2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異試題一、選擇題（每題5分，共60分）（一）基礎(chǔ)概念辨析下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)速度最快的是（）A.(y=2x+1)B.(y=x^2)C.(y=2^x)D.(y=\log_2x)已知函數(shù)(f(x)=x^3)與(g(x)=3^x)，則當(dāng)(x>4)時(shí)，下列關(guān)系正確的是（）A.(f(x)>g(x))B.(f(x)=g(x))C.(f(x)<g(x))D.無法確定若函數(shù)(f(x)=ax+b)與(g(x)=x^2)在區(qū)間[m,n]上的增長(zhǎng)速度相同，則a的值為（）A.2mB.2nC.m+nD.無法確定（二）圖像與性質(zhì)應(yīng)用函數(shù)(y=10^x)與(y=x^{10})的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，下列不等式恒成立的是（）A.(\lnx>x-1)B.(e^x>x^2)C.(2^x>x^3)D.(\log_3x>\frac{1}{x})某公司投資項(xiàng)目，甲方案的利潤(rùn)函數(shù)為(f(t)=100t)（萬元），乙方案的利潤(rùn)函數(shù)為(g(t)=2^t-1)（萬元），其中t為投資時(shí)間（年）。若投資期限為5年，優(yōu)先選擇方案的依據(jù)是（）A.第3年利潤(rùn)更高B.5年總利潤(rùn)更高C.第5年利潤(rùn)更高D.利潤(rùn)增長(zhǎng)速度更快（三）綜合比較與計(jì)算已知(f(x)=x^a)，(g(x)=a^x)（a>1），若存在(x_0>0)使得(f(x_0)=g(x_0))，則a的取值范圍是（）A.(1,e)B.(e,+∞)C.(1,+∞)D.不存在函數(shù)(f(x)=\log_2x)，(g(x)=x-1)，(h(x)=2^x-3)在區(qū)間(2,3)上的函數(shù)值大小關(guān)系為（）A.(f(x)>g(x)>h(x))B.(h(x)>g(x)>f(x))C.(g(x)>h(x)>f(x))D.(h(x)>f(x)>g(x))若(3^x=x^3)的實(shí)根為(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），則(x_1+x_2)的值所在區(qū)間為（）A.(3,4)B.(4,5)C.(5,6)D.(6,7)對(duì)于任意(x>0)，不等式(e^x-ax^2>0)恒成立，則a的最大值為（）A.eB.(\frac{e^2}{4})C.(\frac{e}{2})D.2e函數(shù)(f(x)=x^2)與(g(x)=e^x)的增長(zhǎng)差異中，下列描述錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，g(x)比f(x)增長(zhǎng)更快B.存在唯一(x_0)使得(f(x_0)=g(x_0))C.在區(qū)間(0,2)上，f(x)增長(zhǎng)速度逐漸加快D.g(x)的圖像始終在f(x)圖像上方已知函數(shù)(f(x)=kx)與(g(x)=\lnx)的圖像相切，則k的值為（）A.eB.(\frac{1}{e})C.1D.(\frac{1}{e^2})二、填空題（每題5分，共20分）函數(shù)(y=x^2)與(y=2^x)在區(qū)間(0,1)上的交點(diǎn)坐標(biāo)為________。若(f(x)=x^3)與(g(x)=3^x)的圖像在區(qū)間(a,a+1)內(nèi)有唯一交點(diǎn)，則整數(shù)a的值為________。某細(xì)胞分裂模型中，細(xì)胞數(shù)量N(t)與時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系為(N(t)=2^t)，若初始數(shù)量為1個(gè)，當(dāng)細(xì)胞數(shù)量超過1000個(gè)時(shí)，t的最小整數(shù)值為________。已知函數(shù)(f(x)=e^x-x-1)，(g(x)=x^2-x)，則當(dāng)x>0時(shí)，(f(x)-g(x))的符號(hào)為________（填“正”或“負(fù)”）。三、解答題（共70分）（一）基礎(chǔ)應(yīng)用題（17題12分，18題14分）已知函數(shù)(f(x)=2^x)，(g(x)=x^2+1)。（1）在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)在[0,5]上的圖像；（2）求出兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）比較當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f(x)與g(x)的大小關(guān)系。某工廠生產(chǎn)兩種設(shè)備，A設(shè)備的成本函數(shù)為(C_A(x)=100x+500)（元），B設(shè)備的成本函數(shù)為(C_B(x)=2^x)（元），其中x為生產(chǎn)量（臺(tái)）。（1）當(dāng)x=5時(shí)，哪種設(shè)備成本更低？（2）求成本相等時(shí)的生產(chǎn)量x；（3）若計(jì)劃生產(chǎn)10臺(tái)設(shè)備，選擇哪種設(shè)備更經(jīng)濟(jì)？（二）綜合分析題（19題16分，20題18分）設(shè)函數(shù)(f(x)=\log_ax)（a>1），(g(x)=x-1)。（1）證明：當(dāng)x>1時(shí)，(g(x)>f(x))；（2）若存在(x_0>1)使得(f(x_0)=g(x_0))，求a的取值范圍；（3）比較(f(100))與(g(100))的大小，并說明理由。某城市人口增長(zhǎng)模型如下：模型一：線性增長(zhǎng)(P(t)=100+5t)（萬人），t為年份（t=0對(duì)應(yīng)2020年）；模型二：指數(shù)增長(zhǎng)(Q(t)=100\times1.05^t)（萬人）。（1）計(jì)算2030年（t=10）兩種模型的人口數(shù)量；（2）求人口數(shù)量相等的年份（精確到整數(shù)年）；（3）若城市資源承載力為200萬人，分析哪種模型下人口先突破承載力，并求出對(duì)應(yīng)的年份。（三）拓展探究題（21題10分）已知函數(shù)(f(x)=x^n)（n∈N*）與(g(x)=a^x)（a>1），探究當(dāng)x足夠大時(shí)，兩函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，并舉例說明指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度“最終會(huì)超過”冪函數(shù)的實(shí)際意義。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分示例）一、選擇題C（指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快）C（當(dāng)x=5時(shí)，3^5=243>5^3=125）...二、填空題(2,4)和(4,16)2（區(qū)間(2,3)內(nèi)有交點(diǎn)x=3）...三、解答題（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)、(2,4)、(4,16)（3）當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f(x)≤g(x)（x=2和x=4時(shí)相等）...（注：完整試題及答案可結(jié)合教材例題與實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)一步