第1講絕對值和絕對值不等式的解法

5.1絕對值的概念

定義：我們把數(shù)軸上表示一個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個數(shù)的絕對值.

例如，-2到原點(diǎn)的距離等于2,所以卜2|=2.這一定義說明了絕對值的幾何定義，從這一定義中很容易

a,a>0

得到絕對值的求法：14=(),4=0.

-a,a<0

5.1.1絕對值的性質(zhì)

【例1]到數(shù)軸原點(diǎn)的距離是2的點(diǎn)表示的數(shù)是()

A.±2B.2C.-2D.4

解:A

【例2]|x|=5,|y|=2,且xy>0,則x-y的值等于()

A.7或-7B.7或3C.3或-3D.-7或

解：C

【例3】：。兒工0,且乂=@+@+忖，當(dāng)a,b,c取不同值時，M有_種不同可能.當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時,

abc

M=；

當(dāng)a、b、c中有一個負(fù)數(shù)時，則M=；

當(dāng)a、b、c中有2個負(fù)數(shù)時，則/\4=；當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時，M=.

解；3；1,一1,-3.

練習(xí)”a",c是非零整數(shù)，且a+b+c=0,求片+?+￡+坐的值

向PIklm

解：由于a+〃+c=0,且a",c是非零整數(shù)，則a,〃，c一正二負(fù)或一負(fù)二正，

(1)當(dāng)a,b,c一正二負(fù)時，不妨設(shè)a>0,bv0,cvO,原式=1一1-1+1=0；

2)當(dāng)a,〃，c一負(fù)二正時，不妨設(shè)a<0,〃>0,c>0,原式=-1+1+1-1=0.

原式=0.

【例4】假設(shè)一4|=一|/?+2],則“+〃=.

解：\a-4|=-|/?+2|=>|tz-4|+|Z;+2|=0=>?=4,Z>=-2,所以a+/?=2.

結(jié)論：絕對值具有非負(fù)性，即假設(shè)|。|+|同+卜|=0,則必有4=0，b=o.c=0.

練習(xí)1：(?+l)2+|^-2|=O,a=；b=

解：a=-\,b=2.

練習(xí)2：假設(shè)>〃+3|++2|2〃一1|=0,則/升2〃+3/〃=.

7117

解：由題意，m=—3,//=—,/?=—?所以〃+2〃+3m=m=—■F7—9=——.

5.1.2零點(diǎn)分段法去絕對值

對于絕對值，我們經(jīng)常用到的一種方法是去絕對值，一般采用零點(diǎn)分段法，零點(diǎn)分段法的一般步驟：①找零

點(diǎn)好②分區(qū)間1③定符號玲④去絕對值符號.

【例5】閱讀以下材料并解決相關(guān)問題：

x(x>0)

我們知道兇=?0(x=0)，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+l|+|x-2|

-x(x<0)

時，可令x+l=0和x—2=0,分別求得x=—l,x=2(稱—1,2分別為|x+l|與卜-2|的零點(diǎn)值)，在有理數(shù)范圍內(nèi)，

零點(diǎn)值x=-l和N=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下3種情況：

(1)當(dāng)xW-l時，原式=-(工+1)-(1-2)=-2x+l

(2)當(dāng)一l<x<2時，原式=1+1-(X-2)=3

(3)當(dāng)x22時，原式=x+l+x-2=2x-l

-2x+l|x<-l)

綜上討論，原式=卜(-1<1<2)

2X-1(J>2)

通過閱讀上面的文字，請你解決以下的問題：

(1)別求出k+2|和k-4|的零點(diǎn)值

解：令x+2=O,解得x=-2,所以x=-2是卜+2|的零點(diǎn)；令人一4=。，解得x=4,所以<=4是卜一4|的

零點(diǎn).

(2)化簡代數(shù)式k+2|+k—4|

解：(D當(dāng)xW-2時，原式=—(x+2)—(x—4)=—2x+2；

(2)當(dāng)一2vxv4時，原式=(x+2)—(％—4)=6：

(3)當(dāng)x24時，原式=x+2+x-4=2x—2.

-2x+2(x<-2)

綜上討論，原式=/(-2<x<4).

2x-2(.v>4)

(3)化簡代數(shù)式)，=,-1+2卜-2|

解：當(dāng)x<l時，y=5-3x；

當(dāng)I<xv2時，y=3-x；

當(dāng)x之2時.y=3x—5.

5-3x(x<l)

綜上討論,原式-‘3-x(lvkv2).

3x-5(x>2)

5.1.3絕對值函數(shù)

常見的絕對值函數(shù)是：y=W=其圖象是

1-x,x<0

絕對值函數(shù)學(xué)習(xí)時，要抓關(guān)鍵點(diǎn)，這里的關(guān)鍵點(diǎn)是工=0.思考若何畫y=的圖象

我們知道，W表示x軸上的點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離；卜-。|的兒何意義是表示x軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)。的距離.

【例6】畫出)，=|x-1|的圖像

解：(1)關(guān)鍵點(diǎn)是x=l,此點(diǎn)又稱為界點(diǎn)；

(2)接著是要去絕對值

當(dāng)x<1時，y=1-x；當(dāng)x>1時，y=x-1.

(3)圖像如右圖

說明：此題還可以考慮該圖像可由丫=岡的圖象向右平移一個單位后得到

練習(xí)1.(1)畫出)，=卜-2|的圖像；(2)畫出y=2|x|的圖像

【例7】畫出尸卜-1|+2氏-2］的圖象

解：［1)關(guān)鍵點(diǎn)是x=l和x=2

(2)去絕對值

當(dāng)x41時，y=5-3x；

當(dāng)lvx<2時，y=3-x；

當(dāng)x22時，y=3x-5.

(3)圖象如右圖所示.

【例8】畫出函數(shù)丁=一/+2國+3的圖像

解：［1)關(guān)鍵點(diǎn)是x=0

(2)去絕對值：

當(dāng)x20時，y=-x2+2x+3；

當(dāng)x<0時，y=-x2-2x+3

(3)可作出圖像如右圖

［例9］畫出函數(shù)曠=,-31+2|的圖像

解：(1)關(guān)鍵點(diǎn)是x=l和x=2

(2)去絕對值：

當(dāng)天41或x之2時，y=x2-3x+2；

當(dāng)lvxv2時，y=-x2+3x-2

(3)可作出圖像如右圖

3

1.—=______；|3-司=________；|3.1415—^|=_____

5

2.|x-2|+|2y-l|=5,x=4,則尸.

3.假設(shè)的+。=(),那么。一定是()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

4.假設(shè)W>X，那么X是數(shù).

5.如圖，化簡,+4_卜_2|_卜_〃|_|2_《=

6.(k-2)~+|2y-=0,則x+2y=.

7.化簡卜?+1|+,+2|,并畫出y=k+l|+|x+2］的圖象

8.化簡|x+5|+|2x-3|.

9.畫H)，=|2x+3］的圖像

10.畫出)，=卜f+2.r+3］的圖像

答案：

3

1.-；江一3；%一3.14152.2或一13.C4.負(fù)5.-46.3

5

-2x-\x<-2-3x-2,x<-5

7.y=-1,-2<X<-1,圖象如下8.y=-8-x,-5<x<-9.如以以下圖10.如以以下圖

2x+3,x>-lc

3x+2,xN—

2

5.2絕對值不等式

到了高中，絕對值不等式需要強(qiáng)調(diào)的有兩點(diǎn)：一是由定義引出的絕對值的幾何意義的應(yīng)用；二是代數(shù)意義上

的分類討論，其中幾何意義的應(yīng)用主要涉及到有關(guān)絕對值不等式的解法，而分類討論的思想就表達(dá)為去絕對值、

畫絕對值函數(shù)圖象、解絕對值不等式.

【例1】解方程：上一2|=1.

解：原方程變?yōu)閤-2=±l,??.x=3或冗=1.

【例2】解不等式|JC|<1.

解：x對應(yīng)數(shù)軸上的一個點(diǎn)，由題意，x到原點(diǎn)的距離小于1,很容易知道到原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)有兩個：

-1和1,自然只有在-1和1之間的點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離才小于1,所以x的解集是｛x|-l<x<l｝.

練習(xí)L解不等式：⑴W<3；⑵國〉3⑶兇《2

解：(1)｛x|-3<x<3｝(2)｛x\x<-3^x>3｝(3)｛x|-2<x<2)

結(jié)論：〔1〕NV4(4>0)的解集是｛x|-。<X<。｝,如圖1.

(2)兇>。3>0)的解集是或x>。｝,如圖2.

【例3】解不等式|x-2|<l.

解：由題意，—1VX—2V1,解得I<xv3,所以原不等式的解集為｛x|lvxv3｝.

結(jié)論：［1)|or+/?|<c(c>O)<^>-c<ax+b<c.

(2)><:(。>0)0。1+/?><?或0￥+〃<一。

練習(xí)1：解不等式：⑴,一10|<3；⑵|2x—5|>2；(3)|3-2x|<5；

解：(1)由題意，一3vx—10v3,解得7Vxvl3,所以原不等式的解集為｛x|7vxv13｝.

7373

(3)由題意，2］一5>2或2工一5<-2,解得1>一或1〈一，，所以原不等式的解集為｛劃工>一或工<一｝.

2222

(3)由題意，-5<3-2%工5,解得一1工工?4,所以原不等式的解集為｛x|TKx?4｝.

|2-x|-4<0

練習(xí)2：解不等式組F,1,.

5-|l+3x|>2

解；由|2—乂一4W0,得-4W2—xW4,解得一2WxW6,①

由5—［1+3^>2,得|l+3x|<3,即一3<l+3xv3,解得一3cx<2,②

4242

由①②得，一一</<一，所以原不等式的解集為｛x|--</<一｝.

33

練習(xí)3：解不等式142犬一1卜5.

解：方法一：由|2X一1|<5,解得一2cx<3；由14|2］一1|得，xWO或xNl,

聯(lián)立得一2Vx<0或lWx<3,所以原不等式的解集為｛劃一2Vx<0或l?x<3｝.

方法二：1二|21一1|<5。1<2工一1<5或一5<2工—1工一1,解得一2Vxe0或1?元<3,所以原不等式

的解集為｛x|-2cx<0或1?工<31.

【例4】解不等式：|4x—3|>2x+l

解：方法一：(零點(diǎn)分段法)

311

(1)當(dāng)xM二時，原不等式變?yōu)?；?4%—3)>2工+1,解得尤〈一，所以x<—；

433

3

(2)當(dāng)x>一時，原不等式變?yōu)椋?x-3>2x+l,解得戈>2,所以/>2；

4

綜上所述，原不等式的解集為｛x|x<g或x>2｝.

方法二：|4x-3|>2x+lo4/-3>2x+l或4%一3<-(2%+1),解得x<g或x>2,所以原不等式的解

集為｛x[x<g或x>2｝.

結(jié)論:(1)|ax4-Z>|</(x)?-/(A)<ax+b<f(x).

(2)|or+Z?|>/(%)<=>o￥+Z?>/(x)^Lax+b<-f(x).

練習(xí)4：解不等式：|4x—3|?/+l.

解：由|4工一3|工工+1得—。+1)工4工一3工工+1,解得jwxwg,原不等式的解集為｛x|(wxwg｝.

【例5】解方程：(1)卜+2|+卜一1|=3(2)H+2|+l一1|=5

⑶卜+3f-“=4(4]||x+3|-|x-2||=4

【初中知識鏈接】在三角形中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這個結(jié)論反映在數(shù)軸

上是這樣的：

假設(shè)。和〃是數(shù)軸上的兩個數(shù)，那么當(dāng)。vxv/7時，數(shù)x到。和匕的距離之和等于。與〃的距離；當(dāng)x<a

或x>人時，數(shù)工到。和〃的距離之差的絕對值，等于。與人的距離.

以上所有問題都可以用此方法解決.

解：(1)等式左邊式子上+2|+上一1|的幾何意義是，實(shí)數(shù)x到一2和1的距離之和，而一2和1的距離之和

也剛好是3,容易知道，當(dāng)x位于-2和1之間時，x到-2和1的距離之和就剛好為3,所以x的取值范圍是

-2<x<l.

(2)等式左邊式子的幾何意義是，實(shí)數(shù)”到-2和1的距離之和，由于-2和1的距離是3,所以不一定在-2

和1的兩邊.經(jīng)過計(jì)算,可知當(dāng)x付于-3和2時,滿足條件.

(3)等式左邊式子的幾何意義是，實(shí)數(shù)x到-3和1的距離之差，由于-3和1的距離剛好是4,所以當(dāng)x位

于-3到1的兩邊時，x到一3和1的距離之差剛好為4,x的取值范圍是工工一3或xNl.

(4)等式左邊式子的幾何意義是，實(shí)數(shù)x到-3和2的距離之差，由于-3和1的距離剛好是5,所以x—

定位于-3到2之間，可知當(dāng)x位于-士和士時，滿足條件.

22

【例6】解不等式：|x+2|+|x-l|<5

方法1：利用零點(diǎn)分區(qū)間法(推薦)

分析：由忖-1|=0,|x+2|=0,得x=l和x=2.—2和1把實(shí)數(shù)集合分成三個區(qū)間，即x<-2,

-24x41,%>1,按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論.

x<—2

解：當(dāng)x<-2時，得《解得：-3<x<-2；

-(JI-1)-(X+2)<5

當(dāng)-23Vl時，得｛:jj；j:+2)<5

解得：-2<x<l；

x>\

當(dāng)x>l時，得，解得：lvxv2.

(x—1)+(x+2)<5

綜上，原不等式的解集為卜|一3<%<2}.

說明：(1)原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集；

(2)這種解法又叫“零點(diǎn)分區(qū)間法”，即通過令每一個絕對值為零求得零點(diǎn)，求解應(yīng)注意邊界值.

方法2：利用絕對值的幾何意義

解：卜+2|+,一1|<5的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)工到1和一2的距離之和小于5的點(diǎn)所對應(yīng)的取值范圍，由

數(shù)軸可知，1-(-2)=3<5,易知當(dāng)工=-3或x=2時，,+2|+上一1|=5,所以x位于-3和2之間(不含端

點(diǎn))，所以-3<x<2,所以原不等式的解集為同一3<%<2}.

說明：選擇題和填空題中，利用絕對值的幾何意義解含有兩個絕對值不等式優(yōu)勢明顯.

練習(xí)1.卜+2|+卜-1卜7

解：{x|T<xv3}

練習(xí)2.解不等式：,+3|—上一2區(qū)4

3

解：{川工工萬}

練習(xí)3.|2x+3|+|2x-2|K8

9