“皖南八?！?025—2026學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)

題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第三章3.1.1.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

2,23,2

1.已知直線l過點(diǎn)和，則直線l在x軸上的截距為（）

11

A.2B.2C.D.

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式得直線方程，令y0，解出x即可求解.

y2x2

【詳解】根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式公式可得，化簡(jiǎn)可得4x5y20，

2232

11

令y0，可知4x20，解得x，所以直線l在x軸上的截距為.

22

故選：D.

2.若A，B，C，D為空間中不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定等于零向量的是（）

A.ABBCCAB.ABDABD

C.AB2BC2CDDCD.ABCBCDAD

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A，ABBCCA0，故A不符合題意；

對(duì)于B，ABDABDDAABBDDBBD0，故B不符合題意；

第1頁共20頁

對(duì)于C，AB2BC2CDDCABBCBCCDCDDCACBD，結(jié)果不一定為零

向量，故C符合題意；

對(duì)于D，ABCBCDADABADCDCBDBBD0，故D不符合題意.

故選：C.

22221

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Px,y，滿足條件x1yx1ytt0，則點(diǎn)P

t

的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.射線D.橢圓或線段

【答案】D

【解析】

【分析】利用橢圓的定義、基本不等式判斷即可.

11

【詳解】因?yàn)閠0，所以t2t2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)等號(hào)成立，

tt

221

又x1y2x1y2tt0，

t

令、，則22，22，

F11,0F21,0x1yPF2x1yPF1

1

即PFPFtt0，

12t

當(dāng)t1時(shí)，PF1PF22，而F1F22，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；

當(dāng)t0且t1時(shí)，PF1PF22F1F2，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓.

綜上所述，點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓或線段F1F2.

故選：D.

4.已知直線l1：4x3y20，l2：m2xm1y5m10，當(dāng)l1//l2時(shí)，兩直線l1，l2之間的

距離為（）

A.5B.3C.5D.2

【答案】B

【解析】

【分析】由兩直線平行列方程求m，根據(jù)平行直線間距離公式求解即可.

m2m15m1

【詳解】當(dāng)l∥l時(shí)，則滿足，解得m10，

12432

第2頁共20頁

此時(shí)l1：4x3y20，l2：4x3y170，

217

則兩直線間的距離為3.

4232

故選：B.

5.若方程x2y24x2ay3a2a10表示圓，且圓心在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

1133

A.,0B.0,C.,0D.0,

2222

【答案】D

【解析】

【分析】將圓的一般式整理為標(biāo)準(zhǔn)式，寫出圓的圓心以及半徑，根據(jù)題意，建立不等式組，可得答案.

22

【詳解】由x2y24x2ay3a2a10，化簡(jiǎn)可得x2ya2a2a3，

a0a0

因?yàn)閳A心在第二象限，則，所以，

22

2aa302aa3a12a30

33

解得0a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,.

22

故選：D.

6.在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA2BC，E為CD的中點(diǎn)，

則異面直線BE與PC所成角的余弦值為（）

301535

A.B.C.D.

30151530

【答案】A

【解析】

【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC2，則可寫出BE和PC的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

求出夾角的余弦值，即可得解.

【詳解】因?yàn)镻A底面ABCD，底面ABCD為正方形，所以PA,AB,AD兩兩垂直，

如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB,AD,AP所在方向分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

第3頁共20頁

設(shè)BC2，則PA2BC4，所以B2,0,0,E1,2,0,P0,0,4,C2,2,0,

則BE1,2,0,PC2,2,4，

BEPC2430

設(shè)異面直線BE與PC所成角為，則cos.

BEPC52630

故選:A.

7.已知曲線C：y16x2，則“4m4”是“直線yxm與曲線C有且僅有1個(gè)交點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行討論即可.

【詳解】曲線y16x2表示圓心0,0，半徑為4的圓的上半部分（包括與x軸的交點(diǎn)），

直線yxm的斜率為1，在y軸上的截距為m，

當(dāng)直線yxm與曲線y16x2恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

該直線與曲線相切或有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

m

相切時(shí)，圓心0,0到直線yxm距離等于4，則4，

2

即m42或m42（舍去，因?yàn)楫?dāng)m42時(shí)與下半部分相切，不符合題意）；

由圖象可知，有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，4m4；

綜上可知，當(dāng)直線yxm與曲線y16x2恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，4m4或m42；

所以“4m4”是“直線yxm與曲線y16x2恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件.

第4頁共20頁

故選：A.

8.已知空間向量OA1,0,0，OB0,1,0，OC0,0,1，向量OPxOAyOBzOC，且

x2y4z4，則OP的最小值為（）

23421177

A.B.C.D.

32143

【答案】B

【解析】

xy

【分析】設(shè)OD4OA4,0,0，OE2OB0,2,0，由z1及已知得D，E，C，P四

42

點(diǎn)共面，當(dāng)OP平面DEC時(shí)，OP有最小值，求出平面DEC的一個(gè)法向量，應(yīng)用點(diǎn)面距的向量求法求

OP的最小值.

【詳解】設(shè)OD4OA4,0,0，OE2OB0,2,0，

xyxy

因?yàn)閤2y4z4，則z1，則OPxOAyOBzOCODOEzOC，

4242

所以D，E，C，P四點(diǎn)共面，當(dāng)OP平面DEC時(shí)，OP有最小值.

由CD(4,0,1)，CE(0,2,1)，若平面DEC的一個(gè)法向量ma,b,c，

mCD4ac0

則，

mCE2bc0

取a1，則b2,c4，

所以m1,2,4為平面DEC的一個(gè)法向量，

mOC421

所以O(shè)到平面DEC的距離d.

m21

故選：B

第5頁共20頁

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

y2

9.已知曲線C：x21，則下列結(jié)論正確的有（）

m

A.若0m1，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.若m1，則C是圓

C.若m2，則C的焦點(diǎn)為1,0和1,0D.若m2，則C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.

【詳解】對(duì)于A，若0m1，則C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B，若m1，則曲線C：x2y21，所以C是圓，故B正確；

y2

對(duì)于C，若m2，則C：x21，為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，焦點(diǎn)為0,1和0,1，故C錯(cuò)誤；

2

y2

對(duì)于D，若m2，則C：x21，所以C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，故D正確.

2

故選：ABD.

22

10.已知直線l：xcosysin10，圓C：xcosysin1，其中0,π，則下列

說法正確的是（）

A.直線l與圓C相離

π

B.當(dāng)時(shí)，直線l的斜率不存在

2

C.若點(diǎn)Qx,y為圓C上任意一點(diǎn)，則x2y2的最大值為2

D.過直線l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，PA的最小值為3

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷A；根據(jù)直線方程即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合兩

點(diǎn)間距離即可判斷C；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知當(dāng)PCl時(shí)，PC取得最小值，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A，

圓C的圓心為Ccos,sin，半徑為1，

第6頁共20頁

cos2sin21

所以圓心Ccos,sin到直線l：xcosysin10的距離d21，

cos2sin2

所以直線l與圓C相離，故A正確；

對(duì)于B，

π

當(dāng)時(shí)，l:y10，斜率為0，故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C，

因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，所以，

OCOQmax2r2

所以x2y2的最大值為4，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，

2

因?yàn)镻APC1，所以當(dāng)PC最小時(shí)，PA取得最小值，

當(dāng)時(shí)，由知,PC的最小值為，所以，故正確

PClA2PAmin3D.

故選：AD.

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱BB1上移動(dòng)，BPt0t2．過點(diǎn)P作平面

垂直于空間對(duì)角線AC1，設(shè)平面與正方體的截面為多邊形．記截面多邊形的重心為G，面積為S，邊數(shù)

為N．當(dāng)t從0到2連續(xù)變化時(shí)，下列說法正確的是：（）

3

A.平面與平面ABCD的夾角余弦值是；

3

B.S的取值范圍是23,33；

C.N的值可能是5；

23

D.點(diǎn)G的軌跡的長(zhǎng)度為.

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A,通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求平面與平面ABCD的夾角余弦值；B,當(dāng)t從0到

2連續(xù)變化時(shí)，找到當(dāng)t0或t2時(shí)，截面為正三角形A1DB的面積最?。划?dāng)t1時(shí)，截面為正六邊形

PP1P2P3P4P5的面積最大，再求出最小面積和最大面積即可；C,當(dāng)t從0到2連續(xù)變化時(shí)，通過觀察分析得

到答案；D,當(dāng)t從0到2連續(xù)變化時(shí)，首先通過觀察分析找到點(diǎn)G的軌跡是正三角形A1DB的重心到正三角

第7頁共20頁

形D1CB1的重心的線段，再利用等體積法等求出這段線段的長(zhǎng)度.

【詳解】

如圖（1），以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

正方體的棱長(zhǎng)為，，，

2A(2,0,0)C1(0,2,2),AC1(2,2,2)

對(duì)于選項(xiàng)：平面，平面的一個(gè)法向量為，，平面

AAC1AC1(2,2,2)AC123ABCD

的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，n1，設(shè)平面與平面ABCD的夾角為，

ACn23

1，

coscosAC1,n

AC1n233

選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)或時(shí)，如圖（），截面為正三角形，且，

Bt0t22A1DBA1DDB22

11

SADDBsin60222223為最小值；

212

第8頁共20頁

11

當(dāng)t1時(shí)，截面為正六邊形PPPPPP，如圖（3），PPAB=222，

123451212

1

S6S6(PP)2sin6033為最大值，選項(xiàng)B正確；

PP1G21

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)t從0到2連續(xù)變化時(shí)，截面多邊形的邊數(shù)可能是三角形，四邊形，六邊形，但是不能是五

邊形，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：重心G的軌跡是正三角形A1DB的重心到正三角形D1CB1的重心的線段，

設(shè)正三角形A1DB的重心為G1，正三角形D1CB1的重心為G2，

11

VSAGSAA，SADBAG1SADBAA1，

AA1DB3A1DB13ADB11

1

，23，，正三角形的重心到正三角形

23AG1222AGAC123A1DBD1CB1

213

2323

的重心的線段長(zhǎng)度為GGAC2AG232，選項(xiàng)D正確.

121133

故選：ABD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a(2,1,0)，b(2,1,3)，則2ab____________.

【答案】4

【解析】

【分析】首先求出2ab的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】由于a(2,1,0)，b(2,1,3)，則2ab22,1,02,1,3(2,3,3)，

2

22

于是2ab2334.

故答案為：4

13.若不同的兩點(diǎn)Aa1,b1與點(diǎn)Bb,a關(guān)于直線l對(duì)稱，則l的傾斜角為______．

【答案】45

【解析】

【詳解】設(shè)直線l的斜率為kl，傾斜角為，直線AB的斜率為kAB，

ab1

因?yàn)閗AB1，由題意知ABl．

ba1

第9頁共20頁

所以kltan1，即45．

故答案為：45.

14.若過圓C:x2y26x0內(nèi)不同于圓心的點(diǎn)P恰好可以作5條長(zhǎng)度為正整數(shù)的弦，則符合條件的點(diǎn)P構(gòu)

成的區(qū)域的面積為__________．

7

【答案】π

4

【解析】

【分析】根據(jù)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)和最短弦長(zhǎng)得到過點(diǎn)P的最短弦長(zhǎng)的取值范圍，從而得到點(diǎn)P與圓心C

之間距離的取值范圍，得到符合條件的點(diǎn)P的區(qū)域，進(jìn)而得到面積.

2

【詳解】由x2y26x0得x3y29，所以圓C的圓心為C3,0，半徑r3，

因?yàn)橹睆绞亲铋L(zhǎng)的弦，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，過點(diǎn)P的弦中，直徑是最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)度為2r6，

以下分析過點(diǎn)P的最短的弦，

由垂徑定理知，AB2r2d229d2，其中d為圓心C到弦AB的距離，

要使得AB最短，則d最大，

由圖可知，dCP，當(dāng)CP弦AB時(shí)取到等號(hào)，所以當(dāng)CP弦AB時(shí)，d最大，弦長(zhǎng)AB最短，

根據(jù)圓的對(duì)稱性，這5條長(zhǎng)度為正整數(shù)的弦長(zhǎng)度分別是4,5,6,5,4，

要使得有兩條長(zhǎng)度為4的弦，則最短弦長(zhǎng)小于4，要使得沒有長(zhǎng)度為3的弦，則最短弦長(zhǎng)大于3，

因此，過點(diǎn)P的最短的弦長(zhǎng)l3,4，

第10頁共20頁

222

2l222ll27

因?yàn)橄议L(zhǎng)最短時(shí)CP弦AB，所以|CP|r，|CP|r95,，

2244

33

CP5,，

2

33

所以點(diǎn)P落在以C3,0為圓心，半徑分別為5和的圓所夾的圓環(huán)內(nèi)，

2

2

3327

所以該區(qū)域的面積為π5π，

24

7

故答案為：π

4

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

22

已知橢圓：xy（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，兩點(diǎn)在

15.E1ab0F1F2P3,0Q0,5

a2b2

橢圓E上.

（1）求橢圓E的方程；

△

（2）若點(diǎn)Macos,bsin，D1,1，證明：點(diǎn)M在橢圓上，并求DF1F2的周長(zhǎng).

x2y2

【答案】（1）1

95

（2）證明見解析，1024

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出a,b即得.

（2）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程計(jì)算得證；再利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)闄E圓E經(jīng)過P3,0，Q0,5兩點(diǎn)，

所以由橢圓的結(jié)構(gòu)特征可知a3，b5，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，

x2y2

所以橢圓E的方程為1.

95

【小問2詳解】

第11頁共20頁

2

25sin

由點(diǎn)，得3cos22，

M3cos,5sincossin1

95

顯然點(diǎn)M滿足橢圓方程，所以點(diǎn)M在橢圓E上，如下圖：

由橢圓方程可知F12,0，F(xiàn)22,0，

所以DFF的周長(zhǎng)為2222

12DF1DF2F1F221121141024.

22

16.已知圓C：xaybb2（a0，b0）與y軸交于A，B兩點(diǎn)，ACB120°，且OC5.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線yxm和直線yxn將圓C的周長(zhǎng)四等分，求mn的值.

22

【答案】（1）x1y24

（2）4

【解析】

【分析】（1）由OC5可知，a2b25，結(jié)合ACB120°，可知b2a，再聯(lián)立求解即可；

（2）根據(jù)分成四等分，可得圓心到直線的距離，進(jìn)而得到兩平行線的距離即可求解．

【小問1詳解】

22

圓C：xaybb2（a0，b0），

則圓心Ca,b，半徑rb，如圖：過C作CMy軸，

ACB120，MAC30，則ACb2MC2a，

第12頁共20頁

又OC5，則a2b25，

2

OCa2b25

即b2a，

a0,b0

a1

解得，

b2

22

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x1y24．

【小問2詳解】

設(shè)直線yxm和圓C交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線yxn與圓C交于點(diǎn)M，N.

22

因?yàn)橹本€yxm和直線yxn將圓x1y24的周長(zhǎng)四等分，所以圓心位于兩直線之間，

π

連接CE，CF，CM，CN，則ECFMCN，

2

所以△ECF為等腰直角三角形，所以圓心C到直線yxm的距離為2，

同理可得圓心C到直線yxn的距離為2，

故直線yxm和直線yxn間的距離為22，

mn

所以22，即mn4．

2

π

17.如圖所示實(shí)驗(yàn)裝置，由矩形ABCD和ABEF構(gòu)成，且AB4，ADAF3，DAF.活動(dòng)點(diǎn)M，

3

N分別在對(duì)角線BD，AE上移動(dòng)，且ANDM.記AB=a，ADb，AFc，且DMDB，0,1.

第13頁共20頁

（1）用向量a，b，c表示AM，MN.

（2）為何值時(shí)，MN最小，最小值是多少？

2

（3）當(dāng)時(shí)，證明：MN平面ABCD.

3

【答案】（1）AMa1b，MN1bc

13

（2），

22

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）結(jié)合圖形，利用空間向量線性運(yùn)算，即可用向量a，b，c表示AM，MN.；

（2）借助空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即得答案；

（3）由MN平面ABCD等價(jià)于MNAB，MNAD，利用向量數(shù)量積公式計(jì)算即得結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意得，DMDB，ANAE，0,1，

可知AMADABADbaba1b，

則

MNANAMANADDMABAFADABAD

acbab1bc.

【小問2詳解】

π9rrrr

因a4，bc3，bc33cos，abac0，

32

2

292

則MN1bc91219

2

2

11

33，

24

13

則當(dāng)時(shí)，MN有最小值，最小值為.

22

【小問3詳解】

212

當(dāng)時(shí)，MN1bcbc，

333

1212

則MNABbcabaca0，

3333

第14頁共20頁

12122

MNADbcbbcb0，

3333

所以MNAB，MNAD，

因?yàn)锳B，AD平面ABCD，ABADA，AB,AD平面ABCD.，

所以MN平面ABCD.

18.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABACCC11，E是線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)，重合），且滿足，實(shí)數(shù)

B1C1B1EB1C10,1.

1

（1）當(dāng)時(shí)，證明：AE平面EBC；

21

1

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角EABB的余弦值；

311

（3）求四面體EA1BC的外接球半徑的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

6

（2）

3

63

（3）,

32

【解析】

【分析】（1）證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；

（2）先求出兩個(gè)平面的法向量，再利用向量的夾角公式求解；

（3）將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球就是四面體的外接球，結(jié)合E點(diǎn)的位置確定外接球半徑的

取值范圍.

【小問1詳解】

1

由題知在直三棱柱ABCABC中，BB平面ABC，AE平面ABC，所以BBAE，當(dāng)

11111111111112

第15頁共20頁

時(shí)，E為B1C1中點(diǎn)，由題知△A1B1C1為等腰直角三角形，所以A1EB1C1，

又B1C1，BB1平面BCC1B1，B1C1BB1B1，

所以A1E平面BCC1B1，即A1E平面EBC.

【小問2詳解】

在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA1AC，AA1AB，

則以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，以AA1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，

A0,0,0B1,0,0C0,1,0A10,0,1B11,0,1C10,1,1B1C11,1,0

11121

又B1EB1C1,,0，則E,,1，

33333

21

則，，

A1E,,0A1B1,0,1

33

設(shè)平面A1EB的一個(gè)法向量為mx,y,z，

21

mA1Exy0

則33，取z1，則x1，y2，故m1,2,1，

mA1Bxz0

又在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，則AC平面A1BB1，

所以平面A1BB1的一個(gè)法向量為nAC0,1,0，

又二面角EA1BB1的平面角為銳角，則二面角的余弦值為

mn26

cosm,n.

mn14113

【小問3詳解】

第16頁共20頁

設(shè)四面體EA1BC的外接球球心I的坐標(biāo)為x,y,z，半徑為R，

則RIA1IBICIE，

222

故x2y2z1x1y2z2x2y1z2，

則xyz，所以外接球球心I的坐標(biāo)為x,x,x，

222

又E1,,1，代入得R3x22x1x1xx1，

1

即3x22x13x24x2222，則x2，0,1，

2

11

當(dāng)時(shí)，x取得最小值為，

24

21111

當(dāng)0或1時(shí)，，所以x,，

2242

221112

所以R3x2x1，x,，當(dāng)x時(shí)，R2取得最小值為，

4233

12322363

當(dāng)x時(shí)，3x2x1，所以R,，所以R,，

243432

63

所以四面體的外接球半徑的取值范圍為

EA1BC,.

32

19.已知圓O:x2y21點(diǎn)M1,4.

（1）過M作圓O的切線，求切線的方程；

13

（2）過圓O上一點(diǎn)P,作兩條相異直線分別與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA和直線PB的傾

22

斜角互補(bǔ).求證：直線AB的斜率為定值.

（3）已知A2,8，設(shè)P為滿足方程PA2PO2106的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O引切線，切點(diǎn)為B，試

PB2

探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)N，使得為定值?若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；

PN2

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）x10和15x8y170

11417

（2）證明見解析（3）當(dāng)N1,4，定值為；當(dāng)N,，定值為

2171718

第17頁共20頁

【解析】

【分析】（1）根據(jù)斜率是否存在進(jìn)行分類討論，用待定系數(shù)法求得切線方程；

3

（2）根據(jù)題目條件列出方程，利用韋達(dá)定理對(duì)直線AB的斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得定值為；

3

（3）先根據(jù)條件求得動(dòng)點(diǎn)P的方程，在假設(shè)定值存在，列出等式并用P的方程化簡(jiǎn)，最后由多項(xiàng)式相等求

得N的坐標(biāo).

【小問1詳解】

根據(jù)圓的方程可知，圓O的圓心坐標(biāo)為O0,0，半徑為1.

點(diǎn)M距離圓心O的距離1242171，故點(diǎn)M在圓外，過點(diǎn)M的切線有兩條.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線不存在斜率時(shí)，切線方程為x10，

圓心O距此直線的距離為1，與半徑相等.故此直線與圓相切.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線存在時(shí)，設(shè)直線方程為y4kx1，即kxy4k0，

4k15

圓心O距離此直線的距離應(yīng)為1，故1，解得k.

k218

1515

故直線方程為xy40，即15x8y170.

88

所以過點(diǎn)M且與圓O相切的直線方程為：x10和15x8y170.

【小問2詳解】

π

假設(shè)過點(diǎn)P的一條直線傾斜角為，

2

π

由題目條件得另一條直線的傾斜角也為，但過直線外一點(diǎn)做該直線的垂線只有一條，與兩條直線相異矛

2

盾，

故過P的直線不可能垂直于x軸.

由于兩直線的傾斜角互補(bǔ)，因?yàn)閠antanπ，故兩直線的斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線31與圓相交于，兩點(diǎn)，

l1:yk1xPA

22

直線31與圓相交于