專升本數(shù)學(xué)2025年概率論試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。(A)A與B獨立(B)A與B不獨立(C)A與B互為對立事件(D)A與B可能獨立2.設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)=c(1/2)^k，k=1,2,3,4，則常數(shù)c=（）。(A)15/16(B)16/15(C)1/15(D)153.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={aexp(-|x|),x<0;b(1-x^2),0<=x<=1;0,其他}，則a,b的值分別為（）。(A)a=1,b=3/2(B)a=1,b=2/3(C)a=1/2,b=3(D)a=2,b=1/34.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(1,4)，Y～N(2,9)，則Z=3X-2Y的分布是（）。(A)N(1,13)(B)N(1,40)(C)N(-1,13)(D)N(-1,40)5.設(shè)隨機變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=5，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=（）。(A)2/5(B)5/2(C)1/5(D)-2/5二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案填在題中橫線上。6.設(shè)A,B,C為三個事件，若P(A)=1/2，P(B|=A)=1/4，P(AC)=1/4，P(ABC)=1/8，則P(A|BC)=________。7.設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.5，P(X=2)=k，則E(X)=________。8.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0<=x<=1;0,其他}，則P(X<=0.5)=________。9.設(shè)隨機變量X與Y的期望分別為EX=2，EY=3，方差分別為DX=1，DY=4，且X與Y的協(xié)方差為1，則E(XY)=________。10.設(shè)隨機變量X～N(μ,σ^2)，Y=aX+b，則Y～N(________,a^2σ^2)。三、計算題：本大題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。11.（本小題滿分10分）袋中有5個紅球和3個白球，從中無放回地依次取出兩個球。求：（1）取出的兩個球都是紅球的概率；（2）取出的兩個球顏色不同的概率。12.（本小題滿分10分）設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)={(k+1)/15,k=1,2,3;0,其他。計算X的分布函數(shù)F(x)，并求P(1.5<X<=3)。13.（本小題滿分10分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)={x+y,0<=x<=1,0<=y<=1;0,其他。求：（1）邊緣密度函數(shù)f_X(x)和f_Y(y)；（2）判斷X與Y是否相互獨立。14.（本小題滿分10分）設(shè)隨機變量X～N(0,1)，Y=X^2。求Y的期望E(Y)。15.（本小題滿分10分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(3,4)。求P(2X+Y<=5)的近似值。（要求寫出利用中心極限定理的過程）---試卷答案一、選擇題1.B2.A3.A4.D5.A二、填空題6.1/37.1.18.1/49.710.μ+aβ,a^2σ^2三、計算題11.解：（1）設(shè)A=“取出的兩個球都是紅球”。方法一：利用古典概型。樣本空間Ω包含的基本事件數(shù)為C(8,2)=28。事件A包含的基本事件數(shù)為C(5,2)=10。故P(A)=10/28=5/14。方法二：利用乘法公式。P(A)=P(第一球是紅球)P(第二球是紅球|第一球是紅球)=(5/8)*(4/7)=5/14。（2）設(shè)B=“取出的兩個球顏色不同”。方法一：P(B)=1-P(A)=1-5/14=9/14。方法二：P(B)=P(“第一球是紅球，第二球是白球”)+P(“第一球是白球，第二球是紅球”)=[P(第一球是紅球)P(第二球是白球|第一球是紅球)]+[P(第一球是白球)P(第二球是紅球|第一球是白球)]=[(5/8)*(3/7)]+[(3/8)*(5/7)]=15/56+15/56=30/56=9/14。12.解：由題意，X的可能取值為1,2,3。P(X=1)=2/15,P(X=2)=3/15=1/5,P(X=3)=4/15。X的分布函數(shù)為F(x)。當(dāng)x<1時，F(xiàn)(x)=P(X<=x)=0。當(dāng)1<=x<2時，F(xiàn)(x)=P(X<=1)=P(X=1)=2/15。當(dāng)2<=x<3時，F(xiàn)(x)=P(X<=x)=P(X=1)+P(X=2)=2/15+1/5=1/3。當(dāng)x>=3時，F(xiàn)(x)=P(X<=x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=2/15+1/5+4/15=1。所以，F(xiàn)(x)={0,x<1;2/15,1<=x<2;1/3,2<=x<3;1,x>=3}。P(1.5<X<=3)=F(3)-F(1.5)=1-2/15=13/15。13.解：（1）f_X(x)=∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy={∫_0^1(x+y)dy,0<=x<=1;0,其他。={[xy+y^2/2]_0^1,0<=x<=1;0,其他。={x+1/2,0<=x<=1;0,其他。}f_Y(y)=∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx={∫_0^1(x+y)dx,0<=y<=1;0,其他。={[x^2/2+yx]_0^1,0<=y<=1;0,其他。={1/2+y,0<=y<=1;0,其他。}（2）對于x=1/2(屬于[0,1]區(qū)間)，f_X(1/2)=1/2+1/2=1。此時f_Y(y|x=1/2)={1+y,0<=y<=1;0,其他。f_X(1/2)*f_Y(y|x=1/2)={1+y,0<=y<=1;0,其他?！襙0^1[1+y]dy=[y+y^2/2]_0^1=1+1/2=3/2≠f_X(1/2)=1。因此，X與Y不相互獨立。14.解：方法一：利用期望的線性性質(zhì)。E(Y)=E(X^2)。因為X～N(0,1)，所以X的密度函數(shù)為φ(x)=(1/√(2π))*exp(-x^2/2)。E(X^2)=∫_{-∞}^{+∞}x^2φ(x)dx=∫_{-∞}^{+∞}x^2*(1/√(2π))*exp(-x^2/2)dx。令t=x^2/2，則dt=xdx/2。當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x→±∞時，t→+∞。原式=∫_{-∞}^{+∞}(2t)*(1/√(2π))*exp(-t)dt/2=√(2/π)*∫_{0}^{+∞}t*exp(-t)dt?！襙{0}^{+∞}t*exp(-t)dt=[-exp(-t)*(t+1)]_0^{+∞}+∫_{0}^{+∞}exp(-t)dt=0+[-exp(-t)]_0^{+∞}=0+1=1。所以E(Y)=√(2/π)*1=1。（注：此處利用了X為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時，E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=1+0=1）方法二：Y=X^2，所以Y的取值范圍是[0,+∞)。F_Y(y)=P(Y<=y)=P(X^2<=y)=P(-√y<=X<=√y)(y>0)。f_Y(y)=dF_Y(y)/dy={d/dy[2√y*φ(√y)/(2√y)](y>0);0(y<=0)}={φ(√y)/√y(y>0);0(y<=0)}={(1/√(2π))*exp(-y/2)/√y(y>0);0(y<=0)}。E(Y)=∫_{0}^{+∞}y*f_Y(y)dy=∫_{0}^{+∞}y*(1/√(2π))*exp(-y/2)/√ydy=(1/√(2π))*∫_{0}^{+∞}√y*exp(-y/2)dy。令t=y/2，則y=2t，dy=dt。原式=(1/√(2π))*∫_{0}^{+∞}√(2t)*exp(-t)dt=(1/√(2π))*√2*∫_{0}^{+∞}t^(1/2)*exp(-t)dt?！襙{0}^{+∞}t^(1/2)*exp(-t)dt是Γ(3/2)=(1/2)*√(π)。所以E(Y)=(1/√(2π))*√2*(1/2)*√(π)=1。15.解：由于X與Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(3,4)，則線性組合2X+Y也服從正態(tài)分布。根據(jù)“正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)”，有：2X+Y~N(μ_X*2+μ_Y,σ_X^2*2^2+σ_Y^2)~N