1/10專題01空間向量的運算及其應(yīng)用目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、根據(jù)空間向量的線性運算求參數(shù) 1類型二、向量共線、共面的判定及應(yīng)用 4類型三、空間向量的數(shù)量積及參數(shù)、最值問題 11類型四、空間向量的模及參數(shù)、最值問題 16類型五、空間向量的夾角及參數(shù)、最值問題 22類型六、垂直、投影向量及參數(shù)問題 27類型七、證明平行、共面、垂直問題 33壓軸專練 41類型一、根據(jù)空間向量的線性運算求參數(shù)一、單選題1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）若，，，，若，，不共面，當(dāng)時，等于（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算得出參數(shù)值.【詳解】由已知得，．所以，故有．故選：A.2．（24-25高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點分別為的中點，若，且，則（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算及空間向量基本定理即可求解.【詳解】因為點分別為的中點，所以，所以，因為，所以，所以，又，則，所以.故選：D.3．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（

）

A．1 B．2C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，則.故選：A二、填空題4．（23-24高二上·山東威海·月考）已知是平行六面體．設(shè)是底面的中心，是側(cè)面的對角線上的點，且，設(shè)，．

【答案】【分析】由空間向量基本定理得到，從而求出，，，得到答案.【詳解】∵，，∴，又，∴，，，故.故答案為：類型二、向量共線、共面的判定及應(yīng)用共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．3、共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使4、拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．一、單選題1．（24-25高二上·山東濟南·月考），若則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的平行性質(zhì)，列出方程組，解出的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)，則存在一個常數(shù)使得，所以可得，解之可得，所以.故選：C2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【答案】C【分析】利用空間向量的共線定理與共面定理.【詳解】若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故A錯誤；同理若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故B錯誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯誤.故選：C3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知A，B，C三點共線，O為空間任一點，則①；②存在三個不為0的實數(shù)，m，n，使，那么使①②成立的與的值分別為（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B【分析】根據(jù)三點共線的推理即可求得，.【詳解】，B，C三點共線，，，解得，又由，得，由A，B，C三點共線知，，則.故選：B4．（24-25高二上·福建福州·月考）已知，，，若，，三向量共面，則（

）A．18 B． C． D．6【答案】B【分析】利用空間向量共面的條件建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】由題意知，即，故有，，，解得，故B正確.故選：B.5．（24-25高二下·福建龍巖·期中）已知，，不共面，若，，且三點共線，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由，列出方程求解即可.【詳解】因為三點共線，所以，即，所以，解得，所以，故選：A6．（24-25高二上·廣東佛山·月考）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量共面的性質(zhì)逐項判斷即可；【詳解】對于A，，所以三向量共面，故A錯誤；對于B，，所以三向量共面，故B錯誤；對于C，，所以三向量共面，故C錯誤；對于D，假設(shè)共面，則，即，所以，不符合題意，所以假設(shè)不成立，故D正確；故選：D.7．（24-25高二上·安徽銅陵·月考）已知A，B，C，D是空間不共面的四點，點P滿足：，則（

）A．P，A，B，C四點共面 B．P，A，B，D四點共面C．P，B，C，D四點共面 D．P，A，C，D四點共面【答案】C【分析】由空間向量共面定理的推論求解即可；【詳解】因為，所以，即，故，因為，所以四點共面，C正確．另解：由已知得，所以共面，又存在公共點，所以四點共面，C正確．故選：C．8．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，為空間內(nèi)一點，若，其中，，則（

）A．若，則點在棱上 B．若，則點在線段上C．若，為棱的中點 D．若，則點在線段上【答案】ABD【分析】利用空間向量的數(shù)乘運算與共線定理逐項判斷即可.【詳解】作出三棱柱，如圖，對于A，當(dāng)時，，則，所以點在棱上，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以點在線段上，故B正確；對于C，當(dāng)時，由B知，所以為棱的中點，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以，則，即，所以點在線段上，故D正確.故選：ABD.9．（24-25高二上·廣東廣州·月考）已知點D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四點共面可知，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可求解.【詳解】,因為四點共面，所以，注意到，從而.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故選：B.10．（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體中，E為的中點，G為平面的重心．若與平面交于點F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共線定理及空間向量線性運算可得結(jié)果.【詳解】如圖：連接交于H，則H為中點，連接,因為平面，平面，設(shè)，則，又平面，所以平面，故K為與平面的交點，又因為與平面交于點F，所以F與K重合，又E為的中點，G為平面的重心，因為點A，F(xiàn)，G三點共線，則又因為點E，F(xiàn)，H三點共線，則，,所以，解得，即，故.故選：C.11．（24-25高一下·貴州貴陽·月考）如圖，在正四面體中，E為的中點，，，當(dāng)時，四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四點共面可得，，運用空間向量的線性運算得到，代入，根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等列方程組即可得到答案.【詳解】因為四點共面，所以存在唯一的，使得.因為，所以，因為E為的中點，，所以，，所以，，，代入，得，所以，解得.故選：B．類型三、空間向量的數(shù)量積及參數(shù)、最值問題在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.②利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.一、單選題1．（24-25高二下·江蘇連云港·期中）已知滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知由空間向量的坐標(biāo)運算求得，根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合，即可得的值．【詳解】由已知，，所以，又，所以.故選：D.2．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知正四棱錐的所有棱長均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意作圖，根據(jù)空間向量的共面定理，求得參數(shù)，結(jié)合數(shù)量積的運算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則，由共面，則，解得，所以.故選：B.3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱長為的正四面體中，是的中點，是上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由數(shù)量積的定義以及運算律代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，有，，設(shè)，則．故選:B．4．（24-25高二下·甘肅酒泉·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點在直線上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，計算、的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算化簡即可.【詳解】由點在直線上運動，故可設(shè)，，則，，所以，故當(dāng)時，取得最小值.故選：C．5．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）記棱長為2的正方體的內(nèi)切球為球是球O的一條直徑，P為該正方體表面上的動點，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加法運算和數(shù)量積的運算律求解.【詳解】由題意可得，球O的半徑為1．．當(dāng)P為正方體頂點時等號成立，故選：B二、填空題6．（24-25高二下·上海浦東新·期末）設(shè)正四面體的棱長為，為的中點，為的中點，則．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運算和數(shù)量積的定義與運算法則求解.【詳解】如圖所示，

.故答案為：7．（24-25高二下·江蘇南京·期中）在直三棱柱中，，點為側(cè)面上的任意一點，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)空間向量法計算數(shù)量積結(jié)合二次函數(shù)最值計算求解.【詳解】如圖取中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，當(dāng)，且或時，取最大值4，當(dāng)，且時，取最小值2，所以的取值范圍為.故答案為：.類型四、空間向量的模及參數(shù)、最值問題利用向量方法求長度或距離的基本方法（1）將相應(yīng)線段用向量表示,通過向量運算來求對應(yīng)向量的模.（2）因為a·a=|a|2,所以|a|=a·a,這是利用向量解決長度或距離問題的基本公式.另外,該公式還可以推廣為|a±b|=(a（3）若，則，即一、單選題1．（2025·廣東惠州·三模）已知空間向量滿足，則（

）A． B．1 C．0 D．【答案】D【分析】應(yīng)用向量線性運算的坐標(biāo)表示求出坐標(biāo)，再由模長的坐標(biāo)公式求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：D2．（24-25高二下·江蘇南京·月考）在平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量線性運算，可得，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．【詳解】，又，，，，，；故選：A3．（24-25高二下·江蘇揚州·期末）在三棱柱中，與相交于點，，，，，則線段的長度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱柱中各線段的位置關(guān)系用、、表示出，再應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運算律求的模長，從而得解．【詳解】如下圖所示：因為，，，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，，同理可得，由題意可知，四邊形是平行四邊形，，，，故，則線段的長度為．故選：C．4．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測）在直棱柱中，，且，N是棱上的一點，且滿足，則的最小值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】設(shè)，，，將向量分別用表示，代入，利用向量數(shù)量積的運算律化簡，求得，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最小值.【詳解】

設(shè)，，，則，，由，因，，則，代入整理得，，顯然，故，因，故當(dāng)時，取得最大值，此時取得最小值為36，故的最小值為為6.故選：B.二、填空題5．（24-25高二下·上海·月考）已知，設(shè)點、在平面上的射影分別為、，則.【答案】【分析】由題意可得，結(jié)合空間向量的幾何意義計算即可求解.【詳解】因為點在平面上的射影分別為，所以，則，所以.故答案為：6．（24-25高二上·福建廈門·月考）已知向量，則.【答案】3或【分析】先利用向量的線性坐標(biāo)運算求出的坐標(biāo)，再求出，然后求出即可.【詳解】，所以，解得或，故答案為：3或7．（24-25高二下·上海閔行·期末）、、是空間向量，其中，與、的夾角都是，且，，．則．【答案】【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義及運算，即可求解.【詳解】因為，與、的夾角都是，且，，，則，，，則，所以，故答案為：.8．（24-25高二下·湖北·月考）在棱長為的正四面體中，、分別是、的中點，則．【答案】【分析】將用基底表示，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】連接，如下圖所示：由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，，所以，.故答案為：.9．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空間相互垂直的單位向量，且，，則的最小值是.【答案】4【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量線性運算，不等式思想即可求解．【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設(shè)，，設(shè)，又，，又，，，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．10．（24-25高二下·江蘇常州·期中）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為1的正方形，且，點是線段上異于的點，當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為．【答案】【分析】以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，由向量共線定理可求得點坐標(biāo)，因為為鈍角，而三點不共線，故，由此可解出的取值范圍.【詳解】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，則，故，所以，則，因為為鈍角，而三點不共線，故，解得，即的取值范圍為.故答案為：.類型五、空間向量的夾角及參數(shù)、最值問題求兩個非零向量夾角的兩種途徑（1）轉(zhuǎn)化求角:把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對應(yīng)角,利用解三角形的知識求解.（2）利用數(shù)量積求異面直線夾角的余弦值.（3）異面直線AB,CD的夾角α∈(0,π2],而<AB→,CD→>∈[0,π],故α=<AB→,CD→一、單選題1．（24-25高二上·廣東陽江·月考）若，，與的夾角為120°，則的值為（

）A．17 B． C． D．1【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量夾角公式得到方程，求出或.【詳解】由題意得，即，化簡得，解得或故選：AC2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空間向量，，若與的夾角是銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用夾角是銳角的向量關(guān)系計算即可.【詳解】因為空間向量，，若與的夾角是銳角，則且不成立，所以或.故選：C.3．（24-25高二上·北京·月考）在正方體中，，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出相關(guān)圖象，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解直線與直線夾角的余弦值，即可求解.【詳解】由題意作出相關(guān)圖象，如下圖，以點D為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，

則，，，，連接，易得與相似，又由正方體性質(zhì)，所以，從而可得，故，，所以，設(shè)直線與直線夾角為，則，故A正確.故選：A.4．（2025·山東棗莊·二模）已知三棱柱的各條棱長相等，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算求，即可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)棱長為2，由題意可知：，因為，則，即，且，可得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.5．（24-25高二下·安徽·月考）設(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角等于，則向量夾角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由題意結(jié)合向量數(shù)量積定義和模長坐標(biāo)計算公式得到和，再結(jié)合向量夾角余弦公式即可計算求解.【詳解】因為空間兩個單位向量與向量的夾角等于，所以，所以，結(jié)合得則向量夾角的余弦值為.故選：D.6．（24-25高二上·浙江寧波·期末）已知在棱長為1的正四面體中，，，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，向量、、表示和，再利用數(shù)量積的運算律及夾角公式計算可得.【詳解】設(shè)，因為，，所以，，所以，，，設(shè)向量與的夾角為，則∴直線和夾角的余弦值為．故選：D7．（24-25高二下·江蘇常州·期中）已知動點是棱長為1的正方體的對角線上一點，記，當(dāng)為鈍角時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，由為鈍角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，則，因為，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：C類型六、垂直、投影向量及參數(shù)問題（1）兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）（2）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件;已知兩向量平行或垂直求參數(shù)的值,則利用平行或垂直的充要條件,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,列方程(組)求解.（3）在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．一、單選題1．（24-25高二下·江蘇常州·月考）向量，，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的關(guān)系列式求解，的值，再運用向量的數(shù)乘及加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模公式計算得出結(jié)果.【詳解】由，，則，解得，，，，.故選：C.2．（24-25高二下·江蘇·期中）已知向量，當(dāng)時，向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求，再由投影向量的計算公式即可求解.【詳解】向量，，，所以，解得，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.3．（23-24高二上·寧夏銀川·月考）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為，運算即可得解.【詳解】由題意，，，，則空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為.所以所求投影向量的模長為2.故選：A4．（24-25高二下·江蘇宿遷·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，向量（）在面上的投影向量為，在向量上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．與t有關(guān)【答案】A【分析】首先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式求出其夾角即可.【詳解】因為向量在面上的投影向量為，則.因為在向量上的投影向量為，則.所以.所以向量的夾角為.故選：A.5．（24-25高二上·寧夏銀川·月考）如圖，正四棱臺中，，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點坐標(biāo)，再利用投影向量公式求解即可.【詳解】設(shè)正四棱臺的高為，所以四邊形，是正方形，設(shè)其中心分別為，連接，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，且作，由勾股定理得，所以，由題意得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故，得到，而，所以，，所以，由投影向量公式得在上的投影向量為，故A正確.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，再利用投影向量公式得到所要求的投影向量即可．二、填空題6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知為單位向量.，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)模與向量的關(guān)系求出的值，再根據(jù)在上的投影向量公式求出答案即可.【詳解】，由題可得：，可得，則在上的投影向量為.故答案為：.7．（23-24高二上·廣東佛山·月考）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是

.

【答案】【分析】由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解【詳解】在中，由余弦定理得，，而平面ABC，，故，，在中，，即，得故向量在向量上的投影向量是故答案為：8．（24-25高二下·湖南長沙·期中）如圖，棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，動點滿足，若，則．【答案】【分析】以為原點建系，分別計算的坐標(biāo)，利用即可求出.【詳解】以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則，得，因，則，解得．故答案為：類型七、證明平行、共面、垂直問題(1)合理選擇基底,使其能方便表示有關(guān)向量,并能進行運算,特別是數(shù)量積運算.(2)當(dāng)直接證明線線垂直但條件不易利用時,常?？紤]證明兩線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零.利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過向量的運算以及數(shù)量積和垂直條件來完成位置關(guān)系的判定.(3)證明直線與直線平行一般轉(zhuǎn)化為向量共線問題,利用向量共線的充要條件證明.一、解答題1．（24-25高二上·廣東中山·期中）如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．證明：平面．【答案】證明見解析【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)表示，利用，可證直線EF垂直于CD、，再利用線面垂直的判定定理證明．【詳解】如圖以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∵E，F(xiàn)分別為AB，的中點，∴，，，，∵，，∴，又，平面，平面．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知平行六面體，分別是棱和的中點，求證：四點共面．【答案】證明見解析【分析】取，，，由向量的線性運算得與、共面可得答案.【詳解】取，，，則所以與共面，又，，所以與、共面，所以四點共面．3．（24-25高二上·陜西漢中·月考）如圖，在矩形中，，，矩形所在平面外一點滿足平面，、分別是、的中點，且．請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后證明：(1)；(2)，，共面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示直線的方向向量，根據(jù)方向向量的位置關(guān)系證明直線間的位置關(guān)系；（2）利用坐標(biāo)法表示各向量，結(jié)合平面向量基本定理可得證.【詳解】（1）如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由、分別是、的中點，則，，，，，，即；（2）由（1）中建立的空間直角坐標(biāo)系得，，，，，，又，，，，共面．4．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，.用向量方法證明：平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，求得，，再結(jié)合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面.【詳解】因為在上，且，所以.同理.所以，又與不共線，則共面，又平面，得平面.5．（24-25高二上·浙江溫州·期末）如圖，在平行六面體中，，.(1)求的長；(2)求證：直線平面.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，再平方即可得到答案；（2）根據(jù)，，可得，，再利用線面垂直的判定即可證明.【詳解】（1），可得所以；（2），，，所以，所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面.6．（24-25高二上·河南商丘·期中）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，平面，，且，，.(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)證明：，，，四點共面.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點坐標(biāo)，得到方向向量，借助向量夾角余弦值公式計算即可；（2）借助向量法，運用空間向量共面的基本定理驗證即可.【詳解】（1）連接，因為四邊形為菱形，又，所以為等邊三角形，取的中點E，連接，則，所以.因為平面，平面平面，所以以A為原點，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則由，可知所以于是故直線與直線所成角的余弦值為（2）因為，所以分別為中點，則連接，則，，設(shè)，由（1）知，則，則，解得，所以，故M，C，G，H四點共面.7．（24-25高二下·上海寶山·月考）如圖所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件可以構(gòu)造空間向量，利用空間向量的數(shù)量積為0得到垂直關(guān)系；（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知，要使平面，只需且，根據(jù)數(shù)量積的定義可知需證明，，結(jié)合向量的加減運算和數(shù)量積的定義，即可求出與的關(guān)系；【詳解】（1）證明：設(shè)，，，則，底面是菱形，有，則，∴，即.（2）要使平面，只需且.欲使，則可證明，即，也就是，即，由于，顯然當(dāng)時，上式成立.同理可得，當(dāng)時，.因此，當(dāng)時，能使平面.一、單選題1．（24-25高二上·山東淄博·期末）設(shè)，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運用向量的數(shù)乘及加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模計算得出結(jié)果.【詳解】因為，∴，解得∴，∴故選：C．2．（23-24高二上·廣東東莞·月考）如圖，已知正方體中，點為上底面的中心，若，則（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，求出，得到答案.【詳解】正方體中，點為上底面的中心，所以，故，因為，所以，.故選：B.3．（24-25高二上·河南·期中）在四面體中，為棱的中點，為線段的中點，若，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】如圖，，又，所以，則.故選：C4．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數(shù)）是平行向量，則的值為（

）A．16 B．-13 C．3 D．-3【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，列出方程組，求解即可.【詳解】因為是不共面的空間向量且，故，則，解得，所以.故選：C.5．（24-25高二上·山東·期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共面向量定理判斷．【詳解】A選項，，共面；B選項，，共面；C選項，若存在，使得，則共面，與已知矛盾，所以假設(shè)錯，不共面．D選項，，共面．故選：C．6．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則得到，再由空間共面定理的推論得到方程，解得即可.【詳解】因為，所以，即，又點M是平面內(nèi)一點，所以，解得.故選：B7．（24-25高二上·江蘇無錫·期中）設(shè)為空間的一個基底，，，，若，，共面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共面定理列方程，解方程組即可.【詳解】由已知，，共面，則可設(shè)，即，即，解得，故選：D.8．（23-24高二上·貴州·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，為空間一點，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．當(dāng)時，點在棱上B．當(dāng)時，點在線段上C．當(dāng)時，點在棱上D．當(dāng)時，點在線段上【答案】B【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可.【詳解】對于，當(dāng)時，，，所以，則點在棱上，故正確；對于，當(dāng)時，，，即，即所以點在線段上，故錯誤；對于，當(dāng)時，，，所以，所以，即，所以點在棱上，故正確；對于，當(dāng)時，所以，，所以，即，即，所以點在線段上，故正確．故選：．9．（24-25高二下·浙江·月考）在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點，且.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運算可求得，可判斷AB；，可判斷C；由，可得，進而計算可得，可判斷D.【詳解】，故AB錯誤；因為，所以，所以不一定等于，故C錯誤；因為，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：D.10．（24-25高二下·甘肅蘭州·期中）設(shè)正四面體的棱長為，，分別是，的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義與運算，即可求得的值，得到答案.【詳解】如圖所示，因為分別為的中點，可得，，又因為四面體為正四面體，且棱長為，可得.故選：D.11．（24-25高二上·河南許昌·月考）已知是空間的一個單位正交基底，，則空間向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式計算即可.【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，所以，，則，，所以空間向量在方向上的投影向量為，故選：D12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】兩個向量夾角為鈍角則兩個向量數(shù)量積為負數(shù)，但是兩個向量反向時夾角為不是鈍角，要排除.【詳解】由題意可知：，∴，又∵時，即時，共線，∴，∴.故選：A13．（24-25高二上·廣東陽江·月考）如圖所示，在正方體中，為的中點，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的運算及投影向量的定義求解即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，，，，則，，∵，，∴，∴向量在向量上的投影向量是.故選：D．14．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知為原點，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用坐標(biāo)計算，最后求一元二次函數(shù)的最小值.【詳解】因點在直線上運動，則設(shè)，于是有，因此，，于是得則當(dāng)時，，此時，點故選：A15．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上（不含端點），，當(dāng)為直角時，的值是（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】用表示，再根據(jù)它們的數(shù)量積為零可求的值.【詳解】由題設(shè)有，故，而，同理，，因為為直角，故，故，故，故（舍）或，故選：D.16．（24-25高二上·福建莆田·月考）在棱長為2的正四面體中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，是的重心，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．在上的投影向量為 D．【答案】D【分析】A選項，證明出⊥，⊥，得到線面垂直，從而得到⊥，故；B選項，，故利用向量數(shù)量積公式得到；C選項，由B選項得，利用空間向量投影向量公式得到答案；D選項，由空間向量基本定理得到.【詳解】A選項，因為是等邊的中心，所以⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，故，A正確；B選項，，故，B正確；C選項，由B選項得，故在上的投影向量為，C正確；D選項，，D錯誤.故選：D17．（2025·山西·一模）如圖，直三棱柱中，，點P為側(cè)面上的任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取AB中點為原點O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，進而可求解；【詳解】如圖取AB中點為原點O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，，，，，，當(dāng)，且或時，取最大值4，當(dāng)，且時，取最小值2，所以的取值范圍為．故選：C18．（24-25高二上·安徽·期末）已知O為正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，若將正方形ABCD沿對角線BD翻折，使得二面角的大小為，則此時的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用向量夾角求法及數(shù)量積的運算律求.【詳解】翻折后如圖所示，易知，，結(jié)合已知有，，，，易知，，設(shè)正方形邊長為2，所以，，所以的值為故選：D19．（24-25高二上·河南周口·月考）如圖，在長方體中，，，為棱的中點，是線段上的動點，則下列式子的值為定值的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算的長度，得到，接著利用向量數(shù)量積的幾何意義：等于在上的投影向量與的數(shù)量積，逐一分析選項ABCD即可得解.【詳解】由題意得，，∴，∴.A.如圖，過點作于點，對于A，由向量數(shù)量積的幾何意義得，由于點是動點，所以不是定值，所以不是定值，故選項A錯誤；對于B，，由于點是動點，所以不是定值，所以不是定值，故選項B錯誤；對于C，，由于不是定值，故選項C錯誤；對于D，由于向量在向量上的投影向量為，所以為定值.故選：D.20．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空間四邊形的四個頂點，，，的坐標(biāo)分別為，，，，若為平面上的一個動點，則當(dāng)，且，的夾角取得最小值時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用空間向量求直線與平面的夾角，可知，結(jié)合向量運算求模長.【詳解】由題意可得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面的夾角為，則，由題意可知：，則，且，所以．故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：直線與平面內(nèi)任一條直線的夾角的最小值即為直線與平面的夾角.21．（24-25高二下·福建廈門·月考）在平行六面體中，且，，若，，則棱的最大值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)，，，利用空間向量基本定理有，進而可得，利用判別式即可求解.【詳解】設(shè)，，，則有，由，，所以，，所以，即，所以，整理得，所以，則，解得，則棱的最大值為4.故選：D.二、多選題22．（24-25高二上·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知，.若，則與的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】依題意利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，解方程即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，有且，得，解得，；即可得，解得或；因此與的值可以是或.故選：AB23．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）(多選)已知向量，，，則的值為（

）A．2 B．C．3 D．【答案】BC【分析】由向量坐標(biāo)，寫出坐標(biāo)，由向量模長公式建立等式，求得的值.【詳解】∵，，∴.∵，∴.∴，解得或.故選：BC.24．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)各項中向量之間的線性關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.【詳解】A：，如下圖，，

由的關(guān)系不定，則不一定在面上，滿足；B：，如下圖，此時滿足上式，

此時，M與A，B，C不共面，滿足；C：因為，所以，所以M，A，B，C共面，不滿足.D：，如下圖，

此時，M與A，B，C不共面，滿足；故選：ABD25．（24-25高二下·廣東·月考）平行六面體的各棱長為1，且分別為，，，中點．若兩兩垂直，則（）A． B．C． D．四面體的體積為【答案】ACD【分析】設(shè)，，，用，，表示，，，由向量的線性運算及數(shù)量積的定義即可判斷，，，由錐體的體積公式即可判斷.【詳解】設(shè)，，，因為平行六面體的棱長為1，所以，因為分別為，，，中點，所以，，，因為兩兩垂直，所以，，，因為，所以，所以，故正確；因為，所以，所以，故錯誤；因為，所以，所以，故正確；因為，，，平面，平面，所以平面，，，所以，所以是直角三角形，面積為，所以四面體的體積為，故正確.故選：.26．（24-25高二上·貴州黔東南·開學(xué)考試）如圖，平行六面體的所有棱長均為2，，，兩兩所成夾角均為，點，分別在棱，上，且，，則（

）A．，，，四點共面B．在方向上的投影向量為C．D．直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【分析】在上取點，使得，可得四邊形、四邊形為平行四邊形，求出，可判斷A；對兩邊平方求出，再由投影向量的定義可判斷B；由的線性運算后再平方可判斷C；由向量的夾角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，在上取點，使得，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，可得，，，四點共面，故A正確；對于B，因為平行六面體棱長均為2，、、兩兩所成夾角均為，所以，則，則，，故B正確；對于C，，，則，故C不正確；對于D，故，故直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求向量模長解題的關(guān)鍵點是先對所求向量進行線性運算，再平方計算.三、填空題27．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)，是空間兩個不共線的向量，已知，，，且A，B，D三點共線，則．【答案】【分析】根據(jù)A，B，D三點共線可得，即可得到關(guān)于的方程組，即可解出．【詳解】因為，，則，又，而A，B，D三點共線，所以存在，使得，即，所以，解得．故答案為：．28．（24-25高二上·吉林·月考）已知向量，，，當(dāng)時，向量在向量上的投影向量為．（用坐標(biāo)表示）【答案】【分析】先根據(jù)向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.【詳解】因為，所以，所以．因為，所以在上的投影向量為．故答案為：29．（24-25高二下·甘肅張掖·期中）若，，為空間兩兩夾角都是120°的三個單位向量，則.【答案】3【分析】