第21頁(yè)（共21頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之?dāng)?shù)列的概念一．選擇題（共6小題）1．設(shè)數(shù)列{xn}為項(xiàng)數(shù)為n（n≥3，n∈N）的嚴(yán)格增數(shù)列，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)．若對(duì)于數(shù)列{xn}中的任意兩項(xiàng)xi、xj（1≤i＜j≤n），均有xj-xA．6 B．7 C．10 D．112．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝9，an+1﹣an＝n，則a4＝（）A．20 B．18 C．15 D．103．?dāng)?shù)列﹣2，43A．(-1)nnC．(-1)n4．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn＝n2+3n+2，則下列判斷正確的是（）A．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 B．a(chǎn)5＝11 C．?dāng)?shù)列{Sn}存在最大值 D．?dāng)?shù)列{16．對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過(guò)在該數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的之和，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依此類(lèi)推，第n次得到數(shù)列1，x1，x2，x3，…，5．記第n次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為Sn，則{Sn}的通項(xiàng)公式Sn＝（）A．3n+1+3 B．3n+1+1 C．3n+3 D．3n+1二．多選題（共3小題）（多選）7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝9，an＝an+1+3，則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)5﹣a1＝﹣12 B．{an}是遞增數(shù)列 C．當(dāng)n＞4時(shí)，an＜0 D．當(dāng)n＝3或4時(shí)，Sn取得最大值（多選）8．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．S5＝60 C．d∈D．?dāng)?shù)列{an}中最大項(xiàng)為第6項(xiàng)（多選）9．下列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中，是遞增數(shù)列的是（）A．a(chǎn)n＝﹣3n﹣1 B．a(chǎn)n＝5n﹣3 C．a(chǎn)n=7+2n三．填空題（共4小題）10．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為12，34，58，716，則數(shù)列{a11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2-11n+9，則{an12．?dāng)?shù)列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），則稱(chēng)ak為{an}的一個(gè)峰值．若an＝﹣3n2+11n，則{an}的峰值為；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．13．?dāng)?shù)列{(n+3)(89)n}的最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則四．解答題（共2小題）14．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an（1）這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？（2）150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？15．若數(shù)列{an}與{bn}都是嚴(yán)格增數(shù)列且無(wú)公共項(xiàng)，將它們的項(xiàng)合并在一起并按由小到大的順序排列，在得到的新數(shù)列中，來(lái)自{bn}的任意兩項(xiàng)均不相鄰，則稱(chēng){an}為{bn}的“隔數(shù)列”．（1）若{an}是首項(xiàng)與公差均為整數(shù)的等差數(shù)列，bn＝2n，且數(shù)列a1，a2，a3是數(shù)列b1，b2，b3，b4的“隔數(shù)列”，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若an＝2n，{bn}是首項(xiàng)為1、公比為m10的等比數(shù)列，且數(shù)列a1，a2，a3，a4是數(shù)列b1，b2，b3，b4的“隔數(shù)列”，求整數(shù)m（3）設(shè){an}是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔數(shù)列”，求q的取值范圍．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之?dāng)?shù)列的概念參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案DCBDDA二．多選題（共3小題）題號(hào)789答案ACDBCBC一．選擇題（共6小題）1．設(shè)數(shù)列{xn}為項(xiàng)數(shù)為n（n≥3，n∈N）的嚴(yán)格增數(shù)列，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)．若對(duì)于數(shù)列{xn}中的任意兩項(xiàng)xi、xj（1≤i＜j≤n），均有xj-xA．6 B．7 C．10 D．11【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)xj-xi≥xjx【解答】解：∵數(shù)列{xn}每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且xj∴1xi-設(shè)yk=1xk，則數(shù)列∴1xi≥136+1想要n盡量大，就要讓yk盡量慢的遞減，且xk必須是正整數(shù)，從x1＝1開(kāi)始，則y1＝1，y2≤1-136=3536y3≤12-136y4≤13-136y5≤14-136y6≤15-136y7≤16-136y8≤18-136y9≤111-136y10≤116-136y11≤129-136y12≤1150-故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．2．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝9，an+1﹣an＝n，則a4＝（）A．20 B．18 C．15 D．10【考點(diǎn)】由通項(xiàng)公式求解或判斷數(shù)列中的項(xiàng)．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用累加法分析求解即可．【解答】解：數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝9，an+1﹣an＝n，則a4﹣a3＝3，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，相加可得a4﹣a1＝6，即a4＝a1+6，且a1＝9，∴a4＝a1+6＝15．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．?dāng)?shù)列﹣2，43A．(-1)nnC．(-1)n【考點(diǎn)】由數(shù)列若干項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)抽象．【答案】B【分析】結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)n＝1時(shí)，A，C，D與已知顯然不符合；故﹣2，43，-65，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)求解數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．【解答】解：等比數(shù)列﹣1，﹣2，﹣4，…，滿(mǎn)足公比q＝2＞1，但{an}不是遞增數(shù)列，充分性不成立．若an＝﹣1?（12）n﹣1為遞增數(shù)列，但q=1故“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵．5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn＝n2+3n+2，則下列判斷正確的是（）A．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列 B．a(chǎn)5＝11 C．?dāng)?shù)列{Sn}存在最大值 D．?dāng)?shù)列{1【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【專(zhuān)題】計(jì)算題；分類(lèi)討論；分析法；分類(lèi)法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)Sn寫(xiě)出通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式逐項(xiàng)求解即可．【解答】解：由Sn=n2+3n+2∴an=S1，n=1，Sn將n＝5代入{an}的通項(xiàng)公式可得a5＝2×5+2＝12，故B錯(cuò)誤．由Sn=n2+3n+2知，數(shù)列{Sn由1Sn=1n故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義與數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．6．對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過(guò)在該數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的之和，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依此類(lèi)推，第n次得到數(shù)列1，x1，x2，x3，…，5．記第n次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為Sn，則{Sn}的通項(xiàng)公式Sn＝（）A．3n+1+3 B．3n+1+1 C．3n+3 D．3n+1【考點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】依據(jù)題意構(gòu)造數(shù)列，分析規(guī)律，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，第1次得到數(shù)列1，6，5，則S1＝1+6+5＝12，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，則S2＝1+7+6+11+5＝12+18＝12+6×3，依次類(lèi)推：S3S4＝1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5＝12+18+54+162＝12+6×3+6×32+6×33＝12+6×（31+32+33），??，歸納可得：Sn=12+6×(31+所以{Sn}的通項(xiàng)公式Sn故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝9，an＝an+1+3，則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)5﹣a1＝﹣12 B．{an}是遞增數(shù)列 C．當(dāng)n＞4時(shí)，an＜0 D．當(dāng)n＝3或4時(shí)，Sn取得最大值【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】由題意可知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為9，公差為﹣3的等差數(shù)列，由此求得其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)閿?shù)列{an}滿(mǎn)足，an＝an+1+3，即an+1﹣an＝﹣3，又a1＝9，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為9，公差d＝﹣3的等差數(shù)列，故an＝a1+（n﹣1）×d＝﹣3n+12，Sn依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A：a5﹣a1＝4d＝﹣12，A正確．對(duì)于B：因?yàn)楣顬椹?，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，B錯(cuò)誤．對(duì)于C：當(dāng)n＞4，﹣3n+12＜0，即an＜0，C正確．對(duì)于D：Sn所以Sn在1≤n≤3時(shí)單調(diào)遞增，在n≥4時(shí)單調(diào)遞減，因?yàn)镾3＝18，S4＝18，所以當(dāng)n＝3或4時(shí)，Sn取得最大值，最大值為18，所以D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．S5＝60 C．d∈D．?dāng)?shù)列{an}中最大項(xiàng)為第6項(xiàng)【考點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性；數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)；求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到關(guān)于d的不等式組進(jìn)行求解，即可判斷AC；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算判定B；利用單調(diào)性判定D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，a3＝12，S12＞0，S13＜0，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A、C，由于S12＞0，S13＜0，則S12=12(則a7＜0，a6+a7＞0，又a3＝12，則24+7d＞0由于d＜0，則等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于B，由a3＝12，得S5=5(對(duì)于D，由等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，得數(shù)列{an}中最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．下列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中，是遞增數(shù)列的是（）A．a(chǎn)n＝﹣3n﹣1 B．a(chǎn)n＝5n﹣3 C．a(chǎn)n=7+2n【考點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性定義，驗(yàn)證an+1﹣an＞0是否成立，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，∵an+1﹣an＝﹣3（n+1）﹣1+3n+1＝﹣3＜0，∴數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵an+1﹣an＝5（n+1）﹣3﹣5n+3＝5＞0，∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，B正確；對(duì)于C，∵an+1-an=7+2n對(duì)于D，an∵2n2+2n+1=2(n+12)2∴數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）10．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為12，34，58，716，則數(shù)列{a【考點(diǎn)】由數(shù)列若干項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】2n【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)列的規(guī)律，即可求解．【解答】解：數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為12即為：2×1-121，2×2-122，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2故答案為：2n【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2-11n+9，則{an【考點(diǎn)】數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)；數(shù)列的函數(shù)特性．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】﹣6．【分析】由通項(xiàng)公式得an=2(n-114【解答】解：由an當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝8﹣22+9＝﹣5，當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝18﹣33+9＝﹣6，所以{an}中最小項(xiàng)的值為﹣6．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的函數(shù)特性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．?dāng)?shù)列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），則稱(chēng)ak為{an}的一個(gè)峰值．若an＝﹣3n2+11n，則{an}的峰值為10；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（﹣∞，1ln2）【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】10；（﹣∞，1ln【分析】（1）令f(n)=an=-3（2）若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，則相應(yīng)的函數(shù)不存在極大值，從而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）若an=-3n2+11n，令f（n）＝﹣3n2+11n因此，存在n＝2，滿(mǎn)足a2≥a1且a2≥a3，所以{an}的峰值為a2＝﹣3×4+11×2＝10；（2）令f（x）＝tlnx﹣x（x≥1），則f′（x）=t①若t≤0，則f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí){an}不存在峰值，符合題意；②若t＞0，則當(dāng)0＜x＜t時(shí)，f′（x）＞0，x＞t時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，t）上為增函數(shù)，在（t，+∞）上為減函數(shù)，若要an＝f（n）＝tlnn﹣n（n∈N*）不存在峰值，則必須t＜2f(1)＞f(2)，即綜上所述，t＜1ln2，即實(shí)數(shù)t故答案為：10；（﹣∞，1ln【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的基本概念、數(shù)列的函數(shù)特征、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等知識(shí)，屬于中檔題．13．?dāng)?shù)列{(n+3)(89)n}的最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則k＝【考點(diǎn)】數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】5或6．【分析】由題意列出不等式(k【解答】解：根據(jù)題意可知，數(shù)列{(n+3)(所以(k+3)(89)k≥(k由于k是正整數(shù)，所以k＝5或6．故答案為：5或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an（1）這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？（2）150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）﹣6；（2）16項(xiàng)．【分析】（1）利用數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式能求出這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)．（2）由an=【解答】解：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an∴這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是：a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．（2）an=n2-7n+6=150，即n2解得n＝16或n＝﹣9（舍），∴150是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第16項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．若數(shù)列{an}與{bn}都是嚴(yán)格增數(shù)列且無(wú)公共項(xiàng)，將它們的項(xiàng)合并在一起并按由小到大的順序排列，在得到的新數(shù)列中，來(lái)自{bn}的任意兩項(xiàng)均不相鄰，則稱(chēng){an}為{bn}的“隔數(shù)列”．（1）若{an}是首項(xiàng)與公差均為整數(shù)的等差數(shù)列，bn＝2n，且數(shù)列a1，a2，a3是數(shù)列b1，b2，b3，b4的“隔數(shù)列”，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若an＝2n，{bn}是首項(xiàng)為1、公比為m10的等比數(shù)列，且數(shù)列a1，a2，a3，a4是數(shù)列b1，b2，b3，b4的“隔數(shù)列”，求整數(shù)m（3）設(shè){an}是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔數(shù)列”，求q的取值范圍．【考點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解；新定義類(lèi)．【答案】（1）an＝3n或an＝4n﹣1；（2）m的值為21，22，23，24，25，26，27，28；（3）[2，+∞）．【分析】（1）根據(jù)新定義及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)新定義及數(shù)列的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則a1，d∈Z，∵數(shù)列a1，a1+d，a1+2d是數(shù)列2，4，8，16的“隔數(shù)列”，∴d＞0，2＜a1＜4＜a1+d＜8＜a1+2d＜16，∴a1＝3且2.5＜d＜5，∴d＝3或4，∴an＝3n或an＝4n﹣1；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由數(shù)列2，4，6，8是數(shù)列1，q，q2，q3的“隔數(shù)列”，可得q＞2，相應(yīng)地q2＞4，q3＞8，∴1＜2＜q＜4＜6＜q2＜8＜q3或1＜2＜q＜4＜q2＜6＜8＜q3，解得6＜q＜∴m10∴整數(shù)m的值為21，22，23，24，25，26，27，28；（3）∵{Sn}是{an+1}的“隔數(shù)列”，∴{Sn}與{an+1}都是嚴(yán)格增數(shù)列，∵{Sn}是嚴(yán)格增數(shù)列，∴an+1=又{an+1}是嚴(yán)格增數(shù)列，∴an+2＞an+1，∴a1qn∴q＞1且a1＞0，又Sn＞an對(duì)一切大于等于2的整數(shù)恒成立，∴S1＜a2＜S2＜a3＜S3＜a4＜S4＜…＜an＜Sn＜an+1＜Sn+1＜…，∴Sn＜an+1對(duì)一切正整數(shù)n都成立，∴a1(q∴2-q＜∴2﹣q≤0，∴q的取值范圍是[2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的新定義，數(shù)列的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)列及其有關(guān)概念，（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，又稱(chēng)為首項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，..簡(jiǎn)記作{an}，此處的n是序號(hào)．3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分為兩類(lèi)，有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類(lèi)，可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列；4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，則稱(chēng)這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．幾個(gè)認(rèn)識(shí)：（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求同數(shù)列的項(xiàng)，這與已知函數(shù)的解析式，求某一自變量的函數(shù)值是一致的．（2）有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，如2的近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，…時(shí)，所構(gòu)成的數(shù)列，1，1.4，1.41，1.414，…，此數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（前幾項(xiàng)）（n≥2，n∈N*）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2．由數(shù)列若干項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)列及其有關(guān)概念，（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，又稱(chēng)為首項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，..簡(jiǎn)記作{an}，此處的n是序號(hào)．3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分為兩類(lèi)，有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類(lèi)，可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列；4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，則稱(chēng)這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．幾個(gè)認(rèn)識(shí)：（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求同數(shù)列的項(xiàng)，這與已知函數(shù)的解析式，求某一自變量的函數(shù)值是一致的．（2）有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，如2的近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，…時(shí)，所構(gòu)成的數(shù)列，1，1.4，1.41，1.414，…，此數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（前幾項(xiàng)）（n≥2，n∈N*）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【解題方法點(diǎn)撥】﹣觀(guān)察規(guī)律：通過(guò)觀(guān)察數(shù)列前幾項(xiàng)的規(guī)律，推導(dǎo)出通項(xiàng)公式．﹣設(shè)未知數(shù)：假設(shè)通項(xiàng)公式an＝f（n），代入前幾項(xiàng)求解參數(shù)．﹣驗(yàn)證公式：驗(yàn)證推導(dǎo)出的通項(xiàng)公式是否適用于數(shù)列的每一項(xiàng)．【命題方向】常見(jiàn)題型包括通過(guò)數(shù)列的前幾項(xiàng)推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．?dāng)?shù)列﹣2，1，-23，12A．a(chǎn)n＝（﹣1）n+12B．a(chǎn)n＝（﹣1）nnC．a(chǎn)n＝（﹣1）n2D．a(chǎn)n＝（﹣1）n+12解：根據(jù)題意，數(shù)列﹣2，1，-23，12，-25，…的前5項(xiàng)可以寫(xiě)成（﹣1）1×21、（﹣1）2×22、（﹣1）3×23則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為an＝（﹣1）n×2故選：C．3．由通項(xiàng)公式求解或判斷數(shù)列中的項(xiàng)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)列及其有關(guān)概念，（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，又稱(chēng)為首項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，..簡(jiǎn)記作{an}，此處的n是序號(hào)．3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分為兩類(lèi)，有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類(lèi)，可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列；4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，則稱(chēng)這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．幾個(gè)認(rèn)識(shí)：（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求同數(shù)列的項(xiàng)，這與已知函數(shù)的解析式，求某一自變量的函數(shù)值是一致的．（2）有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，如2的近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，…時(shí)，所構(gòu)成的數(shù)列，1，1.4，1.41，1.414，…，此數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（前幾項(xiàng)）（n≥2，n∈N*）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【解題方法點(diǎn)撥】由通項(xiàng)公式求解或判斷數(shù)列中的項(xiàng)是指根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算某一項(xiàng)的值或判斷某一項(xiàng)的性質(zhì)．代入計(jì)算：將通項(xiàng)公式中的n取不同的值，計(jì)算數(shù)列的具體項(xiàng)．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用通項(xiàng)公式計(jì)算數(shù)列的具體項(xiàng)或判斷數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2+n，則下列是該數(shù)列中的項(xiàng)的是（）A．18B．12C．25D．30解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2+n，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若an＝n2+n＝18，無(wú)正整數(shù)解，不符合題意，對(duì)于B，若an＝n2+n＝12，解可得n＝3或﹣4，有正整數(shù)解n＝3，符合題意，對(duì)于C，若an＝n2+n＝25，無(wú)正整數(shù)解，不符合題意，對(duì)于D，若an＝n2+n＝30，解可得n＝5或﹣6，有正整數(shù)解n＝5，符合題意，故選：BD．4．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn﹣1；前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-qn3、用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）對(duì)于等差數(shù)列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當(dāng)d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線(xiàn)上的若干個(gè)點(diǎn)．當(dāng)d＞0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d＝0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù)．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當(dāng)p＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問(wèn)題．（2）對(duì)于等比數(shù)列：an＝a1qn﹣1．可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)理解．當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列．當(dāng)q＜0時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設(shè)等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn}也為等差數(shù)列，則SA．310B．212C．180D．121解：∵等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=n∴SnS1=1，S2∵數(shù)列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故選：D．5．?dāng)?shù)列的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的單調(diào)性是指數(shù)列是遞增還是遞減的性質(zhì)．由于數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)an與它的序號(hào)n是一一對(duì)應(yīng)的，所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f（n）．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f（1），f（2），…，f（n），…就是數(shù)列{an}．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義判斷：根據(jù)數(shù)列的定義或通項(xiàng)公式判斷其單調(diào)性．﹣遞推關(guān)系：利用數(shù)列的遞