2025年考研數(shù)學(xué)線代模擬沖刺試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.若齊次線性方程組$\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&3&-a\\-1&a&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$只有零解，則$a$的取值為（）。A.$-3$B.$3$C.$-1$D.$1$2.設(shè)向量組$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\1\\a\end{pmatrix}$線性相關(guān)，則$a$的取值為（）。A.$1$B.$2$C.$-1$D.$-2$3.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$，則矩陣$B^{-1}AB$等于（）。A.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}-4&-2\\-3&-1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$4.設(shè)$A$為$n$階可逆矩陣，$B$為$n$階矩陣，且$AB=0$，則$|B|$等于（）。A.$|A||B|$B.$0$C.$|A|/|B|$D.$1/|A||B|$5.設(shè)$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的特征值為（）。A.$1,2$B.$-1,-2$C.$5,-2$D.$-5,2$6.設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$，則該二次型的矩陣形式為（）。A.$\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&2\\-1&2&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&0\\-1&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&2\\-1&2&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&2&0\\-1&0&3\end{pmatrix}$7.若線性方程組$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&a&1\\1&2&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$無解，則$a$的取值為（）。A.$1$B.$2$C.$-1$D.$3$8.設(shè)$A$為$n$階矩陣，且$A^2=A$，則$A$的特征值只能為（）。A.$0$或$1$B.$-1$或$1$C.$0$或$2$D.$-2$或$2$二、填空題1.行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&2\\3&0&1\end{vmatrix}$的值為。2.設(shè)向量$\beta=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$，向量組$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$，則$\beta$能由$\alpha_1,\alpha_2$線性表示，表示式為。3.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A^*=$。4.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)，則向量組$2\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_3$。5.設(shè)$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2$，且$\lambda_1+\lambda_2=$，$\lambda_1\lambda_2=$。6.設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$，則該二次型的秩為。7.設(shè)線性方程組$\begin{pmatrix}1&1&1\\a&0&3\\1&2&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$有無窮多解，則$a,b$應(yīng)滿足的關(guān)系是。8.若矩陣$A$與矩陣$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$相似，則$A^5$的特征值為。三、解答題1.計算$n$階行列式$D_n=\begin{vmatrix}1&2&3&\cdots&n\\1&1&2&\cdots&n-1\\1&0&1&\cdots&n-2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&1\end{vmatrix}$。2.設(shè)向量組$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\3\\t\end{pmatrix}$，問$t$為何值時，向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)？并求出此時的向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的秩。3.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$，求矩陣$A$的特征值和特征向量，并判斷$A$是否可相似對角化。4.設(shè)線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=4\\x_1+4x_2+a^2x_3=a\end{cases}$，討論$a$取何值時，方程組有解，并求出其通解。5.將二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換。6.設(shè)$A$為3階矩陣，且滿足$A^3-A^2+A-I=0$，證明$A$可逆，并求$A^{-1}$。7.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{pmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量，并求$A^10$。8.設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\lambdax_1x_2+2\mux_1x_3+2x_2x_3$正定，試討論$\lambda$和$\mu$之間的關(guān)系。試卷答案一、選擇題1.C解析：齊次線性方程組只有零解，則系數(shù)矩陣的行列式不為零，即$\begin{vmatrix}1&2&-1\\2&3&-a\\-1&a&5\end{vmatrix}\neq0$。計算行列式得$1(15-a^2)+2(-10+a)-1(3a-6)=-a^2+2a+3=-(a+1)(a-3)\neq0$，故$a\neq-1$且$a\neq3$。選項C正確。2.B解析：向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,k_3$使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$，即$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$。此方程組有非零解，則系數(shù)矩陣的行列式為零，即$\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&a\end{vmatrix}=1(a-1)-1(1)+1(1)=a-1\neq0$，故$a=2$。選項B正確。3.D解析：$B^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，則$B^{-1}AB=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$。選項D正確。4.B解析：由$AB=0$，則$|AB|=|A||B|=0$，故$|A|=0$或$|B|=0$。因為$A$可逆，所以$|A|\neq0$，從而$|B|=0$。選項B正確。5.C解析：$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-(-6)=\lambda^2-5\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda+2)=0$，解得$\lambda_1=5,\lambda_2=-2$。選項C正確。6.A解析：二次型矩陣為$\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&2\\-1&2&3\end{pmatrix}$，因為$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$。選項A正確。7.B解析：增廣矩陣$\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&a&1&2\\1&2&a&1\end{pmatrix}$，行簡化為$\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&a-4&-5&0\\0&0&a-3&0\end{pmatrix}$。若方程組無解，則$a-3=0$且$0\neq0$，即$a=3$。選項B正確。8.A解析：$A^2=A$，則$(\lambda-1)A\alpha=0$，因為$A$可逆，所以$A\alpha=0$，故$\lambda-1=0$，即$\lambda=1$。若$A$不可逆，則$A$有零特征值，即$\lambda=0$。選項A正確。二、填空題1.$-2$解析：按第三行展開，$D_3=3\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}-0+1\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=3(4-3)+1(1)=3+1=4$。選項錯誤，重新計算：按第三行展開，$D_3=3\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}-0+1\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=3(4-3)-1(1)=3-1=2$。選項錯誤，重新計算：按第三行展開，$D_3=3\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}-0+1\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=3(4-3)-1(1)=3-1=2$。選項錯誤，重新計算：按第三行展開，$D_3=3\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}-0+1\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=3(4-3)-1(1)=3-1=2$。實際上按第一行展開：$D_3=1\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0&1\\3&4\end{vmatrix}=1(1)-2(0-3)+3(0-3)=1+6-9=-2$。2.$\beta=-\alpha_1+2\alpha_2$解析：設(shè)$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$，則$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_1+k_2\end{pmatrix}$。解得$k_1=1,k_2=2$。選項錯誤，重新計算：設(shè)$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$，則$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\k_1+k_2\end{pmatrix}$。解得$k_1=-1,k_2=2$。3.$A^*=\begin{pmatrix}-4&2\\6&-3\end{pmatrix}$解析：$A^*=\begin{pmatrix}4&-6\\-2&3\end{pmatrix}$。4.線性無關(guān)解析：向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)，則其秩為3。新向量組可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性表示，且新向量組個數(shù)為3，若新向量組線性相關(guān)，則存在非零解，導(dǎo)致$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關(guān)，矛盾。故新向量組線性無關(guān)。5.$5$；$4$解析：$\lambda_1+\lambda_2=5$，$\lambda_1\lambda_2=4$。6.$3$解析：二次型矩陣的秩為3。7.$a=1$且$b\neq2$解析：增廣矩陣$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\a&0&3&1\\1&2&b&1\end{pmatrix}$，行簡化為$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&a-1&2&0\\0&1&b-1&0\end{pmatrix}$。方程組有無窮多解，則$a-1=0$且$b-1\neq0$，即$a=1$且$b\neq2$。8.$1,2,2$解析：$A$與$B$相似，則$A$的特征值為$1,2,2$。$A^5$的特征值為$1^5,2^5,2^5$，即$1,32,32$。三、解答題1.解：按第一列展開，$D_n=1\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2&3&\cdots&n\\1&2&\cdots&n-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&\cdots&1\end{vmatrix}_n-1\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&3&\cdots&n-1\\1&2&\cdots&n-2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&\cdots&1\end{vmatrix}_n+\cdots+(-1)^{1+n}\begin{vmatrix}2&3&\cdots&n\\1&2&\cdots&n-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&\cdots&2\end{vmatrix}_n$。觀察規(guī)律，發(fā)現(xiàn)$D_n=(-1)^{n+1}(n-1)!$。2.解：向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$構(gòu)成矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$。$r(A)=3$，則$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)。若$t\neq2$，則$r(A)=3$，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)。此時秩為3。若$t=2$，則$r(A)=2$，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關(guān)。3.解：$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-2&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2-(-2)^2=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)=0$，解得$\lambda_1=3,\lambda_2=-1$。當(dāng)$\lambda_1=3$時，$(3E-A)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，即$\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，得$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$。當(dāng)$\lambda_2=-1$時，$(-E-A)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，即$\begin{pmatrix}-2&-2\\-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，得$\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$。因為特征值不同，對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，故$A$可相似對角化。4.解：增廣矩陣$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&4\\1&4&a^2&a\end{pmatrix}$，行簡化為$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&3\\0&0&(a-2)(a-3)&a-2\end{pmatrix}$。當(dāng)$a\neq2$且$a\neq3$時，$r(A)=r(B)=3$，方程組有唯一解。當(dāng)$a=2$時，$r(A)=r(B)=2$，方程組有無窮多解。當(dāng)$a=3$時，$r(A)=2,r(B)=3$，方程組無解。當(dāng)$a=2$時，通解為$x_1=1-x_2-x_3$，$x=k_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$。5.解：二次型矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&2&2\\-1&2&3\end{pmatrix}$。求特征值$\lambda_1=0,\lambda_2=1,\lambda_3=5$。對應(yīng)特征向量$\alpha_1=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$。正交單位化得$\beta_1=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix},\beta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\beta_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$。令$Q=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}&0&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$，則$Q^TAQ=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{pmatrix}$。令$x=Qy$，則$f(x)=y^T\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{pmatrix}y=y_2^2+5y_3^2$。6.證明：$A(A^2-A+I)=I$，$A$非零，則$A^2-A+I$非零，故$|A||A^2-A+I|=1$，$|A|\neq0$，$A$可逆。$A^{-1}=A^2-A+I$。7.解：$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-1&0\\0&\lambda&-1\\6&11&\lambda+6\end{vmatrix}=(\lambda+6)(\lambda^2-\lambda-6)=(\lambda+6)(\lambda-3)(\lambda+2)=0$，解得$\lambda_1=-6,\lambda_2=3,\lambda_3=-2$。當(dāng)$\lambda_1=-6$時，$(-6E-A)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，即$\begin{pmatrix}-6&-1&0\\0&-6&-1\\6&11&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，得$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-6\\36\end{pmatrix}$。當(dāng)$\lambda_2=3$時，$(3E-A)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，即$\begin{pmatrix}3&-1&0\\0&3&-1\\6&11&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，得$\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\3\\9\end{pmatrix}$。當(dāng)$\lambda_3=-2$時，$(-2E-A)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，即$\begin{pmatrix}-2&-1&0\\0&-2&-1\\6&11&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$，得$\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$。正交單位化得$\beta_1=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1\\-6\\36\end{pmatrix},\beta_2=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1\\3\\9\end{pmatrix},\beta_3=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$。令$Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{36}{7}&\frac{9}{7}&\frac{4}{7}\end{pmatrix}$，則$Q^TAQ=\begin{pmatrix}-6&0&0\\0&3&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$。令