第十一章概率和統(tǒng)計、算法

一.基礎(chǔ)題組

1.【2005天津，理7】某人射擊?次擊中的概率是0.6,經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊

中目標(biāo)的概率為

A81?54八36八27

A、——B、——C、——1)、——

125125125125

【答案】A

【解析】三次射擊行為互不影響。擊中兩次的可能性為C；(O.6『(O.4)i,擊中3次的可

能性為C；(OS7(04廣,經(jīng)計算C；(0.6)2(0.4廣+C；(0.6)'(0.4)3-3=2

本題答案選A

2.12005天津，理15】某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利

12%,一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50他下表是過去200例類似項目開發(fā)的實(shí)施結(jié)

果：

投資成功投資失敗

192次8次

則該公司一年后估計可獲收益的期望是(元)。

【答案】4760

192-8

【解析】投奧成功的概率是碗，失敗的概率是碗，所以所求的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該是:

50000x^1^xl2%-^x50%^-5x(129x6-4x50)-4760

本題答案填寫：

■4760■________________

3.12009天津，理5】閱讀下面的程序框圖，則輸出的S等于()

A.26B.35C.40I).57

【答案】C

【解析】實(shí)質(zhì)是求數(shù)列an=3n—1的前5項和,對應(yīng)的S=40.

4.【2009天津，理11】某學(xué)院的A,B,C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生.為了調(diào)查這些學(xué)生勤工

儉學(xué)的情況,擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本已知該學(xué)院的A專業(yè)有380

名學(xué)生,B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取名學(xué)生.

【答案】40

【解析】由題知C專業(yè)有學(xué)牛」200—380—420=/100,那么（:專業(yè)應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為

…八400，八

120x-----=40

1200名.

5.【2010天津，理4】閱讀下邊的程序框圖，若輸出s的值為一7,則判斷框內(nèi)可填寫（）

A./<3?B./<4?C.7y5?I)./<6?

【答案】D

【解析】由s=2,i=l,s=2—1=1,i=3,s=l—3=—2,i=5,s=—2—5=—7,i=

7.

可知應(yīng)填i<6?.

6.12010天津，理11】甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間

一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的H立數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù).則這10天甲、乙

兩人日加工零件的平均數(shù)分別為__________和—

【答案】2423

18+19+20+22+23+21+20+35+31+31~

【解析】解析：/----------------------------------------------------------------------=24,

1()

19+17+11+21+24+22+24+30+32+30

-23

10

7.12011天津，理3】閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出，?的值為

A.3B.4C.5D.6

（開始）

【答案】B

'【解析】i=l時，a=lxl+l=2；-

i=2時，a=2x2+1=5j

I■

i=3時，0=3x5+1=16；

i=4時，o=4xl6+l=65>50,.??$就i=4,故選B.

I■I

8.12011天津，理9】一支田徑隊有男運(yùn)動員48人，女運(yùn)動員36人，若用分層抽樣的方法

從該隊的全體運(yùn)動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動員的人數(shù)為—.

【答案】12

n=21

【解析】設(shè)抽取男運(yùn)動員人數(shù)為〃，則4848+36,解之得〃=12.

9.12012天津，理3】閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入*的值為一25時,

輸出*的值為（）

A.-1B.1C.3D.9

【答案】C

【解析】x=|-25|>1,x=J-25|-1=4;

x=|4|>l,x=〃-1=1;

x=|l|>l不成立，

.*.x=2Xl+l=3.

10.【2012天津，理9】區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法

從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取__________所學(xué)校，中

學(xué)中抽取所學(xué)校.

【答案】189

【解析】共有學(xué)校150+75+25=250所，.??小學(xué)中應(yīng)抽取:30x受=18所,中學(xué)中應(yīng)抽

250

?。?0x二=9所.

250

11.【2013天津，理3】閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序.若輸入x的值為1,則輸

出S的值為（）.

/￥45/

A.64B.73

C.512I).585

【答案】B

【解析】由程序框圖，得x=l時，S=l：x=2時，S=9：x=4時，S=9+64=73,結(jié)束循

環(huán)輸出S的值為73,故選B.

12.12013天津，理4】已知下列三個命題：

①若一個球的半徑縮小到原來的上，則其體積縮小到原來的1;

28

②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；

③直線＞+y+l=0與圓相切，

2

其中真命題的序號是（）.

A.①②?B.①@

C.①③D.②g

【答案】C

【解析】設(shè)球半徑為R，縮小后半徑為r,則而V=±?！?

23

兀叱，所以該球體枳縮小到原來的故①為真命題：兩組數(shù)

33（2J838

據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差可能不相等，故②為假命題；圓x2+y2=1的圓心到I'[線x

+y_H=O的距離＜]=j==Y2,因為該距離等于圓的半徑，所以直線與圓相切，故③為

V22

真命題.故選C.

13.12014天津，理3】閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值為（）

(A)15(B)105(C)245(D)945

【答案】B.

rEWl-1

試題分析：采用多摩法引出運(yùn)算各步結(jié)果

勺=Lj=lfr=3,S=lx3=3J=2f7=5,S=3x5=15J=3fT=7,S=15x7=lO5/=4,結(jié)束■

JI法，愉出5=105,故選B.

■■■

考點(diǎn)：算法與程序框圖.

14.12014天津，理9】某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實(shí)踐活動的意向，擬采用

分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生.中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該

校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6,則應(yīng)從一年級本科

生中抽取名學(xué)生.

【答案】60.

【解析】

4

試題分析：應(yīng)從?年級抽取300?------------60名.

4+5+5+6

考點(diǎn)：等概型抽樣中的分層抽樣方法.

15.（2015高考天津，理3】閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為（）

(A)-10(B)6(C)14(D)18

【答案】B

【解析】模擬法：輸入S=20,i=l；

i=2xLS=20—2=18,2>5不成立；

i=2x2=4,S=18-4=14,4>5不成立

1=2x4=8,5=14-8=6?8>5成立

輸出6,故選B.

【考點(diǎn)定位】本題主要考查程序框圖與模擬計算的過程.

16.12015高考天津，理16】(本小題滿分13分)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比

賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙

協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.

(【)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”

求事件A發(fā)生的概率；

(II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(I)￡；

(11)隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

1331

P

147714

E(X)=|

【解析】(D由己知，有

pgC：C；+C；C；6

r(A)=———-=—

Ct35

所以事件A發(fā)生的概率為9.

35

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4

z-fA：zi4-A

尸（丫=勸=爺_@=1,234）

所以隨機(jī)變量X的分布列為

【考點(diǎn)定位】占典概型、互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.12016高考天津理數(shù)】閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為

n=1

結(jié)束

（A）2（B）4

（C）6（D）8

【答案】B

【解析】

試題分析：依次循環(huán)：S=8,〃=2;S=2,〃=3;S=4,〃=4,結(jié)束循環(huán)，輸出S=4,選B.

【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖

【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)

概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)，其次要重視循環(huán)起始條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更

要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求頂.

18.[2016高考天津理數(shù)】某小組共10人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動

次數(shù)為1,2.3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座

談會.

（I）設(shè)/為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4"，求事件/發(fā)生的概率；

（II）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）,；（II）詳見解析.

3

【解析】

試題分析：（I）先確定從這1。人中隨機(jī)選出2人的基本事件種數(shù)：再確定選出的2人參加義工活動

次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：c；c：+c；,最后根據(jù)概率公式求概率（n）先確定隨機(jī)變量的可能取值

為0,12再分別求出對應(yīng)概率，列出分布列，最后根據(jù)公式計算數(shù)學(xué)期望.

C'C1+C2I1

試題解析：解：⑴由已知，有P（A）=3-4-3=、，所以,事件A發(fā)生的概率為一.

'C；。33

（II）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.

P（x=?！笔艿?

jo

Go15

P（X=2）=等

VIO

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X012

474

P

1515L5

474

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望七（X）=Ox石+1X石+2x石=1.

【考點(diǎn)】概率、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望

【名師點(diǎn)睛】求均值、方差的方法：

I.已知隨機(jī)變星的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義（公式）求解：

2.已知隨機(jī)變量，的均值、方差，求，的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,

可直接用f的均值、方差的性質(zhì)求解；

3.如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布（如兩點(diǎn)分布、二項分布等），可直接利用它們

的均值、方差公式求解.

二.能力題組

1.12006天津，理18】某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為:，且各次

射擊的結(jié)果互不影響。

（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率（用數(shù)字作答）：

（2）求射手第3次擊中目標(biāo)時，恰好射擊了4次的概率（用數(shù)字作答）：

（3）設(shè)隨機(jī)變量J表示射手第3次擊中目標(biāo)時已射擊的次數(shù)，求4的分布列.

【答案】（1），（2）.

3

【解析】解：（1）.??每次射擊擊中目標(biāo)的概率為勺，

且各次射擊的結(jié)果互不影響，

???射手在三次射擊時，每一個事件之間的關(guān)系是相互獨(dú)立的,

設(shè)“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A

則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率

P1=P（A?/■彳）一尸（彳■/?/）一產(chǎn)（4?/?/）

=1X1X2-2X3X3_3X3X3=63

555555555125

（2）二?射手第3次擊中目標(biāo)時，恰好射擊了4次，

表示在這四次射擊時，前三次恰有兩次擊中目標(biāo)，第四次一定擊中目標(biāo)，

???射手第3次擊中目標(biāo)時，恰好射擊了4次的概率

2.12007天津，理18】已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同

的2個紅球和4個黑球.現(xiàn)在從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.

（1）求取出的4個球均為黑色球的概率；

（II）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

（III）設(shè)彳為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求〈的分布列利數(shù)學(xué)期望.

【答案】（D1（IDA（m）4的分布列為

40123

1731

P

515To30

4的數(shù)學(xué)期望片4=0*1+1乂1+2乂3+3又-!-=2.

51510306

【解析】

(工)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均黑球”為事件A,“從乙盒內(nèi)取出的2個球為黑球”為事件B.由于事

件A,B相互獨(dú)立，目

p21C：2

?^―9

C5,

故取出的4個球均為黑球的概率為

121

P(4?6)=P(仆P(B)=1x^=^.

(II)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅紅，I

個是黑球”為事件C,“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出

的2個球均為黑球”為事件D.由于事件C,D互斥，且

c：C\.C\4C\clI

P(C)==.^L=：,P(￡>)=E.W=」

c：Cl15C；Cl5

故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為

4I7

P(C+D)=P(C)+P(D)=—+-=—.

(in)解:(可能的取值為o,L23.由(D,(口)得

17

P(f=0)=-,P(^=l)=-,

J1J

又—3)啥*=看

3

從而P?=2)=l-P((f=0)-P(^=I)-P?=3)=-.

4的分布列為

C

g012J

\_731

p

5151030

~八1,7c3cl7

Eg=0x—4-1x—+2x--F3x—=一

的數(shù)學(xué)期望51510306.

3.12008天津，理18］甲、乙兩個籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為L

2

與p，且乙投球2次均未命中的概率為」

16

（1）求乙投球的命中率〃；

（II）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為g,求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3

【答案】（I）一，（II）2

4

【解析】解：

（I）設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命中”為事件B

由題意得

（I-P（B））2=（I-P）2=±

16

353

解得〃二一或二（舍去），所以乙投球的命中率為二

444

（II）由題設(shè)和（I）知p⑷=L咐=L?（B）=q,而|=：

4可能的取值為0,1,2,3,故

雄=0）=響而㈤!用/

3117

2XXX

-一

4-4-2-

32

i/qVn

P（^=3）=P（A）P（BB）=-x-=—

zIq./3乙

^=2）=1-P仁=0）-P（J=1）-哈3）=稱

4的分布列為

0123

17159

P

32323232

15.2=2

J的數(shù)學(xué)期望EJ=0x3-Fix--+2nx—+3x

4.[2009天津，理18]在10件產(chǎn)品中，有3件一等品,4件二等品，3件三等品.從這10件產(chǎn)

品中任取3件，求:

(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率.

931

【答案】3)歷：川)西

【解析】解：(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為Gl，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中

恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為C；。尸，那么從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件一等品的

概率為

「女「13-氏

P(X=k)=3二,k=o,1,2,3.

Go

所以隨機(jī)變量X的分布列是

X0123

72171

P

244040Ho

79|719

X的數(shù)學(xué)期望EX=Ox—+lx-+2x—+3X」一二N

24404012010

⑵設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A,“恰好取出1件一等品和

2件三等品”為事件A1,“恰好取出2件一等品”為事件A2,“恰好取出3件一等品”為事

件A3.由于事件Al,A2,A3彼此互斥，且A=A1UA2UA3,

C'C2371

而「但)=胃=左，P(4)=P(X=2)=左，P(A.)=P(X=3)=—,

所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為

37131

2(4)=尸(4)+尸(4,)+尸(4)=—+—+——=——.

■4040120120

2

5.12010天津，理18】某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是且各次射擊的結(jié)果互不影響.

3

(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率：

(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；

(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分.在3次

射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加I分.若3次全擊中，則額外加

3分.記f為射手射擊3次后的總得分?jǐn)?shù)，求f的分布列.

【答案】（1）毀，（2）g，（3）

2438

€01236

12488

P

T792727Z7

2

【解析】解：（1）設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X?B（5,-）,在5次射擊

3

中，恰有2次擊中FI標(biāo)的概率P（X=2）=C；X（：）2X（l-；）3=w.

⑵設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)"為事件/"=123,4,5）射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2

次未擊中目標(biāo)”為事件A,則

尸（⑷二尸（444工五）+P（4444兀+尸（Z4444）

=(?)3X(l)a4-lx(-)3xl+(i)3X(-)3=—.

333333381

（3）由題意可知,€的所有可能取值為0,1,2,3,6.

------------11

3

〃(4=o)=〃(A4A3)=(-)=—；

尸(f=1)=P(4&4)+P(A44)+?(4A?4)

22

=lx(-!-)+lx-xi+(l)x-=-;

33333339

——2124

P(&=2)=P(A\A,虺)=-X-X—=一：

?33327

P(f=3)=尸(44A?)+P(A44)=(-)2X-+-X(2)2=_L

33332*7

八R

P(f=6)=^(AiAzAz)=(-)3=—.

327

所以€的分布列是

01236

12488

P

7792727Y7

三.拔高題組

1.12011天津，理16】學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個

黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱

子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.1每次游戲結(jié)束后將球放回原

箱)

(I)求在1次游戲中，

(i)摸出3個白球的概率;

(ii)獲獎的概率;

(II)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

]_2_Z

【答案】(I)二：(II)10：(III)5'

【解析】(I)(i)解：設(shè)“在I次游戲中摸出i個白球”為事件4=(，=04，2,3),則

21

P(4)=與C.C與」I.

c；C；5

(ii)解：設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B,則8=又

尸⑶-或%*；或一1

且A2,A3互斥，所以尸(B)=P(4)+P(4)=g+g=3-

(II)解：由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.

7n9

P(X=0)=(l--)2=—.

10100-

7771

P(T=1)=C^—(1—)=—

101050:

7i49

P(X=2)=(—/=—.

10100

所以X的分布列是

xo2

p92149

10050Too

921497

E(X)=0x——+lx—+2x——=-.

X的數(shù)學(xué)期望100501005

2.12012天津，理16】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加

者選擇.為增加趣味性，約定：每個人逋過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,

擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.

(1)求這1個人中恰有2人去參加甲游戲的概率：

(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；

(3)用尤V分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記f=X-Y\,求隨機(jī)變

量f的分布列與數(shù)學(xué)期望￡(f).

Q

【答案】(D—，

27

這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為g,去參加乙游戲的概率

【解析】解：依題意,

設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i=O,1,2,3,4),

12「

則p(4)=c;qy(§)4T.

122

22

⑴這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)-C*(-)(-)-^.

(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則8=

A3UA4.由于A3與A4互斥，故

P(B)=P(A3)-t-P(A4)

=c*(g)+c：(y

所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為

（3）自的所有可能取值為0,2,4.

由于A1與A3互斥，AO與A4互斥，故

g

P（€=O）=P（A2）=—,

27

40

P（^=2）=P（A1）4-P（A3）=—,

o1

17

P（^=4）=P（A0）+P（A4）=一.

81

所以自的分布列是

g024

84017

p

278181