集合與常用邏輯用語1.4.2充要條件教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課是人教A版2019必修第一冊(cè)第一章“集合與常用邏輯用語”中的1.4.2節(jié)“充分條件與必要條件”。內(nèi)容包括充分條件、必要條件、充要條件的定義、判斷方法及其在數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用。二、內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了命題、量詞等邏輯用語的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入研究充分條件、必要條件和充要條件。通過具體的數(shù)學(xué)命題，引出充分條件、必要條件和充要條件的定義，并借助實(shí)例和圖形直觀地表示它們之間的關(guān)系。通過具體的例子和練習(xí)，幫助學(xué)生理解和掌握這些概念的判斷方法。同時(shí)，通過實(shí)例和圖形等工具，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。一、教學(xué)目標(biāo)理解充分條件、必要條件和充要條件的定義，并能舉例說明。掌握判斷充分條件、必要條件和充要條件的方法，包括定義法、集合法和等價(jià)法。能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要性的證明。初步使用常用邏輯用語進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流，提升邏輯推理素養(yǎng)。二、目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能夠通過具體的命題，理解充分條件、必要條件和充要條件的定義，并能正確判斷命題之間的關(guān)系。學(xué)生能夠運(yùn)用定義法、集合法和等價(jià)法等方法，判斷命題之間的充分條件、必要條件和充要條件。學(xué)生能夠通過具體的命題，進(jìn)行充要條件的證明，掌握證明的基本步驟和方法。學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)表達(dá)和論證中，正確使用邏輯用語，提高邏輯推理能力。學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過命題，會(huì)判斷命題的真假，上一節(jié)學(xué)習(xí)了充分條件與必要條件的初步概念，對(duì)于邏輯用語有了一定的了解，所以學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容還是比較感興趣的。但是，對(duì)于充分條件、必要條件和充要條件的定義及其判斷方法，學(xué)生可能會(huì)感到抽象和難以理解。因此，教師可以通過具體的實(shí)例和圖形，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這些概念?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：理解充分條件、必要條件和充要條件的定義，掌握判斷方法。教學(xué)難點(diǎn)：能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要性的證明。（一）課堂導(dǎo)入1導(dǎo)入情境：同學(xué)們，我們生活中有很多邏輯關(guān)系，比如“如果你帶了傘，那么你不會(huì)被雨淋濕”。這種邏輯關(guān)系在數(shù)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。今天，我們來探討一下數(shù)學(xué)中的邏輯關(guān)系——充分條件、必要條件和充要條件。通過這些邏輯關(guān)系，我們可以更好地理解和解決數(shù)學(xué)問題。情景引入2同學(xué)們，我們生活中有很多邏輯關(guān)系，比如“如果天下雨，那么地面會(huì)濕”。這種邏輯關(guān)系在數(shù)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。今天，我們來探討一下數(shù)學(xué)中的邏輯關(guān)系——充分條件、必要條件和充要條件。通過這些邏輯關(guān)系，我們可以更好地理解和解決數(shù)學(xué)問題。設(shè)計(jì)意圖：通過貼近生活實(shí)際的例子，引導(dǎo)學(xué)生初步感知生活中存在的邏輯關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)充分條件、必要條件和充要條件的概念做好鋪墊。教學(xué)建議：教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考生活中類似的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生嘗試用自己的語言描述這些關(guān)系，從而引出本節(jié)課的主題。（二）溫故知新回顧上節(jié)課知識(shí)：什么是充分條件？（如果條件p成立，那么結(jié)論q一定成立）什么是必要條件？（如果結(jié)論q成立，那么條件p一定成立）什么是充要條件？（條件p成立，結(jié)論q一定成立，且結(jié)論q成立，條件p一定成立）設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)上節(jié)課的知識(shí)，幫助學(xué)生鞏固已學(xué)內(nèi)容，為本節(jié)課深入學(xué)習(xí)充分條件、必要條件和充要條件的定義和判斷方法奠定基礎(chǔ)。教學(xué)建議：教師可以通過提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課的知識(shí)，同時(shí)注意糾正學(xué)生對(duì)概念理解的偏差。引入新課：提問：如何判斷一個(gè)條件是充分條件、必要條件還是充要條件？提問：如何證明一個(gè)條件是充要條件？探究點(diǎn)1：充分條件與必要條件定義：充分條件：如果條件p成立，那么結(jié)論q一定成立，記作p?q。必要條件：如果結(jié)論q成立，那么條件p一定成立，記作q?p。充要條件：如果條件p成立，結(jié)論q一定成立，且結(jié)論q成立，條件p一定成立，記作p?q。實(shí)例：充分條件：命題“如果x>2，則x>1”中，x>2是x>1的充分條件。必要條件：命題“如果x>1，則x>0”中，x>0是x>1的必要條件。充要條件：命題“如果x>2，則x>1”和“如果x>1，則x>2”都成立，所以x>2是x>1的充要條件。注意點(diǎn)：判斷條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，要注意條件和結(jié)論的邏輯順序。充分條件和必要條件的判斷可以轉(zhuǎn)化為命題的真假判斷。設(shè)計(jì)意圖：通過具體的實(shí)例，幫助學(xué)生理解充分條件、必要條件和充要條件的定義，使抽象的概念具體化，便于學(xué)生接受和理解。教學(xué)建議：教師可以通過提問和討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)例，總結(jié)充分條件、必要條件和充要條件的特點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)概念的理解。（二）判斷方法定義法：直接判斷“若p，則q”和“若q，則p”的真假。集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷。如果條件p對(duì)應(yīng)的集合A是結(jié)論q對(duì)應(yīng)的集合B的子集，即A?B，則p是q的充分條件；如果B?A，則p是q的必要條件；如果A=B，則p是q的充要條件。等價(jià)法：利用等價(jià)命題進(jìn)行判斷。如果p?q，則p和q互為充要條件。探究點(diǎn)1：充分條件的判斷問題：判斷命題“如果x>2，則x>1”中，x>2是否是x>1的充分條件。提示：判斷“若x>2，則x>1”是否為真命題。實(shí)例：命題“如果x>2，則x>1”中，x>2是x>1的充分條件。探究點(diǎn)2：必要條件的判斷問題：判斷命題“如果x>1，則x>0”中，x>0是否是x>1的必要條件。提示：判斷“若x>1，則x>0”是否為真命題。實(shí)例：命題“如果x>1，則x>0”中，x>0是x>1的必要條件。探究點(diǎn)3：充要條件的判斷問題：判斷命題“如果x>2，則x>1”和“如果x>1，則x>2”是否都為真命題。提示：分別判斷“若x>2，則x>1”和“若x>1，則x>2”的真假。實(shí)例：命題“如果x>2，則x>1”和“如果x>1，則x>2”都為真命題，所以x>2是x>1的充要條件。設(shè)計(jì)意圖：介紹多種判斷方法，幫助學(xué)生掌握判斷充分條件、必要條件和充要條件的技巧，提高學(xué)生的邏輯推理能力。教學(xué)建議：教師可以通過具體的例子，詳細(xì)講解每種判斷方法的步驟和要點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的方法進(jìn)行判斷。（四）典例分析例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；（2）p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p：，q：，；（4）p：是一元二次方程的一個(gè)根，q：（）.【解析】（1）因?yàn)閷?duì)角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形（為什么），所以，所以p不是q的充要條件.（2）因?yàn)椤叭魀，則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，即，所以p是q的充要條件.（3）因?yàn)闀r(shí)，，不一定成立（為什么），所以，所以p不是q的充要條件.（4）因?yàn)椤叭魀，則q”與“若q，則p”均為真命題，即，所以p是q的充要條件.變式3：已知p：實(shí)數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因?yàn)閜?q，所以A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))?－eq\f(2,3)≤a<0，所以a的取值范圍是－eq\f(2,3)≤a<0.反思感悟充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．注意點(diǎn)1.充要條件就是研究一個(gè)命題的條件與結(jié)論之間關(guān)系,實(shí)質(zhì)上是判斷兩個(gè)互逆的命題(原命題與其逆命題)的真假.常見的方法有定義判斷法、等價(jià)判斷法(以否定形式呈現(xiàn))、集合判斷法.2.“是的必要而不充分條件”的含義是“而”;“p的必要不充分條件是”的含義是“而設(shè)計(jì)意圖：通過具體的例題和變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。教學(xué)建議：教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析例題的解題思路，總結(jié)解題方法和步驟，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與變式訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題能力。探究通過上面的學(xué)習(xí),你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎?可以發(fā)現(xiàn),“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”和“四邊形的對(duì)角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件,又是必要條件,所以它們都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.另外,我們?cè)倏雌叫兴倪呅蔚亩x:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,它表明“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充要條件.上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個(gè)概念,據(jù)此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式.例如:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形.類似地,利用“兩個(gè)三角形全等”的充要條件,可以給出“三角形全等”的其他定義形式,而且這些定義是相互等價(jià)的;同樣,利用“兩個(gè)三角形相似”的充要條件,可以給出“相似三角形”其他定義形式,這些定義也是相互等價(jià)的;等等.例4已知：的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.求證：是直線l與相切的充要條件.分析：設(shè)p：，q：直線l與相切.要證p是q的充要條件，只需分別證明充分性（）和必要性（）即可.證明：設(shè)p：，q：直線l與相切.（1）充分性（）：如圖1.4-2，作于點(diǎn)P，則.若，則點(diǎn)P在上.在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接.在中，.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在的外部，即直線l與僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.所以直線l與相切.（2）必要性（）：若直線l與相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則.因此，.由（1）（2）可得，是直線l與相切的充要條件.師生活動(dòng):學(xué)生分析題意，給出解題思路，教師根據(jù)學(xué)生情況，可以就以下問題進(jìn)行追問然后在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行板書示范,追問：（1）如何證明充要條件？（2）證明充分性時(shí)，條件和結(jié)論分別是什么？證明必要性時(shí)，條件和結(jié)論分別是什么？設(shè)計(jì)意圖：在推理之前，明確證明思路，分清條件和結(jié)論很重要；這個(gè)題目的推理過程略有難度，需要教師的引導(dǎo)和書寫規(guī)范的證明過程.變式2：求證：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點(diǎn)的充要條件是b＝0.證明(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，函數(shù)圖象過原點(diǎn)．(2)必要性：因?yàn)閥＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點(diǎn)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.綜上，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點(diǎn)的充要條件是b＝0.反思感悟充要條件證明的兩個(gè)思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性．(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．1.已知，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，直接判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橛赡芡瞥?；由不能推出；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2.若“”是“”的充要條件，則ab的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充要條件求參數(shù)【詳解】由題意得，解得，所以．3.設(shè)集合那么“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件【詳解】由交集與并集的定義可知，若則，若不能得到，“”是“”的必要不充分條件，故選B.4.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：A5.下列選項(xiàng)中，是的充要條件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)、充要條件的證明【分析】根據(jù)充分、必要條件的判定逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椴荒芡瞥?，例如，即充分性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椴荒芡瞥?，例如，即充分性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椴荒芡瞥?，例如，即必要性不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈葍r(jià)于，所以是的充要條件，故D正確；故選：D6.已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】或，因此是的既不充分也不必要條件，故選：D．7.“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】既不充分也不必要條件、充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)【分析】先推導(dǎo)出充分性不成立，再舉出反例得到必要性不成立.【詳解】因?yàn)?，所以或，則或，故充分性不成立，若，滿足，但不滿足，必要性不成立，故“”是“”的既不充分又不必要條件.故選：D8.以下選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（）A．p：，q：B．p：，q：C．p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．p：，q：關(guān)于x的方程有唯一解【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，，所以p推不出q，q推不出p，所以p是q既不充分也不必要條件；對(duì)于B，；當(dāng)時(shí)，滿足，但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；對(duì)于C，若“兩條對(duì)角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；反之，若“四邊形是正方形”成立推出“兩條對(duì)角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分條件；對(duì)于D，若，則關(guān)于x的方程有唯一解；若關(guān)于x的方程有唯一解，則，所以，故p是q的充分必要條件.故選：D.9.下列命題中是的充要條件的是（

）A．，：方程有實(shí)根B．，C．，D．，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】探求命題為真的充要條件【分析】由充要條件的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若方程有實(shí)根，則，即或，因此不是的充要條件，A錯(cuò)誤；不一定可以得到，所以不是的充要條件，B錯(cuò)誤；若，則，若，則，故充分性不成立，C錯(cuò)誤；根據(jù)集合間的關(guān)系可得，D正確．故選：D10.使“”成立的一個(gè)充分而不必要條件是（

）A． B．或C．x∈{－1，3，5} D．或【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、充分條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)題意判斷選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)集合為題干中集合的真子集，即可得答案.【詳解】從集合的角度出發(fā)，在選項(xiàng)中判斷哪個(gè)相應(yīng)的集合是題干中集合的真子集，只有B，C滿足題意．故選：BC.1.（2015·重慶·高考真題）“”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】探求命題為真的充要條件【詳解】試題分析：時(shí)，成立，故是充分的，又當(dāng)時(shí)，即，，故是必要的的，因此是充要條件．故選A．考點(diǎn)：充分必要條件．2.（2014·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”成立的A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選C．考點(diǎn)：充分必要條件．3.（2012·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、解不含參數(shù)的一元二次不等式【詳解】由題意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選A．考點(diǎn)：充分不必要條件的判定．4.（多選題）使“”成立的一個(gè)充分而不必要條件是（

）A． B．或C．x∈{－1，3，5} D．或【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、充分條件的判定及性質(zhì)【分析】根據(jù)題意判斷選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)集合為題干中集合的真子集，即可得答案.【詳解】從集合的角度出發(fā)，在選項(xiàng)中判斷哪個(gè)相應(yīng)的集合是題干中集合的真子集，只有B，C滿足題意．故選：BC.知識(shí)清單充分條件：如果條件p成立，那么結(jié)論q一定成立，記作p?q。必要條件：如果結(jié)論q成立，那么條件p一定成立，記作q?p。充要條件：如果條件p成立，結(jié)論q一定成立，且結(jié)論q成立，條件p一定成立，記作p?q。判斷方法：定義法：直接判斷“若p，則q”和“若q，則p”的真假。集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷。等價(jià)法：利用等價(jià)命題進(jìn)行判斷。方法歸納定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷。集合法：利用集合的包含關(guān)系進(jìn)行判斷。等價(jià)法：利用等價(jià)命題進(jìn)行判斷。傳遞法：利用充分條件和必要條件的傳遞性進(jìn)行判斷。常見誤區(qū)條件和結(jié)論辨別不清：在判斷充分條件、必要條件和充要條件時(shí)，容易混淆條件和結(jié)論的邏輯順序。集合關(guān)系理解不透：在利用集合法判斷時(shí)，容易忽略集合的包含關(guān)系。等價(jià)命題應(yīng)用不當(dāng)：在利用等價(jià)法判斷時(shí)，容易忽略等價(jià)命題的邏輯關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容，鞏固所學(xué)知識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，加深對(duì)集合概念的理解。教學(xué)建議：教師通過提問和講解，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系。（六）課堂練習(xí)課本練習(xí)：課本P22的練習(xí)1~3題。課本習(xí)題：課本P22的習(xí)題1.4的3、4、5題。課本作業(yè)：完成課本P22的習(xí)題1.4的6、7、8題。拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們查閱資料，了解充分條件、必要條件和充要條件在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并寫一篇小論文，談?wù)勀愕目捶ê腕w會(huì)。設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解題能力。同時(shí)，教師可以通過學(xué)生的練習(xí)情況，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和方法。教學(xué)建議：教師可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，分享解題思路和方法。同時(shí)，教師可以對(duì)學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)的問題進(jìn)行及時(shí)指導(dǎo)和糾正。練習(xí)4.下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；（2）內(nèi)兩條弦相等，內(nèi)兩條弦所對(duì)的圓周角相等；（3）為空集，與B之一為空集.【解析】在（1）中，三角形中等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，所以，所以p是q的充要條件；在（2）中，內(nèi)兩條弦相等，它們所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，因此，，所以p不是q的充要條件；在（3）中，取，，顯然，，但與均不為空集，因此，，所以p不是q的充要條件.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷，屬于簡(jiǎn)單題.5.分別寫出“兩個(gè)三角形全等”和“兩個(gè)三角形相似”的幾個(gè)充要條件.【解析】“兩個(gè)三角形全等”的充要條件如下：①三邊對(duì)應(yīng)相等；②兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等；③兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等；④兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.“兩個(gè)三角形相似”的充要條件如下：①三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等（或兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）；②三邊對(duì)應(yīng)成比例；③兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等.【點(diǎn)睛】本題考查寫命題的充要條件，屬于簡(jiǎn)單題.6.證明：如圖，梯形為等腰梯形的充要條件是.【解析】證明：（1）必要性.在等腰梯形中，，，又∵，∴，∴.（2）充分性.如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵，，∴四邊形是平行四邊形.∴.∵，∴，∴.又∵，∴，∴.在和中，∴.∴.∴梯形為等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形為等腰梯形的充要條件是.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的證明，熟記充分條件與必要條件的概念即可，屬于?？碱}型.習(xí)題1.4復(fù)習(xí)鞏固7.舉例說明:(1)p是q的充分不必要條件;(2)p是q的必要不充分條件;(3)p是q的充要條件.【解析】(1)可根據(jù)數(shù)軸上的關(guān)系舉例：“”是“”的充分不必要條件;(2)可根據(jù)方程的根的解舉例：“”是“”的必要不充分條件;(3)可根據(jù)定理舉例：“內(nèi)錯(cuò)角相等”是“兩直線平行”的充要條件【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分與必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題型.8.在下列各題中,判斷p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等邊三角形;(2)在一元二次方程中，有實(shí)數(shù)根，;(3);(4);(5).【解析】(1)因?yàn)榈妊切问翘厥獾牡冗吶切?故p是q的必要不充分條件.(2)一元二次方程有實(shí)數(shù)根則判別式.故p是q的充要條件.(3)因?yàn)?故且；當(dāng)時(shí)不一定成立.故p是q的充分不必要條件.(4)因?yàn)?故或,所以不一定成立；當(dāng)時(shí)一定成立.故p是q的必要不充分條件.(5)當(dāng)時(shí),滿足但不成立.當(dāng)時(shí),滿足但不成立.故p是q的既不充分又不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定,屬于基礎(chǔ)題型.9.判斷下列命題的真假:(1)點(diǎn)P到圓心O的距離大于圓的半徑是點(diǎn)P在外的充要條件;(2)兩個(gè)三角形的面積相等是這兩個(gè)三角形全等的充分不必要條件;(3)是的必要不充分條件;(4)x或y為有理數(shù)是xy為有理數(shù)的既不充分又不必要條件.【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系知點(diǎn)P到圓心O的距離大于圓的半徑是點(diǎn)P在外的充要條件.故(1)為真命題.(2)兩個(gè)三角形面積相等也可能同底等高,全等三角形面積一定相等.故兩個(gè)三角形的面積相等是這兩個(gè)三角形全等的必要不充分條件.故(2)為假命題.(3)是的充要條件.故(3)為假命題.(4)當(dāng)時(shí),滿足“x或y為有理數(shù)”但“xy為有理數(shù)”不成立.當(dāng)時(shí)滿足“xy為有理數(shù)”但“x或y為有理數(shù)”不成立.故(4)為真命題.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分與必要條件的辨析,屬于基礎(chǔ)題型.綜合運(yùn)用10.已知A={滿足條件p},B={滿足條件q},(1)如果,那么p是q的什么條件?(2)如果,那么p是q的什么條件?(3)如果,那么p是q的什么條件?【解析】(1)如果,則滿足條件p也滿足條件q.故p是q的充分條件.(2)如果,則滿足條件q也滿足條件p.故p是q的必要條件.(3)如果,則滿足條件p滿足條件q,且滿足條件q也滿足條件p.故p是q的充要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系與充分必要條件的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.11.設(shè)證明:的充要條件是.【解析】證明:(1)充分性:如果,那么,.(2)必要性:如果,那么,,.由(1)(2)知,的充要條件是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分必要條件的證明,需要分別證明充分性與必要性,屬于