發(fā)生變化變式訓(xùn)練我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題.有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺（AB=10尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦（點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)），它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面（MN=BN），求水的深度PN.解：∵AB=10，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)∴BP=5∵M(jìn)P=1，MP+PN=BN∴1+PN=BN在Rt△BPN中，根據(jù)勾股定理可得:BN2=52+PN2∴（1+PN）2=52+PN2，解得PN=12答：水的深度PN為12尺典例分析例3.2025年第18號(hào)超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“樺加沙”登陸我國(guó)沿海地區(qū)．如圖，臺(tái)風(fēng)“樺加沙”中心沿東西方向由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且AC=300km，BC=400km，AB=500km．經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響，海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？提示：根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)，利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)，再得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響典例分析解題思路

變式訓(xùn)練如圖，某沿海開(kāi)放城市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？提示：首先根據(jù)勾股定理計(jì)算BD的長(zhǎng)，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度進(jìn)行計(jì)算；再根據(jù)在30km范圍內(nèi)都要受到影響，先求出從點(diǎn)B到受影響的距離與結(jié)束影響的距離，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算，然后求出時(shí)間段即可課堂練習(xí)1.如圖，將一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，已知筆筒內(nèi)部的底面直徑為9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長(zhǎng)18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度不可能是（

）A．3cmB.5cmC.6cmD.7cm課堂練習(xí)2．如圖，公路上A、B兩點(diǎn)相距10km，C、D為兩村莊，已知DA=4km，CB=6km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則EA的長(zhǎng)是（

）km．A．4B.5C.6D.2提示：設(shè)BE=x，則AE=(10-x)km，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=42+(10-x)2,CE2=BC2+BE2=62+x2，再根據(jù)DE=CE，得到62+x2=42+（10-x）2，即可求解課堂練習(xí)3．如圖是一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形盒子，長(zhǎng)AB為9cm，寬BC為3cm，高CD為5cm，點(diǎn)M在棱AB上，并且AM=3cm．一只螞蟻在盒子內(nèi)部，想從盒底的點(diǎn)M爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)D，則螞蟻要爬行的最短路程是（

）．提示：畫(huà)出展開(kāi)圖形并能求出符合條件的最短路線，將盒子分情況展開(kāi)，根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)度比較即可

課堂練習(xí)4.某公司舉行開(kāi)業(yè)一周年慶典，準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)13m，高5m的臺(tái)階上鋪設(shè)地毯（如圖），若臺(tái)階的寬為4m，地毯的價(jià)格為100元/m2，則購(gòu)買地毯需花費(fèi)_______元．5.如圖，在一張長(zhǎng)方形紙板ABCD上放著一根長(zhǎng)方體木塊已知，AD=12m，AB=7m，該木塊的長(zhǎng)與AD平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1m的正方形，則一只螞蟻從點(diǎn)A爬過(guò)木塊到達(dá)點(diǎn)C需要走的最短路程為_(kāi)_________m156800課堂練習(xí)6.

如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），聰明的小紅發(fā)現(xiàn)：先測(cè)出垂到地面的繩子長(zhǎng)，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離n，利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng)，若m=1米，n=5米，則旗桿AB的長(zhǎng)為_(kāi)