考研數(shù)學(xué)2025年概率統(tǒng)計(jì)測(cè)試試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空4分，共20分）1.設(shè)事件A和B互斥，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.5，則P(B)=______。2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=(k+1)/15，k=1,2,3，則P(X≥2)=______。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=______。4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為E(X)=2，E(Y)=3，方差分別為D(X)=1，D(Y)=4，且cov(X,Y)=1，則E(3X-2Y+5)=______。5.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋中有放回地抽取3次，每次抽取一個(gè)球，則抽到紅球次數(shù)恰好為2次的概率為_(kāi)_____。二、選擇題（每題5分，共20分）1.下列函數(shù)中，可以作為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的是（）。A.F(x)={0,x<0;1/2,0≤x<1;1,x≥1}B.F(x)={0,x<0;x^2,0≤x<1;1,x≥1}C.F(x)={0,x<0;sinx,0≤x<π/2;1,x≥π/2}D.F(x)={0,x<0;e^x,0≤x<1;1,x≥1}2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則P(X≤Y)=______。A.1/2B.1/3C.2/3D.13.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差為0，則下列說(shuō)法正確的是（）。A.X和Y相互獨(dú)立B.X和Y不相關(guān)C.X和Y一定線性相關(guān)D.X和Y一定線性無(wú)關(guān)4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，X1,X2,...,Xn為來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則下列統(tǒng)計(jì)量中，不是μ的無(wú)偏估計(jì)量的是（）。A.X?=(1/n)∑_{i=1}^nXiB.X?'=(1/(n-1))∑_{i=1}^nXiC.X(1)=min{X1,X2,...,Xn}D.X(n)=max{X1,X2,...,Xn}三、解答題（共60分）1.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示：||Y=0|Y=1||-------|-------|-------||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|0.4|求：（1）隨機(jī)變量X和Y的邊緣分布律；（2）P(X=1|Y=0)；（3）P(X+Y=1)。2.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={ke^{-x},x≥0;0,x<0}。（1）求常數(shù)k的值；（2）求P(X>1)；（3）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)。3.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布。求隨機(jī)變量Z=X^2+Y^2的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。4.（10分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0為未知參數(shù)。X1,X2,...,Xn為來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。（1）求θ的矩估計(jì)量；（2）求θ的最大似然估計(jì)量。5.（20分）從一批燈泡中隨機(jī)抽取10個(gè)燈泡，測(cè)得它們的壽命（單位：小時(shí)）如下：1500,1550,1450,1600,1700,1400,1500,1550,1650,1350。假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=1500vsH1:μ≠1500（顯著性水平α=0.05）。（1）寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；（2）求拒絕域；（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)做出檢驗(yàn)結(jié)論。試卷答案一、填空題（每空4分，共20分）1.0.22.2/33.14.15.18/125二、選擇題（每題5分，共20分）1.B2.C3.B4.B三、解答題（共60分）1.（10分）（1）P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.2=0.3；P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.3+0.4=0.7。P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0.1+0.3=0.4；P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.4=0.6。（2）P(X=1|Y=0)=P(X=1,Y=0)/P(Y=0)=0.3/0.4=3/4。（3）P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.2+0.3=0.5。2.（10分）（1）∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1，即∫_0^{+∞}ke^{-x}dx=1。計(jì)算得k=1。（2）P(X>1)=∫_1^{+∞}e^{-x}dx=e^{-1}。（3）E(X)=∫_0^{+∞}xe^{-x}dx=1。E(X^2)=∫_0^{+∞}x^2e^{-x}dx=2。D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1。3.（10分）（1）F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X^2+Y^2≤z)。當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)_Z(z)=0。當(dāng)z≥0時(shí)，F(xiàn)_Z(z)=P(√-z<X<√z,√-z<Y<√z)=∫_0^√z∫_0^√ze^{-(x^2+y^2)}dxdy=π(1-e^{-z})/4。（2）f_Z(z)=dF_Z(z)/dz={π/4e^{-z}/2,z≥0;0,z<0}。4.（10分）（1）E(X)=∫_0^1xθx^(θ-1)dx=θ/2。令E(X)=θ/2，得θ的矩估計(jì)量θ?=2X?。（2）似然函數(shù)L(θ)=(∏_{i=1}^nθx_i^(θ-1))，取對(duì)數(shù)得lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)∑_{i=1}^nlnx_i。對(duì)θ求導(dǎo)并令其為0，得θ?_MLE=(1/n)∑_{i=1}^nlnx_i。5.（20分）（1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T=X?/(S/√n)，其中X?=1500,S=√[Σ(x_i-1500)^2/(n-