第五章平面向量、復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的慨念及線性運(yùn)算學(xué)習(xí)導(dǎo)航站核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)考點(diǎn)1向量的有關(guān)概念★★☆☆☆考點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算★★★☆☆考點(diǎn)3共線向量定理★★★☆☆【知識(shí)拓展】等和線★★★☆☆（星級(jí)越高，重要程度越高）限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯【知識(shí)梳理】1.向量的有關(guān)概念★★☆☆☆(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示,此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模),記作|AB|.(2)零向量:長(zhǎng)度為0的向量,記作0.(3)單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(4)平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,記作a∥b.規(guī)定:0與任一向量平行.(5)相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算★★★☆☆向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算三角形法則a-b=a+(-b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共線向量定理★★★☆☆向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.【名師點(diǎn)撥】1.中點(diǎn)公式的向量形式:若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任一點(diǎn),則OP=12(OA+OB2.OA=λOB+μOC(λ,μ為實(shí)數(shù)),若點(diǎn)A,B,C共線(O不在直線BC上),則λ+μ=1.3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn):一是不僅要考慮向量的大小,更要考慮向量的方向;二是要特別注意零向量的特殊性,考慮零向量是否也滿足條件.【教材回歸】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等和a,b的方向無(wú)關(guān).()(2)若a∥b,b∥c,則a∥c.()(3)向量AB與向量CD是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線時(shí),一定有b=λa,反之成立.()2.(人教A必修二P5T3改編)(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.非零向量AB與BA是兩平行向量B.若a=b,b=c,則a=cC.若a與b都是單位向量,則a=bD.若兩個(gè)單位向量平行,則這兩個(gè)單位向量相等3.(蘇教必修二P47T17改編)已知a,b是兩個(gè)不共線向量,向量b-ta與12a-32b共線,則實(shí)數(shù)t=4.(北師大必修二P89【典例】6改編)如圖,點(diǎn)O是?ABCD外一點(diǎn),用OA,OB,OC表示OD=.

【考向核心題型】考點(diǎn)一平面向量的概念【典例】1(1)(多選)下列命題正確的有()A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量C.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同D.“若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),且AB=DC”?“四邊形ABCD是平行四邊形”(2)設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使aa=bA.a=-b B.a∥bC.a=2b D.a∥b且|a|=|b|【變式訓(xùn)練】1(1)下列命題中正確的是()A.向量AB的長(zhǎng)度與向量BA的長(zhǎng)度相等B.向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反C.a與b同向,且|a|>|b|,則a>bD.兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量,一定是共線向量(2)如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,則與BC相等的向量為()A.BA B.CDC.AD D.OD考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算【典例】2(1)(2025·深圳模擬)在△ABC中,D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn),E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn),則AE=()A.-23CA+13CB C.-56CA+12CB D.(2)(2025·大連雙基測(cè)試)在△ABC中,若AD=mDB,CD=13CA+λCB,則A.23 B.1C.-13 D.-【變式訓(xùn)練】2(1)(2025·長(zhǎng)沙調(diào)研)已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),AD=35AB+2A.BD=25BC B.BDC.BD=32BC D.BD(2)(2025·西安模擬)在△ABC中,D在BC上,且BD=2DC,E在AD上,且AD=4AE.若BE=xAB+yAC,則x+y=()A.1312 B.3C.-34 D.-考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用【典例】3(1)(2025·泰州調(diào)研)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)與向量n=ke1-4e2(k∈R)共線,則()A.k=0 B.k=±2C.k=2 D.k=-2(2)(2025·衡水調(diào)研)已知點(diǎn)O是△ABC的重心,過(guò)點(diǎn)O的直線與邊AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn),D為邊BC的中點(diǎn).若AD=xAM+yAN(x,y∈R),則x+y=()A.32 B.2C.2 D.1【變式訓(xùn)練】3(1)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,OA=3e1+2e2,OB=4e1+ke2,OC=5e1-4e2,若A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-1 B.0 C.1 D.2(2)(2025·青島調(diào)研)在△ABC中,BC=3BD,CF=2FA,E是AB的中點(diǎn),EF與AD交于點(diǎn)P.若AP=mAB+nAC(m,n∈R),則m+n=()A.37 B.4C.67 【知識(shí)拓展】等和線★★★☆☆等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理:如圖,由三點(diǎn)共線結(jié)論可知,若OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ=1,由△OAB與△OA′B′相似,必存在一個(gè)常數(shù)k,使得OP'=kOP,則OP'=kOP=kλOA+kμOB,又OP'=xOA+yOB(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立(2)平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP',OP'=λOA+μOB(λ,μ∈R),若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值);反之也成立,我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.【典例】給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°,如圖,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是.

【變式訓(xùn)練】如圖,在△ABC中,H為BC上異于B,C的任一點(diǎn),M為AH的中點(diǎn),若AM=λAB+μAC,則λ+μ=.

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）一、單選題1.化簡(jiǎn)2(a-3b)-3(a+b)的結(jié)果為()A.a+4b B.-a-9bC.2a+b D.a-3b2.下列命題中正確的是()A.|a|+|b|=|a-b|?a與b方向相反B.在△ABC中,AB+BC+CA=0C.若兩個(gè)單位向量互相平行,則這兩個(gè)單位向量相反D.如果非零向量a,b的方向相同或相反,那么a+b的方向與a,b之一的方向一定相同3.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,向量a+b+c可表示為()A.2e1-3e2B.3e1-2e2C.2e1+3e2D.3e1+2e24.(2025·蘭州診斷)已知向量a,b不共線,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c與d方向相反,則實(shí)數(shù)x的值為()A.1 B.-1C.1或-12 D.-1或-5.在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn),設(shè)AB=a,AC=b,則AE=()A.12a+14b B.12aC.14a+12b D.14a6.(2025·佛山質(zhì)檢)在△ABC中,AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,線段AD與BE交于點(diǎn)F,則CF=()A.13a+23b B.13aC.-13a+23b D.-13a7.已知D為線段AB上的任意一點(diǎn),O為直線AB外一點(diǎn),A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C.若OD=xOB+yOC,則x-y的值為()A.-1 B.0C.1 D.28.(2025·鄭州聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD的中點(diǎn),DE與BF相交于點(diǎn)G,則AG=()A.23AB+23AD C.13AB+13AD 二、多選題9.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,則△ABC不可能是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形10.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是()A.AC-AD=1B.|OA+2OC|=0C.OA=23CDD.AB+BC+CD+DA=011.下列命題正確的是()A.若A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,且AB=CD,則AB=CDB.在△ABC中,若O點(diǎn)滿足OA+OB+OC=0,則O點(diǎn)是△ABC的重心C.若a=(1,1),把a(bǔ)向右平移2個(gè)單位,得到的向量的坐標(biāo)為(3,1)D.在△ABC中,若CP=λCA|CA|+CB|CB三、填空題12.在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CD|=.

13.已知e1,e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,MN=2e1-3e2,NP=λe1+6e2,若M,N,P三點(diǎn)共線,則λ=.

14.在△ABC中,P是BC上一點(diǎn),若BP=2PC,AP=λAB+μAC,則2λ+μ=.

四、解答題15