第2章

一元二次函數(shù)、方程和不等式

章末小結目錄索引知識網(wǎng)絡·整合構建專題突破·素養(yǎng)提升易錯易混·銜接高考知識網(wǎng)絡·整合構建專題突破·素養(yǎng)提升專題一不等式及其性質(zhì)1.不等式及其性質(zhì)貫穿整個高中數(shù)學階段,只要是涉及范圍的問題,都和不等式有關,在高中數(shù)學中有著很高的地位.2.掌握不等式的運算性質(zhì),重點提升數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).

D

(2)對于實數(shù)a,b,c,下列命題正確的是(

)A.若a>b,則ac2>bc2B.若a>b,則a2>b2C.若a>b,則a|a|>b|b|C解析

A選項,ac2-bc2=(a-b)c2≥0,故A錯誤;B選項,a2-b2=(a-b)(a+b),因為無法確定a+b的正負,故B錯誤;C選項,當a>b>0時,a|a|-b|b|=a2-b2=(a-b)(a+b)>0;當a>0>b時,a|a|-b|b|=a2+b2>0,當0>a>b時,a|a|-b|b|=-a2+b2=(b-a)(a+b)>0.規(guī)律方法

不等式及其性質(zhì)的兩個關注點(1)作差法是比較兩個實數(shù)大小的基本方法.(2)應用不等式的基本性質(zhì)可以證明不等式,但一定要注意應用條件;當判斷不等式是否成立時,常常選擇特殊值法.

BD

(2)已知0≤a+b<1,2≤a-b<3,則b的取值范圍是

.

基本不等式(a>0,b>0)是高考熱點,主要考查實數(shù)比較大小、不等式證明以及求最值問題,特別是求最值問題往往與實際問題相結合,同時在基本不等式的使用條件上設置一些問題,實際上是考查學生恒等變形的技巧,另外,基本不等式的和與積的轉(zhuǎn)化在高考中也經(jīng)常出現(xiàn).重點提升數(shù)學抽象和數(shù)學運算能力.專題二基本不等式及應用

ACD

6規(guī)律方法1.注意尋求已知條件與目標式子之間的聯(lián)系.2.利用添項和拆項的配湊方法,使積(或和)產(chǎn)生定值.特別注意“1”的代換.變式訓練2已知x>0,y>0.(1)若x+9y+xy=7,求3xy的最大值;專題三解一元二次不等式1.對于不含參數(shù)的一元二次不等式首先轉(zhuǎn)化為標準形式(二次項系數(shù)為正),然后能分解因式的變成因式相乘的形式,從而得到不等式的解集.2.對于含參數(shù)的不等式要注意對參數(shù)進行討論,做到不重不漏.【例3】

已知關于x的方程x2+ax+4=0有實根,集合B={x|x2+(3-b)|x|-3b>0}.(1)求實數(shù)a的取值集合A;(2)在(1)的條件下,若A∪B=A,求實數(shù)b的取值范圍.解

(1)方程x2+ax+4=0有實根,則Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4,所以A={a|a≤-4或a≥4}.(2)若A∪B=A,則B?A,B={x|(|x|+3)(|x|-b)>0},得到|x|-b>0,若b≤0,則B=R,A?B,不合題意,舍去,所以b>0,|x|-b>0得到x>b或x<-b,所以b≥4.綜上,實數(shù)b的取值范圍為{b|b≥4}.規(guī)律方法對于含參數(shù)的一元二次不等式,若二次項系數(shù)為常數(shù),則可先考慮分解因式,再對參數(shù)進行討論;若不易分解因式,則可對判別式分類討論,分類要不重不漏.

解

(1)因為不等式ax2-3x+2>0的解集為{x|x<1或x>b},所以a×12-3×1+2=0,所以a=1,所以x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,所以b=2.

專題四不等式的實際應用本專題主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,構建數(shù)學模型是關鍵,重點培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng),不等式的應用題常以函數(shù)為背景,多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題.

規(guī)律方法認識數(shù)學模型在科學、社會工程等諸多領域的作用,提升建模能力、實踐能力,最后不要忘記對數(shù)學結論的還原以驗證是否符合實際情況.

易錯易混·銜接高考1.如果a<b<0,那么下列式子中一定成立的是(

)A解析

由a<b<0,得a2>ab>0,A正確;由a<b<0,得-a>-b>0,則a2>b2,B錯誤;2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切x∈R恒成立,則a的取值范圍是(

)A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2}C.{a|-2<a≤2} D.{a|-2<a<2}C解析

當a-2=0,即a=2時,不等式為-4<0,對一切x∈R恒成立.綜上,實數(shù)a的取值范圍是-2<a≤2.故選C.

C

4.(2022新高考Ⅱ,12)(多選題)若實數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1,則(

)A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1BC5.(2024上海,3)已知x∈R,則不等式x