第一章有理數1.正負數的概念：________的數叫做正數，在正數前面加上“________”的數叫做負數.2.相反意義的量具備要素：①同一________，意義________；②有________，但數量不一定________；③具有相反意義的量總是________出現的.3.有理數：________和________統(tǒng)稱為有理數.（【實質】可以寫成形式的數，其中m，n為________且m________0）4.有理數分類：5.數軸的定義：在數學中，通常________上的________表示數，這條直線叫做數軸.6.數軸有三要素：________、________、________，三者缺一不可.7.數軸上點與有有理數的關系：任何一個有理數都可以用數軸上的一個________來表示，而且是唯一________，但數軸上的點并不都表示有理數.8.數軸中點公式：數軸上有兩點A、B分別表示的數為a，b，若C是A、B兩點的中點，C所表示的數為c，則有：.9.相反數的概念：只有________的兩個數叫做互為相反數，我們稱其中一個數是另一個數的相反數.10.相反數的性質：1）任何一個數有且只有________相反數.2）正數的相反數是________；負數的相反數是________；0的相反數仍是________.11.多重符號化簡：進行多重符號化簡時，首先要注意，1）一個數前面不管有多少個“+”，都可以把“________”去掉，2）其次要看“-”的個數，當“-”的個數為________時，結果取“________”，當“-”的個數為________時，結果取“________”，簡稱“________”.12.絕對值的定義：數軸上表示數a的點到________的距離叫做a的絕對值，記作________．13.絕對值的代數意義：正數的絕對值是________；0絕對值是________；負數的絕對值是________.14.絕對值的幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與________的距離，它具有________.15.兩個有理數比較大小的“三情況”1）兩數同號:同正:絕對值大的________;同負:絕對值大的反而________.2）兩數異號:正數________負數.3）一數為0：正數與0:正數________0，負數與0:負數________0.16.有理數加法運算法則：1）同號兩數相加，取________的符號，并把________相加.2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值________的加數的符號，并用________的絕對值減去________的絕對值.3）互為相反數的兩個數相加和為________.4）一個數與0相加，仍得________.17.有理數加法運算率：1）加法交換律：兩個數相加，交換________的位置，和________.2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數________，或者先把后兩個數________，________不變.18.有理數的減法法則：減去一個數，等于________這個數的________.19.有理數乘法運算法則：1）兩數相乘，________得正，________得負，并把________相乘.2）0與任何數相乘都得________.20.倒數的概念：乘積是________的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數.21.有理數乘法運算率：1）乘法交換律：兩個數相乘，交換________的位置，積________.2）乘法結合律：三個數相乘，先把前________相乘，或者先把后________相乘，積________.3）乘法分配率：一個數同兩個數的________相乘，等于把這個數________同這兩個數相乘，再把積________.22.有理數除法運算法則：1）除以一個不等于________的數，等于乘這個數的________.2）兩數相除，同號得________，異號得________，并把________相除.3）0除以任何一個不等于0的數，都得________.23.乘方的概念概念示例乘方求n個________因式的積的運算，叫做乘方.如n個a相乘：冪乘方的________叫做冪.底數在中，________叫做底數.指數在中，________叫做指數.24.科學記數法的概念：把一個絕對值大于________的數表示為（其中________≤|a|＜________，n為________），這種記數法叫做科學記數法．25.準確數：在日常生活或生產實際中，能準確地表示________的量，成為準確數.例如3班共52人，男生29人，女生23人，數字“52”，“29”和“23”就是準確數.26.近似數：接近________而不等于________的數，叫做這個數的近似數.例如π取3.14，小紅體重約45kg，數字“3.14”和“45”就是近似數.27.精確度：近似數與精確數的________，可以用精確度表示，一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.序號錯誤易錯題型注意1混淆有理數分類1.下列各數中，0，，，，有理數有________個2.下列各數，，，，0，，，其中正有理數的個數為_________1）類似的含π式子不是有理數.2）有限小數和無限循環(huán)小數都可以轉化為分數，因此有限小數和無限循環(huán)小數是有理數.2含“非”有理數的分類1．在、、0、、2、3、4中，非負整數有_________個2．在，7中，非負有理數有________個遇“非”思0，非后相反，非零除外.【注意】含非有理數分類時，易忽略0.3數軸的畫法2．如圖所示的圖形為四位同學畫的數軸，其中錯誤的是（

）A．B．C．D．數軸有三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可.4數軸上兩點之間的距離1．已知數位于數軸上原點的左邊，則數到原點的距離表示正確的是（

）A． B． C． D．2．數軸上表示的點與下列各數對應的點中，距離是1個單位長度的數是（）A． B．1 C．或 D．0或由于距離沒有方向性，所以數軸上到已知點距離相等的點一般有兩個，因此要注意考慮所有可能出現的結果．5多重符號化簡1.下列各數：，，，，中一定是正數有__個奇負偶正6絕對值的化簡1.化簡：．2．當時，代數式的值是．3．化簡：．（其中）當絕對值符號里的數的正負不能確定時，要分類討論，即將其分成大于0，小于0，等于0這三類討論.7絕對值的代數意義1．若，則實數的范圍為．2．如，那么的范圍為____若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.8有理數減法運算1．將式子改寫成省略括號的形式為(

)A．B．C．D．將減法轉化為加法時，要注意“兩變一不變”.（“兩變”指：減數變相反數，減法變加號；“一不變”指：被減數不變）9有理數乘法運算律1．下列變形不正確的是（

）A． B．C． D．2.下列計算正確的是（）A．B．C．D．1）使用乘法分配律時，切勿漏乘某項.2）用乘法交換律交換因數的位置時，要連同性質符號一起交換.10精確度的確定1．用四舍五入法按要求對分別取近似值，其中錯誤的是（

）A．（精確到）B．（精確到千分位）C．（精確到百分位）D．（精確到）2．用四舍五入法，按括號中的要求對下列各數取近似數：(1)（精確到0.01）；(2)（精確到百分位）；(3)（精確到百萬位）；(4)億（精確到百萬位）．1.確定近似數的精確度就是看近似數的末位數字所在的數位，2.對于的精確度，由還原后的數a的末位數字所在的數位決定.3.對于含有文字單位的近似數，精確度也是由還原后的數中近似數的末位數字所在的數位決定的.重難點01有理數的分類1．（24-25七年級上·安徽六安·期末）把下列各數填入圖中相應的位置，并填寫公共部分的名稱．，0，，，，2．（23-24七年級上·安徽蚌埠·階段練習）把下列各數填入相應的大括號里．，，，，，，整數集合：{

}分數集合：{

}正數集合：{

}負數集合：{

}3．（24-25七年級上·四川自貢·階段練習）把下列各數填入相應的集合里：，0，，3，，，①正有理數集合：｛｝②負有理數集合：｛｝③分

數集合：｛｝④非負數集合：｛｝⑤非正整數集合：｛｝4．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）把下列各數分別填入相應的橫線上：，0，，，，，，正有理數：______．非負整數：______．分數：______．并用數軸上的點表示以上非正整數，用“”把這些非正整數連接起來．重難點02求一個數的相反數、絕對值、倒數5．（2025·安徽合肥·三模）的相反數是（）A． B． C． D．6．（2025·安徽蚌埠·三模）下列各數中，與互為倒數的是（

）A．2025 B． C． D．7．（24-25七年級上·山東濟寧·期中）下列化簡，正確的是（）A． B．C． D．8．（24-25七年級上·安徽蚌埠·開學考試），重難點03利用絕對值/乘方的非負性求解9．（24-25七年級上·江蘇徐州·階段練習）如果是有理數，則的最小值是．10．（24-25七年級下·黑龍江綏化·期中）已知，則．11．（24-25七年級上·重慶永川·期末）若與互為相反數，則的值為．12．（2024七年級上·全國·專題練習）已知，則，，的值分別是．重難點04絕對值的化簡問題13．（24-25七年級上·安徽安慶·期中）若，化簡．14．（24-25七年級上·安徽安慶·期中）有理數a、b、c在數軸上的對應點如圖，回答下面問題：(1)________，________，________．(2)化簡：．15．（2024七年級上·全國·專題練習）已知：a與b互為相反數，b是最小的正整數，且c滿足．(1)直接寫出a、b、c的值：，，．(2)a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數為x，點P在0到2之間運動時（即時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）．16．（24-25七年級上·云南文山·期末）分類討論是一種重要的數學方法，如在化簡時，可以這樣分類：當時，；當時，；當時，．用這種方法解決下列問題：(1)當時，求的值．(2)當時，求的值．(3)若有理數均不等于零，試求的值．重難點05絕對值的最值問題17．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．(1)【探究問題】如圖，數軸上，點，，分別表示數，，．填空：因為的幾何意義是線段與的長度之和，當點在線段上時，，而當點在點的左側或點的右側時，．所以當點在線段上時，有最小值，最小值是________；(2)【解決問題】①直接寫出式子的最小值為________；②若代數式的最小值是，求的值；(3)【實際應用】如圖，在一條筆直的街道上有，，，四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為．已知，，，四個小區(qū)各有個，個，個，個學生在同一所中學的同一班級上學，安全起見，這個同學約定先在街道上某處匯合，再一起去學校．聰明的他們通過分析，發(fā)現在街道上的處匯合會使所有學生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，請問匯合地點設置在什么位置的時候，所有學生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，并求出此最小值．18．（24-25七年級上·浙江杭州·階段練習）點A、B在數軸上分別表示有理數a，b，A、B兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之間的距離．利用數形結合思想回答下列問題：(1)和2之間的距離為__________；(2)若x與2的距離為3，則x的值為__________；(3)若成立，則滿足條件的所有整數x為__________；(4)由以上探索猜想，對于任何有理數x，的最小值為__________．19．（24-25七年級下·廣東廣州·開學考試）我們知道，可以理解為，它表示：數軸上表示數的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數軸上的兩個點，，分別用數，表示，那么，兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數軸上表示數的點和表示數的點之間的距離．(1)利用此結論，回答以下問題：①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和的兩點之間的距離是．②數軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是，如果，那么x為．(2)探索規(guī)律：①當有最小值是．②當有最小值是．③當有最小值是．(3)規(guī)律應用工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個工作臺A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱應該放在哪個工作臺處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？(4)知識遷移最大值是，最小值是．20．（24-25七年級上·福建漳州·期中）觀察下列幾組數在數軸上體現的距離，并回答問題：（1）探究：你能發(fā)現：3與5在數軸上的對應點間的距離可以表示為：；4與在數軸上的對應點間的距離可以表示為：；根據以上規(guī)律填空．①數軸上表示6和3的兩點之間的距離是．②數軸上表示和的兩點之間的距離是．③數軸上表示和2的兩點之間的距離是．（2）歸納：一般的，數軸上表示數a和數b的兩點之間的距離等于．（3）應用：①如果數m和4兩點之間的距離是6，則可記為：，求m的值．②若數軸上表示數m的點位于與4之間，求的值．③當m取何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．重難點06比較有理數的大小21．（24-25七年級上·安徽淮南·期中）在數軸上表示下列各數，并用“”將它們連接起來．5，，，，，0，．22．（24-25七年級上·安徽亳州·階段練習）比較下列每對數的大?。▽懗霰容^過程）(1)與(2)與23．（24-25七年級上·重慶酉陽·期中）畫數軸并在數軸上畫出表示下列各數的點，并將下列各數按從小到大的順序用“”把各數連接起來．，，，，．24．（23-24七年級上·湖北黃岡·階段練習）有理數在數軸上的位置如圖所示：(1)請在數軸上標出；(2)比較的大小（用“”將它們連接起來）．重難點07含乘方的有理數混合運算25．（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期中）計算下列各式：(1)；(2)．26．（24-25七年級上·安徽安慶·期末）計算：27．（22-23七年級上·安徽馬鞍山·期中）計算：(1)；(2)．28．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)重難點08有理數的簡便運算29．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習）用簡便方法計算：(1)；(2)．30．（24-25七年級上·安徽阜陽·期中）學習有理數的乘法后，老師在黑板上給同學們出了這樣一道題．計算：，看誰算得又快又對．請你利用簡便方法計算．31．（22-23七年級上·吉林長春·階段練習）用簡便方法計算：(1)；(2)．32．（24-25七年級上·安徽安慶·期中）對于下面這道計算題：.小明的做法是：先求原式的倒數為：所以原式，請你仿照以上小明的做法計算：．33．（24-25七年級上·安徽滁州·期中）閱讀計算的方法，再用這種方法解答下列各題．解：原式．(1)計算：；(2)計算：．34．（20-21七年級上·安徽合肥·階段練習）計算：．35．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習）【規(guī)律探究】計算，如果一個個順次相加顯然太繁瑣，但如果運用加法的運算律可簡化計算、提高計算速度，如：原式【實例應用】應用以上的方法計算：(1)；(2)．36．（2024·安徽宿州·三模）觀察下列圖形與等式的關系：第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖……根據圖形及等式的關系，解決下列問題：(1)第5個圖中空白部分小正方形的個數是______，第6個圖中空白部分小正方形的個數滿足的算式：______；(2)用含的等式表示第個圖中空白部分小正方形的個數反映的規(guī)律：______；(3)運用上述規(guī)律計算：．37．（22-23七年級上·江蘇鹽城·階段練習）類比推理是一種重要的推理方法，根據兩種事物在某些特征上相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結論．比如在異分母的分數的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：，我們將上述計算過程倒過來，得到，這一恒等變形過程在數學中叫做裂項．類似地，對于可以用裂項的方法變形為：．類比上述方法，解決以下問題．(1)猜想并寫出：________；(2)類比裂項的方法，計算：；(3)探究并計算：．重難點09有理數混合運算的實際應用38．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）某食品廠生產袋裝食品，每袋標準質量為，從生產的袋裝食品中抽出樣品10袋，檢測每袋的質量是否符合標準，超過或不足的部分用正數或負數，記錄如下表：與標準質量的差值/g0123袋數312121(1)如果每袋的質量與標準質量的誤差在以內，則為優(yōu)等品，這10袋中，優(yōu)等品共有多少袋？(2)求抽樣檢測的10袋食品的總質量是多少?39．（24-25七年級上·安徽滁州·階段練習）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿著井壁向上往井口跳躍，由于井壁較滑，每次跳躍之后青蛙會下滑一段距離才能穩(wěn)?。旅媸乔嗤艿膸状翁S和下滑情況（上跳為正，下滑為負，單位為厘米）．第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次0(1)除起跳點外，青蛙距離井底的最近距離是______厘米；(2)在這7次跳躍并下滑穩(wěn)定后，此時青蛙距離井口還有多遠？(3)把每7次跳躍下滑記為一周，若青蛙之后的每周跳躍下滑情況都和第一周相同，那么青蛙在第幾次跳出了井口？40．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）我市出租車司機王師傅2024年9月8日上午從地出發(fā)，在南北方向的公路上行駛營運，下表是每次行駛的里程（單位：公里）（規(guī)定向南走為正，向北走為負；0表示空載，表示載有乘客，且乘客數不多于4人都不相同）：次數第1次第2次第3次第4次第5次第6次里程載客0(1)已知出租車每公里耗油約立方米，王師傅開始營運前油箱里有12立方米天然氣，若少于5立方米，則需要添加天然氣，請通過計算說明王師傅這天上午6次里程中途是否需要添加天然氣．(2)已知載客時3公里以內（含3公里）收費10元，超過3公里后每公里收費2元，問王師傅這天上午走完6次里程后的營業(yè)總額為多少元？41．（24-25七年級上·安徽淮北·期末）隨著電商的興起，很多農產品實行了網上售賣，小明把自家種植的山藥也放到了網上實行包郵銷售，他原計劃每天賣斤山藥，但由于種種原因，實際每天的銷量與斤相比有出人，下表是某一周的銷售情況（超過斤的部分記為正，不足斤的部分記為負．單位：斤）．星期一二三四五六日銷量（斤）(1)根據記錄的數據，銷量最多的一天比銷量最少的一天多賣出______斤；(2)本周實際銷售總量是否達到了計劃數量？試說明理山；(3)若山藥每斤按元出售，每斤山藥需要小明支付的平均運費是元，那么小明本周銷售山藥實際共得多少元？42．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）某原料倉庫某一天的原料進出記錄如下表（運進用正數表示，運出用負數表示）進出數量（單位：噸）25進出次數（單位：次）24233(1)這天倉庫的原料比原來增加了還是減少了？請說明理由．(2)根據實際情況，現有兩種方案：方案1：運進每噸原料費用26元，運出每噸原料費用29元；方案2：運進和運出費用相同，都是每噸27元．從節(jié)約運費的角度考慮，請通過計算說明選擇哪種方案比較合適．重難點10與有理數混合運算有關的新定義問題43．（24-25七年級上·安徽亳州·期中）對于有理數定義運算，求的值．44．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習）定義一種新運算，求的值．45．（24-25七年級上·安徽淮北·期中）對于有理數、定義一種新運算“”，規(guī)定：．例如：．(1)填空：______，______，______；(2)若，則的結果為______；(3)判斷“”運算是否滿足交換律并說明理由．46．（24-25七年級上·安徽六安·階段練習）對于任意有理數定義新運算“★”，規(guī)則如下：，如．(1)求的值；(2)請你判斷是否成立？并給出證明．重難點11