試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省中山市永安中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)集合，集合，定義，則中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．7 B．10 C．25 D．522．下列命題正確的有（

）A．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則B．已知函數(shù)，若，則C．D．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則3．若，則（

）A．5 B．20 C．60 D．1204．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在處取得極大值 D．在處取得極大值5．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．120 B．-120 C．180 D．-1806．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，其中甲每次投進(jìn)的概率為，乙每次投進(jìn)的概率為，兩人各投三次，一共投中四次的概率為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若，且，則使不等式成立的x的值可能為(

)A．－2 B．－1 C． D．2二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為B．若隨機(jī)變量，則方差C．若隨機(jī)變量，，則D．已知隨機(jī)變量的分布列為，則10．現(xiàn)有個(gè)編號(hào)為，，，的不同的球和個(gè)編號(hào)為，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．共有種不同的放法B．恰有一個(gè)盒子不放球，共有種放法C．每個(gè)盒子只放一個(gè)球，恰有個(gè)盒子編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同放法有種D．將個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有種11．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的極大值點(diǎn)為B．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7D．的解集為三、填空題12．某次大型聯(lián)考10000名學(xué)生參加，考試成績(jī)（滿分100分）近似服從正態(tài)分布（其中和分別為樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差），若本次考試平均成績(jī)?yōu)?5分，87分以上共有228人，學(xué)生甲的成績(jī)?yōu)?6分，則學(xué)生甲的名次大致是名.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，13．用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，這樣的數(shù)有個(gè).14．若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.四、解答題15．已知函數(shù)f(x)=2lnx+a2x(1)求的值；(2)求函數(shù)的最大值．16．在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在后面問(wèn)題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；條件②：第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；問(wèn)題：在二項(xiàng)式的展開式中，已知__________.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)設(shè)，求的值；(3)求的展開式中，按的升冪排列的前三項(xiàng).17．某籃球夏令營(yíng)舉行超遠(yuǎn)距離投籃闖關(guān)游戲，游戲規(guī)則如下：夏令營(yíng)成員組隊(duì)參加游戲，每隊(duì)由三名隊(duì)員組成.三名隊(duì)員排好出場(chǎng)順序后，依次出場(chǎng)投籃，且每名隊(duì)員只投一次.如果一名隊(duì)員投中，則游戲停止；如果這名隊(duì)員沒(méi)有投中，則派出下一名隊(duì)員，直至有隊(duì)員投中（闖關(guān)成功）或無(wú)隊(duì)員可派出（闖關(guān)失?。r(shí)游戲停止.現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加游戲，他們投中的概率分別為、、，且每次每人投中與否相互獨(dú)立.(1)若，，，求游戲停止時(shí)小隊(duì)有人投中的概率；(2)若，現(xiàn)在小隊(duì)計(jì)劃兩種方案參加游戲.方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人員數(shù)目的分布列和期望；（ⅱ）分析采用哪種方案，可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.18．全面建成小康社會(huì)取得了偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得了決定性勝利，某脫貧縣實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康的目標(biāo)，該縣經(jīng)濟(jì)委員會(huì)積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，對(duì)本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收.(1)該縣經(jīng)濟(jì)委員會(huì)為精準(zhǔn)了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導(dǎo)向作用，在購(gòu)買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取300人進(jìn)行廣告宣傳作用的調(diào)研，對(duì)因廣告宣傳導(dǎo)向而購(gòu)買該縣特產(chǎn)的客戶統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：客戶群體中青年人約占15%，其中男性為20%；中年人約占50%，其中男性為35%；老年人約占35%，其中男性為55%.以樣本估計(jì)總體，視頻率為概率.①在所有購(gòu)買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶，求抽取的客戶是男性的概率；②在所有購(gòu)買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶是男客戶，求他是中年人的概率（精確到0.0001）；(2)該縣經(jīng)濟(jì)委員會(huì)統(tǒng)計(jì)了某6至12月這7個(gè)月的月廣告投入（單位：萬(wàn)元）；（單位：萬(wàn)件）的數(shù)據(jù)如表所示：月廣告投入/萬(wàn)元1234567月銷量/萬(wàn)件28323545495260請(qǐng)根據(jù)相關(guān)系數(shù)說(shuō)明相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.（若，則認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，值精確到0.001）參考數(shù)據(jù)：.參考公式：相關(guān)系數(shù).19．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《廣東省中山市永安中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BDDCDCCDBCDBCD題號(hào)11答案ABC1．B【分析】由集合的運(yùn)算可得、，再結(jié)合新定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以?又，所以中元素的個(gè)數(shù)是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算及新定義的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解判斷A；求出導(dǎo)數(shù)并列式求得判斷B；利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解判斷C；兩邊求導(dǎo)再賦值求出判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，求導(dǎo)得，則由，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，求導(dǎo)得，則，解得，D正確.故選：D3．D【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得（舍去）或，所?故選：D4．C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)數(shù)符號(hào)，判斷的區(qū)間單調(diào)性及極值情況，即可得.【詳解】由圖知，在、上，在上，所以在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以處取極小值，處取得極大值.故選：C5．D【分析】因?yàn)?，所以分別求和展開式中的常數(shù)項(xiàng)，即可得出結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)為:，.不存在的值使得，所以的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的展開式可取到常數(shù)項(xiàng)，則的常數(shù)項(xiàng)為.綜上所述：的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-180.故選：D.6．C【分析】設(shè)甲投三次，投中的次數(shù)為，乙投三次，投中的次數(shù)為，易知服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的概率公式、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)甲投三次，投中的次數(shù)為，則，設(shè)乙投三次，投中的次數(shù)為，則，則，又，，，所以一共投中四次的概率為，故選：C.7．C【分析】函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，只需有一個(gè)變號(hào)實(shí)數(shù)根，反解參數(shù)，研究其單調(diào)性，得出的取值范圍.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以有一個(gè)變號(hào)實(shí)數(shù)根，即有一個(gè)變號(hào)的根，即與一個(gè)交點(diǎn)，且在該交點(diǎn)前后兩函數(shù)的大小關(guān)系發(fā)生變化，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當(dāng)，時(shí)都有當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，的取值范圍是故選：C8．D【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，要求解的不等式可化為，判斷F(x)單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，即在定義域R上單調(diào)遞減．∵，∴，∴不等式等價(jià)于，即，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有D符合題意．故選：D．9．BCD【分析】由古典概型概率公式計(jì)算概率判斷A；由二項(xiàng)分布的方差公式及方差的性質(zhì)計(jì)算后判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可判斷C；由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)至少有一名女生為事件，則，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，B正確；對(duì)于C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，所以，，C正確；對(duì)于D，，得，可得，解得，所以，D正確；故選：BCD10．BCD【分析】對(duì)A，按照分步乘法原理可計(jì)算；對(duì)B，從5個(gè)盒子中選出4個(gè)盒子的排列；對(duì)C，先選定兩個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同的球，再考慮剩下的兩個(gè)球不放進(jìn)自己編號(hào)的盒子放法；對(duì)D，即考慮哪個(gè)盒子為空的放法.【詳解】對(duì)于A，每個(gè)球都有5種放法，共有種放法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，把球全部放入盒子內(nèi)，恰有一個(gè)盒子不放球，則有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球，有種放法，故B正確；對(duì)于C，每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有種放法，故C正確；對(duì)于D，將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒，即有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球的放法有5種，故D正確.故選：BCD.11．ABC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值定義和奇偶性可判斷A；數(shù)形結(jié)合判斷B、C；賦值方法判斷D【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，得，令，得，令，得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為1，又是定義在上的奇函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為，故A對(duì)；當(dāng)時(shí)，則，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以

分別畫出和的圖象，得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，B對(duì)；令，得或或，令，得，或，如圖，分別畫出的圖象，

由圖可知：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，C對(duì)；令，則，故D錯(cuò)；故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法：一是通過(guò)解方程求出零點(diǎn)，二是數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解12．1587【分析】由本次模擬考試成績(jī)都近似服從正態(tài)分布，，87分以上共有228人，結(jié)合原則，求得，再由甲市學(xué)生在該次考試中成績(jī)?yōu)?6分，且，利用概率公式求解即得.【詳解】已知本次模擬考試成績(jī)都近似服從正態(tài)分布，由題意可得．，而即，解得．甲市學(xué)生在該次考試中成績(jī)?yōu)?6分，且，又，即．學(xué)生在甲市本次考試的大致名次為1587名．故答案為：158713．【分析】可分為兩類：（1）當(dāng)在個(gè)位數(shù)時(shí)，（2）當(dāng)不在個(gè)位數(shù)時(shí)，分別求得五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩類：（1）當(dāng)在個(gè)位數(shù)時(shí)，可構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，共有個(gè)；（2）當(dāng)不在個(gè)位數(shù)時(shí)，先從中任選一個(gè)數(shù)字排在個(gè)位數(shù)上，有種，在從剩余的非零數(shù)字中選一個(gè)數(shù)字排在首位，有種，最后從剩余的4個(gè)數(shù)字中，選出3個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有種，共有種.由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有個(gè)故答案為：312.14．【分析】切點(diǎn)為，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)點(diǎn)的切線方程，代入點(diǎn)得，令，由題意得有兩個(gè)不同的解，結(jié)合函數(shù)的圖象可求得t的范圍.【詳解】由求導(dǎo)，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程，由切線過(guò)，得，整理得，令，依題意方程有兩個(gè)不同的解，函數(shù)的對(duì)稱軸為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)的圖象.由圖知，方程有兩個(gè)不同的解等價(jià)于.即的范圍為，故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，由題意得到，即可求解；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1），直線的斜率為，依題意，所以；（2）定義域?yàn)?，由得到：?dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表:+0-單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以在時(shí)取得最大值，即最大值為16．(1)、(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所選條件，應(yīng)用組合數(shù)方程求得，由二項(xiàng)式的性質(zhì)確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)即可；（2）賦值法分別求出、，即可求目標(biāo)式的值；（3）利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)寫出常數(shù)項(xiàng)、含的項(xiàng)、含的項(xiàng)，即可得結(jié)果.【詳解】（1）選擇①，因?yàn)椋獾?，選擇②，因?yàn)椋獾?，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為和.（2）由（1）知：令，則，令，則，所以.（3）在的展開式中：常數(shù)項(xiàng)，含的項(xiàng)，含的項(xiàng)：，所以，在的展開式中，按的升冪排列的前三項(xiàng)是：.17．(1)(2)（ⅰ）分布列見(jiàn)解析，；（ⅱ）方案一【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可得；（2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分別求出兩種方案的期望，作差比較大小即可；【詳解】（1）設(shè)“停止比賽時(shí)小隊(duì)有人投中”為事件，則，所以.（2）（?。┑乃锌赡苋≈禐?，2，3，，；所以的分布列為123.（ⅱ）設(shè)方案二所需派出人員數(shù)目，同理可得，因?yàn)?，所以，所以，方案一可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.18．(1)①0.3975；②0.4403(2)與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可得出①的答案，進(jìn)而根據(jù)條件概率公式可得出②的答案；（2）由已知可求得，，，然后代入相關(guān)系數(shù)公式即可求出相關(guān)系數(shù)的值，進(jìn)而得出兩個(gè)變量線性相關(guān)性的強(qiáng)弱.【詳解】（1）設(shè)事件“抽取的是男性客戶”“青年客戶”，“中年客戶”，“老年客戶”，依題設(shè)，，①由全概率公式②（2）由題意，知，所以，所以，又，所以相關(guān)系數(shù)，顯然與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高.19．(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)3個(gè)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增