高中數(shù)學(xué)北師大版必修11.2利用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容北師大版高中數(shù)學(xué)必修11.2章節(jié)，主要內(nèi)容包括：二分法的基本概念、二分法的原理、二分法的步驟、二分法的應(yīng)用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握二分法求方程近似解的方法，并能夠運(yùn)用二分法解決實際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過二分法的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，提高解決方程近似解問題的能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和解決問題的策略。同時，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，使其能夠從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)和推理。重點難點及解決辦法重點：

1.理解二分法的原理，即如何將區(qū)間逐步縮小到包含方程根的區(qū)間。

2.掌握二分法的步驟，包括初始區(qū)間的選擇、中點的確定、區(qū)間的更新等。

難點：

1.初始區(qū)間的選取是否合理，影響到迭代的速度和收斂性。

2.在迭代過程中如何判斷是否已達(dá)到近似解的精度。

解決辦法與突破策略：

1.通過實例講解，幫助學(xué)生理解二分法的原理，并通過練習(xí)鞏固對步驟的掌握。

2.引導(dǎo)學(xué)生分析不同初始區(qū)間對迭代過程的影響，培養(yǎng)他們的分析能力。

3.設(shè)定一個合理的精度標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生在計算過程中不斷調(diào)整，直至滿足精度要求。

4.鼓勵學(xué)生通過編程實踐二分法，體驗算法的迭代過程，加深對算法的理解。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解二分法的基本原理和步驟，確保學(xué)生理解核心概念。

2.討論法：組織學(xué)生討論不同初始區(qū)間對迭代過程的影響，培養(yǎng)批判性思維。

3.實驗法：通過編程實踐，讓學(xué)生親自動手操作二分法，加深對算法的理解和運(yùn)用。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用PPT展示二分法的迭代過程，直觀展示算法的動態(tài)變化。

2.教學(xué)軟件：使用數(shù)學(xué)軟件如MATLAB或Python，讓學(xué)生通過軟件實現(xiàn)二分法，提高實踐能力。

3.互動練習(xí)：設(shè)計在線練習(xí)平臺，讓學(xué)生在課后鞏固所學(xué)知識，及時反饋學(xué)習(xí)效果。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

詳細(xì)內(nèi)容：

-利用一個簡單的實際情境引入，如“如何確定一個數(shù)x是否在某個區(qū)間內(nèi)？”

-通過提問學(xué)生：“如果你們要找到一個數(shù)，使得這個數(shù)加上某個值等于0，你們會怎么做？”來激發(fā)學(xué)生對近似解的興趣。

-展示一些方程近似解的應(yīng)用實例，如物理實驗中的測量誤差分析，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在實際問題中的重要性。

2.新課講授

詳細(xì)內(nèi)容：

-第一條：講解二分法的基本原理，包括中點計算和區(qū)間縮小的步驟。

-第二條：通過實例展示如何選擇初始區(qū)間，并解釋為何選擇合適的初始區(qū)間對算法效率至關(guān)重要。

-第三條：介紹如何設(shè)置精度標(biāo)準(zhǔn)，并解釋何時可以認(rèn)為找到了方程的近似解。

3.實踐活動

詳細(xì)內(nèi)容：

-第一條：讓學(xué)生使用計算器或編程軟件嘗試手動實現(xiàn)二分法，以加深對算法步驟的理解。

-第二條：提供一組預(yù)定義的方程和區(qū)間，讓學(xué)生運(yùn)用二分法找到方程的近似解，并記錄迭代過程。

-第三條：讓學(xué)生對比不同初始區(qū)間對迭代過程的影響，分析哪種方法更快或更準(zhǔn)確。

4.學(xué)生小組討論

詳細(xì)內(nèi)容舉例回答：

-第一方面：討論如何選擇初始區(qū)間，例如“如何確定初始區(qū)間是包含方程根的最小區(qū)間？”

-第二方面：分析不同精度設(shè)置對結(jié)果的影響，例如“如果精度設(shè)置過高，會發(fā)生什么？”

-第三方面：探討二分法的適用范圍，例如“二分法是否適用于所有類型的方程？”

-學(xué)生討論示例1：我們選擇初始區(qū)間時，應(yīng)該從包含方程根的區(qū)間開始，這樣可以確保算法的收斂性。

-學(xué)生討論示例2：如果精度設(shè)置過高，可能會導(dǎo)致算法迭代次數(shù)過多，甚至陷入無限循環(huán)。

-學(xué)生討論示例3：二分法適用于連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有根的情況，但不適用于所有類型的方程，比如分式方程。

5.總結(jié)回顧

內(nèi)容：

-回顧二分法的基本原理和步驟，強(qiáng)調(diào)初始區(qū)間選擇和精度設(shè)置的重要性。

-通過提問方式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)二分法在解決實際問題中的應(yīng)用價值。

-強(qiáng)調(diào)二分法的核心難點，如如何選擇合適的初始區(qū)間和設(shè)置精度，并給出相應(yīng)的解決策略。

-總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點，如對二分法原理的理解和應(yīng)用，以及對數(shù)學(xué)抽象能力的提升。

-用時：導(dǎo)入新課5分鐘，新課講授15分鐘，實踐活動15分鐘，學(xué)生小組討論10分鐘，總結(jié)回顧5分鐘，總計45分鐘。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-數(shù)學(xué)軟件介紹：MATLAB、Python、GeoGebra等軟件可以用來演示二分法的過程，讓學(xué)生直觀地看到迭代過程和結(jié)果的變化。

-線性方程組的解法：探討與二分法相關(guān)的線性方程組的解法，如高斯消元法，對比不同方法的優(yōu)缺點。

-方程根的存在性定理：介紹方程根的存在性定理，如介值定理，幫助學(xué)生理解為什么二分法能夠找到方程的根。

-數(shù)學(xué)競賽題目：收集一些與二分法相關(guān)的數(shù)學(xué)競賽題目，供學(xué)生課后練習(xí)，提高他們的解題能力和思維敏捷性。

-優(yōu)化問題中的二分法應(yīng)用：探討二分法在優(yōu)化問題中的應(yīng)用，如函數(shù)最值問題的求解。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以通過在線教程學(xué)習(xí)MATLAB或Python等編程語言的基本操作，嘗試自己編寫二分法的程序，加深對算法的理解。

-鼓勵學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)雜志或相關(guān)書籍，了解二分法在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)、工程學(xué)等。

-提供一些二分法相關(guān)的練習(xí)題，包括不同難度的題目，讓學(xué)生通過練習(xí)提高解題能力。

-建議學(xué)生參與數(shù)學(xué)小組討論或項目，與他人合作解決問題，這樣可以鍛煉他們的團(tuán)隊合作能力和交流能力。

-推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽或相關(guān)活動，通過解決實際問題來提升數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系①二分法的基本原理

-重點知識點：二分法的定義、原理、迭代步驟。

-關(guān)鍵詞句：將區(qū)間一分為二、中點、收斂性、逼近根。

②二分法的步驟

-重點知識點：初始區(qū)間的選擇、中點的確定、區(qū)間的更新、精度控制。

-關(guān)鍵詞句：選擇合適的初始區(qū)間、計算中點、更新區(qū)間、達(dá)到預(yù)設(shè)精度。

③二分法的應(yīng)用

-重點知識點：二分法在求解方程近似解中的應(yīng)用、實際問題的解決。

-關(guān)鍵詞句：方程根的近似求解、實際問題分析、算法實現(xiàn)、結(jié)果驗證。課后作業(yè)1.作業(yè)題：利用二分法求方程\(x^2-2x-3=0\)在區(qū)間\([1,4]\)內(nèi)的近似解，要求精度達(dá)到\(10^{-3}\)。

答案：首先檢查端點\(1^2-2\times1-3=-4\)和\(4^2-2\times4-3=5\)，端點異號，方程在\([1,4]\)內(nèi)有解。根據(jù)二分法步驟，逐步縮小區(qū)間并計算中點值，直到滿足精度要求。最終得到的近似解約為\(2\)。

2.作業(yè)題：若已知函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\)，在區(qū)間\([2,3]\)內(nèi)至少有一個零點，利用二分法求該零點的近似值，要求精度為\(10^{-4}\)。

答案：檢查端點\(f(2)=2^3-6\times2^2+11\times2-6=2\)和\(f(3)=3^3-6\times3^2+11\times3-6=-2\)，端點異號，方程在\([2,3]\)內(nèi)有解。按照二分法步驟，經(jīng)過幾次迭代，可以得到零點的近似值為\(2.3\)。

3.作業(yè)題：函數(shù)\(f(x)=e^x-3x+4\)在區(qū)間\([0,2]\)內(nèi)至少有一個零點，利用二分法求該零點的近似值，要求精度為\(10^{-5}\)。

答案：檢查端點\(f(0)=e^0-3\times0+4=5\)和\(f(2)=e^2-3\times2+4=e^2-2\)，端點異號，方程在\([0,2]\)內(nèi)有解。根據(jù)二分法迭代，最終可以得到零點的近似值為\(1.5\)。

4.作業(yè)題：已知\(0<x<1\)，函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{x}\)在區(qū)間\([0.5,1]\)內(nèi)有解，利用二分法求該解的近似值，要求精度為\(10^{-2}\)。

答案：檢查端點\(f(0.5)=\sqrt{0.5}-\frac{1}{0.5}=-0.5\)和\(f(1)=\sqrt{1}-\frac{1}{1}=0\)，端點異號，方程在\([0.5,1]\)內(nèi)有解。應(yīng)用二分法，經(jīng)過幾次迭代，可以得到解的近似值為\(0.6\)。

5.作業(yè)題：函數(shù)\(f(x)=x^3-x^2+x-1\