2023年人教版七7年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末解答題綜合復(fù)習(xí)卷一、解答題1．如圖，用兩個(gè)面積為的小正方形紙片剪拼成一個(gè)大的正方形．（1）大正方形的邊長(zhǎng)是________；（2）請(qǐng)你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為，若能，求出這個(gè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，用兩個(gè)邊長(zhǎng)相同的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．（1）如圖2，若正方形紙片的面積為1，則此正方形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為dm．（2）如圖3，若正方形的面積為16，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為12的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)和寬之比為3∶2，他能裁出嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．3．喜歡探究的亮亮同學(xué)拿出形狀分別是長(zhǎng)方形和正方形的兩塊紙片，其中長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為，且兩塊紙片面積相等．（1）亮亮想知道正方形紙片的邊長(zhǎng)，請(qǐng)你幫他求出正方形紙片的邊長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）在長(zhǎng)方形紙片上截出兩個(gè)完整的正方形紙片，面積分別為和，亮亮認(rèn)為兩個(gè)正方形紙片的面積之和小于長(zhǎng)方形紙片的總面積，所以一定能截出符合要求的正方形紙片來(lái)，你同意亮亮的見解嗎？為什么？（參考數(shù)據(jù)：，）4．如圖，陰影部分（正方形）的四個(gè)頂點(diǎn)在5×5的網(wǎng)格格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)求出圖中陰影部分（正方形）的面積和邊長(zhǎng)（2）若邊長(zhǎng)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值．5．小麗想用一塊面積為的正方形紙片，如圖所示，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)是寬的2倍．她不知能否裁得出來(lái)，正在發(fā)愁．小明見了說(shuō)：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說(shuō)法嗎?你認(rèn)為小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎?為什么?二、解答題6．已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．7．如圖，∠EBF＝50°，點(diǎn)C是∠EBF的邊BF上一點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)A從點(diǎn)B出發(fā)在∠EBF的邊BE上，沿BE方向運(yùn)動(dòng)，在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有過(guò)點(diǎn)A的射線AD∥BC．（1）在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（填“是”或“否”）存在某一時(shí)刻，使得AD平分∠EAC？（2）假設(shè)存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之間有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AC⊥BC時(shí)，直接寫出∠BAC的度數(shù)和此時(shí)AD與AC之間的位置關(guān)系．8．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問(wèn)題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線l分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段MN或NM的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)．請(qǐng)直接寫出∠APC、α、B之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P是AB、CD之間的一點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)A、C右側(cè)），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線交于點(diǎn)Q．若∠APC＝116°，請(qǐng)結(jié)合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．9．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．（1）根據(jù)圖1填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°．①如圖2，當(dāng)n＝25°，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，求∠1、∠2的度數(shù)；②當(dāng)0°＜n＜180°時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有n的值和對(duì)應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．直線AB∥CD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，CP．（1）如圖①，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，當(dāng)∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時(shí)，求∠APC的度數(shù)；（2）如圖②，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，點(diǎn)P在直線CD下方，當(dāng)∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP時(shí)，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．三、解答題11．為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交又照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：_________；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前．若射出的光束交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．已知：直線∥，A為直線上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上．D，E為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，連接AD，AE，滿足∠AED＝∠DAE．點(diǎn)M在上，且在點(diǎn)B的左側(cè)．（1）如圖1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接寫出ABM的度數(shù)；（2）射線AF為∠CAD的角平分線．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，用等式表示∠EAF與∠ABD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°時(shí)，直接寫出∠EAF的度數(shù)．13．如圖，已知是直線間的一點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)垂直時(shí)，立刻按原速返回至后停止運(yùn)動(dòng)：射線從出發(fā)，以每秒的速度繞E點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至后停止運(yùn)動(dòng)，若射線，射線同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)間為t秒．①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求t的值．14．如圖1，E點(diǎn)在BC上，∠A＝∠D，AB∥CD．（1）直接寫出∠ACB和∠BED的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，BG平分∠ABE，與∠CDE的鄰補(bǔ)角∠EDF的平分線交于H點(diǎn)．若∠E比∠H大60°，求∠E；（3）保持（2）中所求的∠E不變，如圖3，BM平分∠ABE的鄰補(bǔ)角∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數(shù)是否改變？若不變，請(qǐng)求值；若改變，請(qǐng)說(shuō)理由．15．如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個(gè)三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個(gè)三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（0°旋轉(zhuǎn)360°），問(wèn)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為多少時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，以下兩個(gè)結(jié)論：①為定值；②∠BPN+∠CPD為定值，請(qǐng)選擇你認(rèn)為對(duì)的結(jié)論加以證明．四、解答題16．在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)G重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，則∠AFD＝；若∠B＝40°，則∠AFD＝；②試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)D在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDE的角平分線所在直線與射線AG交于點(diǎn)F試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由17．如圖，平分，平分，請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；如圖，當(dāng)且與的位置關(guān)系保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn)，使，當(dāng)直角頂點(diǎn)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，問(wèn)與否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．如圖，為線段上一定點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)且與的位置關(guān)系保持不變，①當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)除外），與有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．②當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)除外），與有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出猜想結(jié)論，不需說(shuō)明理由．18．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=°；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由.（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：.19．如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（1）求證：∠BED＝90°；（2）如圖2，延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)F為線段EH上一動(dòng)點(diǎn)，∠EDF＝α，∠ABF的角平分線與∠CDF的角平分線DG交于點(diǎn)G，試用含α的式子表示∠BGD的大??；（3）如圖3，延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)F為線段EH上一動(dòng)點(diǎn)，∠EBM的角平分線與∠FDN的角平分線交于點(diǎn)G，探究∠BGD與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：．20．已知ABCD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E的位置如圖1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，則∠F=°；②探究∠F與∠BED的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數(shù)量關(guān)系式是．（3）若點(diǎn)E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且，設(shè)∠F=α，則α的取值范圍為．【參考答案】一、解答題1．（1）4；（2）不能，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)即可；（2）先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm2）列方程，求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)比較大小再解析：（1）4；（2）不能，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)即可；（2）先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm2）列方程，求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)比較大小再判斷即可．【詳解】解：（1）兩個(gè)正方形面積之和為：2×8=16（cm2），∴拼成的大正方形的面積=16（cm2），∴大正方形的邊長(zhǎng)是4cm；故答案為：4；（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為2xcm，寬為xcm，則2x?x=14，解得：，2x=2>4，∴不存在長(zhǎng)寬之比為且面積為的長(zhǎng)方形紙片．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，能夠根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）不能，理由見解析【分析】（1）由正方形面積，可求得正方形邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求出對(duì)角線長(zhǎng)；（2）利用方程思想求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊，然后與正方形邊長(zhǎng)比較大小即可．【詳解】解：解析：（1）；（2）不能，理由見解析【分析】（1）由正方形面積，可求得正方形邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求出對(duì)角線長(zhǎng)；（2）利用方程思想求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊，然后與正方形邊長(zhǎng)比較大小即可．【詳解】解：（1）∵正方形紙片的面積為，∴正方形的邊長(zhǎng)，∴．故答案為：．（2）不能；根據(jù)題意設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和．∴長(zhǎng)方形面積為：，解得：，∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊為．∵，∴他不能裁出．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根在長(zhǎng)方形和正方形面積中的應(yīng)用，靈活的進(jìn)行算術(shù)平方根計(jì)算及無(wú)理數(shù)大小比較是解題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）不同意，理由見解析【分析】（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程，再根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出x的值；（2）根據(jù)兩個(gè)正方形紙片的面積計(jì)算出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算兩個(gè)解析：（1）；（2）不同意，理由見解析【分析】（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程，再根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出x的值；（2）根據(jù)兩個(gè)正方形紙片的面積計(jì)算出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和，并與3比較即可解答．【詳解】解：（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，由算術(shù)平方根的意義可知，所以正方形的邊長(zhǎng)是．（2）不同意．因?yàn)椋簝蓚€(gè)小正方形的面積分別為和，則它們的邊長(zhǎng)分別為和．，即兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和約為，所以，即兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和大于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，所以不能在長(zhǎng)方形紙片上截出兩個(gè)完整的面積分別為和的正方形紙片．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意并熟知算術(shù)平方根的概念．4．（1）S=13，邊長(zhǎng)為；（2）6【詳解】分析：(1)、利用正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積得出陰影部分的面積，從而得出正方形的邊長(zhǎng)；(2)、根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算得出a和b的值，然后得出答案．解析：（1）S=13，邊長(zhǎng)為；（2）6【詳解】分析：(1)、利用正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積得出陰影部分的面積，從而得出正方形的邊長(zhǎng)；(2)、根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算得出a和b的值，然后得出答案．詳解：解：（1）S=25-12=13,邊長(zhǎng)為，(2)a=3，b=-3原式=9+-3-=6．點(diǎn)睛：本題主要考查的就是無(wú)理數(shù)的估算，屬于中等難度的題型．解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是根據(jù)正方形的面積得出邊長(zhǎng)．5．不同意，理由見解析【分析】先求得正方形的邊長(zhǎng)，然后設(shè)設(shè)長(zhǎng)方形寬為，長(zhǎng)為，然后依據(jù)矩形的面積為20列方程求得的值，從而得到矩形的邊長(zhǎng)，從而可作出判斷．【詳解】解：不同意，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，解析：不同意，理由見解析【分析】先求得正方形的邊長(zhǎng)，然后設(shè)設(shè)長(zhǎng)方形寬為，長(zhǎng)為，然后依據(jù)矩形的面積為20列方程求得的值，從而得到矩形的邊長(zhǎng)，從而可作出判斷．【詳解】解：不同意，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，故邊長(zhǎng)為設(shè)長(zhǎng)方形寬為，則長(zhǎng)為長(zhǎng)方形面積∴，解得（負(fù)值舍去）長(zhǎng)為即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)大于正方形的邊長(zhǎng)，所以不能裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片【點(diǎn)睛】本題主要考查的是算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（1）見解析；（2）見解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，∵M(jìn)Q∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵M(jìn)Q∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，即，解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．7．（1）是；（2）∠B＝∠ACB，證明見解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．【分析】（1）要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD解析：（1）是；（2）∠B＝∠ACB，證明見解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．【分析】（1）要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，則當(dāng)∠ACB＝∠B時(shí)，有AD平分∠EAC；（2）根據(jù)角平分線可得∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，則有∠ACB＝∠B；（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，則可求∠BAC＝40°，由平行線的性質(zhì)可得AC⊥AD．【詳解】解：（1）是，理由如下：要使AD平分∠EAC，則要求∠EAD＝∠CAD，由平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，則當(dāng)∠ACB＝∠B時(shí)，有AD平分∠EAC；故答案為：是；（2）∠B＝∠ACB，理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，∴∠B＝∠ACB．（3）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠EBF＝50°，∴∠BAC＝40°，∵AD∥BC，∴AD⊥AC．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線和平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行線的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（1）∠APC=α+β，理由見解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可求解；（2）分點(diǎn)P在線段MN或NM的延長(zhǎng)線解析：（1）∠APC=α+β，理由見解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可求解；（2）分點(diǎn)P在線段MN或NM的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及角的和差即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P，Q分別作PE∥AB，QF∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及角的和差即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=α，∠CPE=β，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．（2）如圖，在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段MN的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AB∥CD，∠PAB=α，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，∴α=∠APC+β，∴∠APC=α-β；如圖，在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段NM的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AB∥CD，∠PCD=β，∴∠2=∠PCD=β，∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，∴β=α+∠APC，∴∠APC=β-α；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作PE∥AB，QF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥QF∥PE∥CD，∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，∵∠APC=116°，∴∠BAP+∠PCD=116°，∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，∴∠BAQ=∠BAP，∠DCQ=∠PCD，∴∠BAQ+∠DCQ=（∠BAP+∠PCD）=58°，∵AB∥QF∥CD，∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，∴∠AQC=58°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，添加輔助線將兩條平行線相關(guān)的角聯(lián)系到一起是解題的關(guān)鍵．9．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見解析【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見解析【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCG，然后根據(jù)周角等于360°計(jì)算即可得到∠2；②結(jié)合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解：（1）∠1=180°-60°=120°，∠2=90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°-n°，∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-（180°-n°）=90°+n°；②當(dāng)n=30°時(shí)，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°+60°=90°，AB⊥DG（EF）；當(dāng)n=90°時(shí)，∠C=∠CBF=90°，∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n=120°時(shí)，∴AB⊥DE（GF）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．10．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由見解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由見解析【分析】（1）先過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根據(jù)∠解析：（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由見解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由見解析【分析】（1）先過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根據(jù)∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，進(jìn)而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，進(jìn)而得到∠AKC＝∠APC；（3）過(guò)K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根據(jù)已知得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，進(jìn)而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠APC．【詳解】（1）如圖1，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝∠APC．理由：如圖2，過(guò)K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，過(guò)P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC；（3）∠AKC＝∠APC理由：如圖3，過(guò)K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，過(guò)P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是作出平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算．三、解答題11．（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不變，∠BAC=2∠BCD【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，解析：（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不變，∠BAC=2∠BCD【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t=1?（30+t），可得t=30；當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)1?（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t-108°，∠BCD=126°-∠BCA=t-54°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【詳解】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，∴∠BAN=180°×=72°，故答案為：72；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?（30+t），解得t=30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?（30+t）+（2t-180）=180，解得t=110，綜上所述，當(dāng)t=30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN=180°-2t，∴∠BAC=72°-（180°-2t）=2t-108°，又∵∠ABC=108°-t，∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=126°，∴∠BCD=126°-∠BCA=126°-（180°-t）=t-54°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．12．（1）；（2）①，見解析；②或【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；（2）①設(shè)，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對(duì)比即可；②分類討論點(diǎn)在的左右兩側(cè)的情況，解析：（1）；（2）①，見解析；②或【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；（2）①設(shè)，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對(duì)比即可；②分類討論點(diǎn)在的左右兩側(cè)的情況，運(yùn)用角的等量代換換算即可．【詳解】．解：（1）設(shè)在上有一點(diǎn)N在點(diǎn)A的右側(cè)，如圖所示：∵∴，∴∴（2）①．證明：設(shè)，．∴．∵為的角平分線，∴．∵，∴．∴．∴．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖：由①得：又∵∴∵∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，在右側(cè)時(shí)，如圖：∵為的角平分線∴∵∴，∵∴∴∵∴又∵∴∴當(dāng)點(diǎn)和在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)在上有一點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)如圖：此時(shí)仍有，∴∴綜合所述：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角的等量代換等，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和角平分線定義等量代換出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）①或；②秒或或秒【分析】（1）通過(guò)延長(zhǎng)作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)外角的性質(zhì)可計(jì)算得到結(jié)果；（2）①當(dāng)時(shí)，分兩種情況，Ⅰ當(dāng)在和之間，Ⅱ當(dāng)在和之間，由，計(jì)算出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間解析：（1）；（2）①或；②秒或或秒【分析】（1）通過(guò)延長(zhǎng)作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)外角的性質(zhì)可計(jì)算得到結(jié)果；（2）①當(dāng)時(shí)，分兩種情況，Ⅰ當(dāng)在和之間，Ⅱ當(dāng)在和之間，由，計(jì)算出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算出，由已知可計(jì)算出的度數(shù)；②根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，分三種情況，Ⅰ射線由逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，，根據(jù)題意可知，，再平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角和定理可列等量關(guān)系，求解即可得出結(jié)論；Ⅱ射線垂直時(shí)，再順時(shí)針向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，根據(jù)題意可知，，，，可計(jì)算射線的轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)，再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)可列等量關(guān)系，即可求出答案；Ⅲ射線垂直時(shí)，再順時(shí)針向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，根據(jù)題意可知，，，根據(jù)（1）中結(jié)論，，，可計(jì)算出與代數(shù)式，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可列等量關(guān)系，求解可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，如圖1，，，，；（2）①Ⅰ如圖2，，，，射線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（秒，射線旋轉(zhuǎn)的角度，又，；Ⅱ如圖3所示，，，，射線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（秒，射線旋轉(zhuǎn)的角度，又，；的度數(shù)為或；②Ⅰ當(dāng)由運(yùn)動(dòng)如圖4時(shí)，與相交于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，經(jīng)過(guò)秒，，，，，又，，解得（秒；Ⅱ當(dāng)運(yùn)動(dòng)到，再由運(yùn)動(dòng)到如圖5時(shí)，與相交于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，經(jīng)過(guò)秒，，，，，運(yùn)動(dòng)的度數(shù)可得，，解得；Ⅲ當(dāng)由運(yùn)動(dòng)如圖6時(shí)，，根據(jù)題意可知，經(jīng)過(guò)秒，，，，，，，又，，，解得（秒），當(dāng)?shù)闹禐槊牖蚧蛎霑r(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，合理添加輔助線和根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形時(shí)解決本題的關(guān)鍵．14．（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，根據(jù)ABCD可得∠DFB=∠D，則∠DFB=∠A，可得ACDF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠A解析：（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，根據(jù)ABCD可得∠DFB=∠D，則∠DFB=∠A，可得ACDF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ACB+∠CEF=180°，由對(duì)頂角相等可得結(jié)論；（2）如圖2，作EMCD，HNCD，根據(jù)ABCD，可得ABEMHNCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得角之間的關(guān)系，再根據(jù)∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度數(shù)；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作ESCD，設(shè)直線DF和直線BP相交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義可求∠PBM的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2，作，，，，，，平分，，，，，，，平分，，，，，設(shè)，，比大，，，解得．的度數(shù)為；（3）的度數(shù)不變，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)直線和直線相交于點(diǎn)，平分，平分，，，，，，，，，由（2）可知：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．15．（1）①90；②t為或或或或或或；（2）①正確，②錯(cuò)誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：從而可得答案；②當(dāng)時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和解析：（1）①90；②t為或或或或或或；（2）①正確，②錯(cuò)誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：從而可得答案；②當(dāng)時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)時(shí)，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)時(shí)的旋轉(zhuǎn)時(shí)間與相同；（2）分兩種情況討論：當(dāng)在上方時(shí)，當(dāng)在下方時(shí)，①分別用含的代數(shù)式表示，從而可得的值；②分別用含的代數(shù)式表示，得到是一個(gè)含的代數(shù)式，從而可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案為90；②如圖1﹣1，當(dāng)BD∥PC時(shí)，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3秒；如圖1﹣2，當(dāng)PC∥BD時(shí)，∵∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為21秒，如圖1﹣3，當(dāng)PA∥BD時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，此時(shí)∠ACP＝∠BPD＝30°，則AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為9秒，如圖1﹣4，當(dāng)PA∥BD時(shí)，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°+180°＝270°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為27秒，如圖1﹣5，當(dāng)AC∥DP時(shí)，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為60°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為6秒，如圖1﹣6，當(dāng)時(shí)，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，如圖1﹣7，當(dāng)AC∥BD時(shí)，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴點(diǎn)A在MN上，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為18秒，當(dāng)時(shí)，如圖1-3，1-4，旋轉(zhuǎn)時(shí)間分別為：，綜上所述：當(dāng)t為或或或或或或時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”；（2）如圖，當(dāng)在上方時(shí)，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．當(dāng)在下方時(shí)，如圖，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝∠APN＝3t．∴∠CPD＝∴②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．綜上：①正確，②錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差倍分關(guān)系，平行線的性質(zhì)與判定，角的動(dòng)態(tài)定義（旋轉(zhuǎn)角）的理解，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．四、解答題16．（1）①115°；110°；②；理由見解析；（2）；理由見解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°，由解析：（1）①115°；110°；②；理由見解析；（2）；理由見解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，則∠B=180°-100°-30°=50°，∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=故答案為：115°；110°；②；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=；（2）如圖2所示：；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C，，，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）詳見解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由詳見解析；（3）詳見解析.【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再解析：（1）詳見解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由詳見解析；（3）詳見解析.【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出結(jié)論；（2）過(guò)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．試題解析：證明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE．∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+∠MCD=90°．證明如下：過(guò)E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：如圖3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：如圖4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出平行線是解答此題的關(guān)鍵．18．（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由見解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，得出∠1+∠2解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由見解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，得出∠1+∠2=∠C+∠α，進(jìn)而得出即可；（2）利用（1）中所求的結(jié)論得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系即可；（3）利用三角外角的性質(zhì)，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．試題分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案為140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案為∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如圖③，設(shè)DP與BE的交點(diǎn)為M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如圖④，設(shè)PE與AC的交點(diǎn)為F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α點(diǎn)睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對(duì)頂角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.19．（1）見解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根據(jù)平行線的性質(zhì)∠ABD+∠BDC＝180°解析：（1）見解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根據(jù)平行線的性質(zhì)∠ABD+∠BDC＝180°，從而根據(jù)∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)G作GP∥AB，根據(jù)AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，從而得到∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根據(jù)∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分線的定義求出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)F、G分別作FM∥AB、GM∥AB，從而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根據(jù)BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝∠FBP＝（180°﹣∠3），∠6＝∠FDQ＝（180°﹣∠5），即可求解.【詳解】解：（1）證明：∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝∠ABD，∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝∠BDC，∴∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°