2015年考研數(shù)一練習(xí)題答案解析一、選擇題1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$(\infty,+\infty)$內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$的圖形如圖所示，則曲線$y=f(x)$的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）選項(xiàng)：A.0；B.1；C.2；D.3答案：C解析：拐點(diǎn)是函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)的點(diǎn)。由二階導(dǎo)數(shù)\(y=f''(x)\)的圖像可知，\(f''(x)=0\)有兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為\(x_1,x_2\)。在\(x_1\)兩側(cè)，\(f''(x)\)的符號(hào)發(fā)生改變，在\(x_2\)兩側(cè)，\(f''(x)\)的符號(hào)也發(fā)生改變。因?yàn)楹瘮?shù)\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)內(nèi)連續(xù)，根據(jù)拐點(diǎn)的定義，若函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)，且在\(x_0\)的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，在\(x_0\)兩側(cè)\(f''(x)\)異號(hào)，則\((x_0,f(x_0))\)為曲線\(y=f(x)\)的拐點(diǎn)，所以曲線\(y=f(x)\)有兩個(gè)拐點(diǎn)，答案選C。2.設(shè)\(y=\frac{1}{2}e^{2x}+(x\frac{1}{3})e^{x}\)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)的一個(gè)特解，則（）選項(xiàng)：A.\(a=3,b=2,c=1\)；B.\(a=3,b=2,c=1\)；C.\(a=3,b=2,c=1\)；D.\(a=3,b=2,c=1\)答案：A解析：已知\(y=\frac{1}{2}e^{2x}+(x\frac{1}{3})e^{x}=\frac{1}{2}e^{2x}+xe^{x}\frac{1}{3}e^{x}\)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)的一個(gè)特解。對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為\(y''+ay'+by=0\)。因?yàn)閈(y=\frac{1}{2}e^{2x}+xe^{x}\frac{1}{3}e^{x}\)，\(e^{2x}\)是齊次方程的解，將\(y=e^{2x}\)代入齊次方程\(y''+ay'+by=0\)，\(y'=2e^{2x}\)，\(y''=4e^{2x}\)，可得\(4e^{2x}+2ae^{2x}+be^{2x}=0\)，即\(4+2a+b=0\)。又因?yàn)閈(xe^{x}\)是非齊次方程的特解形式，說(shuō)明\(r=1\)是特征方程\(r^{2}+ar+b=0\)的單根，將\(r=1\)代入特征方程得\(1+a+b=0\)。聯(lián)立方程組\(\begin{cases}4+2a+b=0\\1+a+b=0\end{cases}\)，用第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程可得：\((4+2a+b)(1+a+b)=0\)，即\(3+a=0\)，解得\(a=3\)，將\(a=3\)代入\(1+a+b=0\)，得\(13+b=0\)，解得\(b=2\)。把\(y=xe^{x}\)代入非齊次方程\(y''+ay'+by=ce^{x}\)，\(y'=(x+1)e^{x}\)，\(y''=(x+2)e^{x}\)，則\((x+2)e^{x}3(x+1)e^{x}+2xe^{x}=ce^{x}\)，\((x+23x3+2x)e^{x}=ce^{x}\)，即\(e^{x}=ce^{x}\)，所以\(c=1\)。答案選A。3.若級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)條件收斂，則\(x=\sqrt{3}\)與\(x=3\)依次為冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的（）選項(xiàng)：A.收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)；B.收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)；C.發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)；D.發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)答案：B解析：已知級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)條件收斂，則冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)在\(x=2\)處條件收斂（令\((x1)=1\)），根據(jù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)的收斂半徑\(R=1\)。對(duì)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)，設(shè)\(u_{n}=na_{n}(x1)^{n}\)，由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知，冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)與冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)有相同的收斂區(qū)間。因?yàn)閮缂?jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x1)^{n}\)的收斂區(qū)間為\((0,2)\)，其收斂半徑\(R=1\)，那么冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的收斂半徑也為\(R=1\)。當(dāng)\(x=\sqrt{3}\)時(shí)，\(\vert\sqrt{3}1\vert\approx1.7321=0.732\lt1\)，所以\(x=\sqrt{3}\)是冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的收斂點(diǎn)。當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(\vert31\vert=2\gt1\)，所以\(x=3\)是冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(x1)^{n}\)的發(fā)散點(diǎn)。答案選B。4.設(shè)\(D\)是第一象限中由曲線\(2xy=1\)，\(4xy=1\)與直線\(y=x\)，\(y=\sqrt{3}x\)圍成的平面區(qū)域，函數(shù)\(f(x,y)\)在\(D\)上連續(xù)，則\(\iint_{D}f(x,y)dxdy=\)（）選項(xiàng)：A.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{2\sin2\theta}}^{\frac{1}{\sin2\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)；B.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)；C.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{2\sin2\theta}}^{\frac{1}{\sin2\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)；D.\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)答案：B解析：利用極坐標(biāo)變換\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，\(dxdy=rdrd\theta\)。由\(2xy=1\)，可得\(2r^{2}\cos\theta\sin\theta=1\)，即\(r^{2}=\frac{1}{\sin2\theta}\)，\(r=\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}\)；由\(4xy=1\)，可得\(4r^{2}\cos\theta\sin\theta=1\)，即\(r^{2}=\frac{1}{2\sin2\theta}\)，\(r=\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}\)。直線\(y=x\)，則\(\tan\theta=1\)，\(\theta=\frac{\pi}{4}\)；直線\(y=\sqrt{3}x\)，則\(\tan\theta=\sqrt{3}\)，\(\theta=\frac{\pi}{3}\)。所以\(\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{\frac{1}{\sqrt{2\sin2\theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin2\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)。答案選B。5.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^{2}\end{pmatrix}\)，\(b=\begin{pmatrix}1\\d\\d^{2}\end{pmatrix}\)，若集合\(\Omega=\{1,2\}\)，則線性方程組\(Ax=b\)有無(wú)窮多解的充分必要條件為（）選項(xiàng)：A.\(a\notin\Omega\)，\(d\notin\Omega\)；B.\(a\notin\Omega\)，\(d\in\Omega\)；C.\(a\in\Omega\)，\(d\notin\Omega\)；D.\(a\in\Omega\)，\(d\in\Omega\)答案：D解析：對(duì)增廣矩陣\((A\vertb)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&d\\1&4&a^{2}&d^{2}\end{pmatrix}\)進(jìn)行初等行變換，\(r_2r_1\)，\(r_3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a1&d1\\0&3&a^{2}1&d^{2}1\end{pmatrix}\)，再\(r_33r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a1&d1\\0&0&a^{2}3a+2&d^{2}3d+2\end{pmatrix}\)。其中\(zhòng)(a^{2}3a+2=(a1)(a2)\)，\(d^{2}3d+2=(d1)(d2)\)。線性方程組\(Ax=b\)有無(wú)窮多解的充要條件是\(r(A)=r(A\vertb)\lt3\)，即\(a^{2}3a+2=0\)且\(d^{2}3d+2=0\)，也就是\(a\in\Omega=\{1,2\}\)且\(d\in\Omega=\{1,2\}\)。答案選D。6.設(shè)二次型\(f(x_{1},x_{2},x_{3})\)在正交變換\(x=Qy\)下的標(biāo)準(zhǔn)形為\(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\)，其中\(zhòng)(Q=(e_{1},e_{2},e_{3})\)，若\(P=(e_{1},e_{3},e_{2})\)，則\(f(x_{1},x_{2},x_{3})\)在正交變換\(x=Py\)下的標(biāo)準(zhǔn)形為（）選項(xiàng)：A.\(2y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\)；B.\(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\)；C.\(2y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}\)；D.\(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\)答案：A解析：已知\(f(x)=x^{T}Ax\)，在正交變換\(x=Qy\)下\(f(x)=y^{T}(Q^{T}AQ)y=2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}=\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}\)，即\(Q^{T}AQ=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)。又\(P=(e_{1},e_{3},e_{2})=Q\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，記\(C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，則\(P=QC\)。那么\(P^{T}AP=(QC)^{T}A(QC)=C^{T}(Q^{T}AQ)C\)。\(C^{T}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，\(C^{T}(Q^{T}AQ)C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}