專題10數(shù)列

目錄

易錯(cuò)點(diǎn)01忽略數(shù)列的定義域出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)02由Sn求an忽略n=1的討論

易錯(cuò)點(diǎn)03等比數(shù)列問題忽略公比q的討論

易錯(cuò)點(diǎn)04裂項(xiàng)相消法求和時(shí)漏項(xiàng)、添項(xiàng)或忽視系數(shù)而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)05錯(cuò)位相減求和錯(cuò)判項(xiàng)數(shù)、公比或符號(hào)出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略數(shù)列的定義域出錯(cuò)

2

典例（2025高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n(n1,2,)．若an為遞增數(shù)列，

則的取值范圍是（）

33

A．[1,)B．,C．(,1]D．,

22

【答案】D

2*

【分析】由數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n(n1,2,)，且an為遞增數(shù)列，所以anan1對(duì)于nN都

1

成立，即n對(duì)于nN*都成立，從而求得參數(shù)的取值范圍.

2

2

【詳解】因?yàn)閿?shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n(n1,2,)，且an為遞增數(shù)列，

*

所以anan1對(duì)于nN都成立，

所以n22n(n1)22(n1)對(duì)于nN*都成立，即n22nn22n12n2，

1

所以22n1對(duì)于nN*都成立，所以n對(duì)于nN*都成立，

2

133

所以1，即的取值范圍是,，

222

故選：D．

【易錯(cuò)剖析】

本題容易混淆數(shù)列的定義域與函數(shù)2定義域的差異而得出出錯(cuò)

anfxx2x1.

【避錯(cuò)攻略】

1.數(shù)列的概念及一般形式

（1）數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)

依次成為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)……，組成數(shù)列的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

（）數(shù)列的一般形式可以寫成，，，……，，……，其中表示數(shù)列的第項(xiàng)（也稱為的

2a1a2a3anannnan

序號(hào)，其中n為正整數(shù)，即nN），稱為數(shù)列的通項(xiàng)。此時(shí)一般將整個(gè)數(shù)列簡記為a

n.

【解讀】與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn)：

①確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性；

②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)；

③有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素

沒有順序(即無序性)；

④數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物．

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式

一般地，如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用an＝f(n)來表示，其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未

知數(shù)的表達(dá)式，則稱此關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【解讀】①數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)

解析式．

②和所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式．

③有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的．

易錯(cuò)提醒：(1)從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：

定義域正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})

解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式

值域由自變量從小到大依次取正整數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值構(gòu)成

表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖像法

(2)在處理數(shù)列的求值、分析數(shù)列的性質(zhì)時(shí)一定要注意數(shù)列的定義域是離散的，不是連續(xù)的，故不能對(duì)數(shù)列

的通項(xiàng)公式求導(dǎo)．

3ax3,x7

．（高三上江蘇徐州階段練習(xí)）函數(shù)，若數(shù)列滿足，*，

124-25··fxx6ananfnnN

a,x7

且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

99

A．,3B．,3C．1,3D．

44

22,3

2．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)fxxbx1bR，若anfn，則“b2”是“an是遞增數(shù)

列”的（）

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件

n2025*

3．（24-25高三上·廣東汕頭·開學(xué)考試）已知數(shù)列annN，則數(shù)列an的前100項(xiàng)中的最小

n2024

項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（）

A．a(chǎn)1，a100B．a(chǎn)45，a44C．a(chǎn)45，a1D．a(chǎn)44，a100

1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n5，則關(guān)于此數(shù)列的圖象敘述正確的是

（）

A．此數(shù)列不能用圖象表示

B．此數(shù)列的圖象僅在第一象限

C．此數(shù)列的圖象為直線y4x5

D．此數(shù)列的圖象為直線y4x5上滿足xN的一系列孤立的點(diǎn)

2

2．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式ann9n10，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)

和，若使Sn取得最小值，則n（）

A．5B．5或6C．10D．9或10

3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn2an2，若an2log2an3

對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）

75

A．4B．C．3D．

22

*

4．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）在無窮數(shù)列an中，a11，an12an0n2,nN，數(shù)列an的前n

項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值與最小值的差為（）

11

A．B．

84

1

C．D．無法確定

2

1

an2,n8

**

5．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an2,nN，若對(duì)于任意nN

n7

a,n8

都有anan1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

1113133

A．,1B．,C．,1D．1,

2220202

n2

6．（24-25高三上·云南玉溪·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a前n項(xiàng)的和為Sn，則Sn取

n2n13

得最小值時(shí)n的值為（）

A．5B．6C．7D．8

易錯(cuò)點(diǎn)02：由Sn求an忽略n=1的討論

典例（24-25高三·江蘇淮安·期中）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6（）

443

A．34B．341C．45D．41

【答案】A

【分析】利用退位相減法可得數(shù)列從第2項(xiàng)起，是以a23為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故可求a6，或者

利用結(jié)論可求a6.

【詳解】已知an13Sn，則當(dāng)n2時(shí)，an3Sn1，

兩式作差，得an1an3SnSn13an，

即an14an，也即數(shù)列從第2項(xiàng)起，是以a23為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

n2

從而an34,n2．

1,n1,4

由于a11,a23a13，則ann2于是a634．

34,n2,

【易錯(cuò)剖析】

本題求解時(shí)容易忽略的討論，而錯(cuò)誤的得出數(shù)列的通項(xiàng)公式為n1出錯(cuò)

n1an4.

【避錯(cuò)攻略】

1.已知Sn=f(n)求an

已知求通項(xiàng)，步驟可分為三步：（）當(dāng)n2時(shí)；（）當(dāng)時(shí)，；（）

Snf(n)1anSnSn12n1a1S13

檢驗(yàn)?zāi)芊窈蠈懀磏1和n2兩種情況能否合寫成一個(gè)公式，否則就寫為分段的形式．

2.已知Sn與an的關(guān)系求an

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.

（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；

（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.

易錯(cuò)提醒：利用Sn與an的關(guān)系求an，作差后往往會(huì)得到一個(gè)項(xiàng)或和的遞推關(guān)系式，這是一定要檢驗(yàn)遞推關(guān)

系是否對(duì)所有的正整數(shù)都成立，然后再根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.

2

1．（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Snn1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）

A．a(chǎn)nn1B．a(chǎn)n2n1

2,n1,

C．a(chǎn)n2n1D．a(chǎn)n

2n1,n2

2

2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n3n1，則數(shù)列的通項(xiàng)

公式為an.

3．（24-25高三上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an，則an的通項(xiàng)公式為．

n

1．（24-25高三上·遼寧·期中）數(shù)列an中，已知對(duì)任意自然數(shù)n,a1a2a3an21，則

2222

a1a2a3an等于（）

nn1

24142

A．2n1B．2n1C．D．

33

a7a9

2．（24-25高二上·甘肅酒泉·期中）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若Sn2an1，則的值為（）

a10a12

11

A．8B．4C．D．

48

*

3．（23-24高二下·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，2Snnan1，nN，則

an.

*

4．（24-25高三上·湖南益陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn5an23,nN，則數(shù)列an

的通項(xiàng)公式是an.

5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11,2Snan1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公

式.

3

6．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）使不等式1成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

2x

A．,12,B．,12,

C．,12,D．,12,

2

7．（24-25高二上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，如果它的前n項(xiàng)和Snn2n3，

那么an

且*1

8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an3SnSn10n2nN，a1，

3

則Sn.

9．（24-25高二上·天津東麗·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a16，且nSn1n2Snnn1n2，則an

易錯(cuò)點(diǎn)03：等比數(shù)列問題忽略公比q的討論

典例（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn1也是

等比數(shù)列，則q（）

1

A．1或2B．或2C．1D．2

2

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略等比數(shù)列的求和公式成立的前提條件，沒有對(duì)q1或q1的討論而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.等比數(shù)列的概念及公式

（1）等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

a

數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：nq(n2，q為非零常數(shù))．

an1

（2）等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其中Gab.

注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。

（3）通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式

qn1

①通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比是，則其通項(xiàng)公式為ana1q；

通項(xiàng)公式的推廣：nm

anamq.

a(1qn)aaq

②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q1時(shí)，Sna；當(dāng)q1時(shí)，S11n.

n1n1q1q

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知an是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和．

（1）等比數(shù)列的基本性質(zhì)（了解即可）

相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，仍是等比數(shù)列，公比為m

①akakmak2m…q.

12an

②若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，，an，anbn，仍是等比數(shù)列．

anbn

若*，則有，推廣：2且

③klmn(k,l,m,nN)akalamananankank(n,kN,nk1)

（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

n

（1）在公比q1或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n，……仍成等比數(shù)列，其公比為q；

na1,q1

易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：Sn，所以在利用等比數(shù)列求和公式

na11q

,q1

1q

求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論.

2

1.（24-25高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列a，a1a，a1a，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）．

A．a(chǎn)1B．a(chǎn)0或a1C．a(chǎn)0D．a(chǎn)0且a1

q

2.（24-25高三上·浙江紹興·期中）已知等比數(shù)列an，首項(xiàng)為a1，公比為，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列Sn1

是等比數(shù)列，則（）

A．a(chǎn)1q1B．qa11

n1n

C．Snq1D．Sna1q1

3.（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a37，前三項(xiàng)之和S321，則公比q的值是（）

111

A．1B．C．1或D．1或

222

1．（24-25高二下·浙江湖州·期末）設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3S3a43，3S2a33，則公

比q（）

A．3B．4C．5D．6

*

2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為Sn,nN，若5S3S540，

則S2024（）

A．22024B．22023C．220241D．220231

3．（24-25高三上·安徽·期中）記Sn為正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S33，S921，則S6（）

A．6B．9C．12D．15

*

4．（24-25高三上·山東淄博·階段練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列an中nN，其公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A．若數(shù)列an為遞增數(shù)列，則一定有q0

B．若a1a2，則數(shù)列an為遞增數(shù)列

2a1

C．若a3n，數(shù)列n的前n項(xiàng)和T恒成立

nn

an1an114

D．Sn，S2nSn，S3nS2n一定成等比數(shù)列

．（高三上廣東深圳階段練習(xí)）是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則

524-25··Snanna3S36,S33a3

a2．

a

2

6．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若4S23S1S3，則.

a1

763

7．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，若S，S，則a12．

3262

易錯(cuò)點(diǎn)04：裂項(xiàng)相消法求和時(shí)漏項(xiàng)、添項(xiàng)或忽視系數(shù)而致錯(cuò)

典例（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn為等比

數(shù)列，且a13,b11，數(shù)列ba是公比為64的等比數(shù)列，b2S264．

n

(1)求an,bn；

1113

(2)求證：．

S1S2Sn4

n1

【答案】(1)an2n1,bn8

(2)證明見解析．

【分析】（1）利用基本量代換，列方程組求出d、q，即可得到an,bn；

（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可證明．

【詳解】（1）設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，

n1

an3n1d,bnq

b3nd

aqd6

n1q642

b3n1d

依題意有anq①．

S2b26dq64

由6dq64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1，2，3，6之一，

解①得d2,q8

n1

故an32n12n1,bn8

11

（2）Sn352n1nn2，∴

Snnn2

1111111

∴

S1S2Sn132435nn2

111111111111

11

232435nn222n1n2

31113

42n1n24

即證．

【易錯(cuò)剖析】

利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和時(shí)要注意兩點(diǎn)，一是裂項(xiàng)是否需要湊系數(shù)，二是相消后前后各剩幾項(xiàng)，這

是在解題過程中最容易出錯(cuò)的地方.

【避錯(cuò)攻略】

裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解（常見分解為兩式之差），使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，

但在抵消的過程中，有的是依次項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消.

裂項(xiàng)常見形式：

(1)分母兩項(xiàng)的差等于常數(shù)

11111111n211

；；

()2()21

n(nk)knnk4n122n12n14n14(2n1)(2n1)

(2)分母兩項(xiàng)的差與分子存在一定關(guān)系

n

2＝1－1；

（2n－1）（2n＋1－1）2n－12n＋1－1

2n111n1111

22222222

n(n1)n(n1)；n(n2)4n(n2)

（3）分母是三項(xiàng)的積

1111

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

11111

()

n(n21)n(n1)(n1)2(n1)nn(n1)

3n14(n1)(n3)1111

4()()

(n1)(n2)(n3)(n1)(n2)(n3)n2n3n1n2

(4)分母含無理式

111

＝n＋1－n；(nkn)

n＋n＋1nknk

易錯(cuò)提醒：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)，但是要注意抵消后并不一定只剩下

第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，一般來說前面剩余幾項(xiàng)后面也剩余幾項(xiàng)，若前

面剩余的正數(shù)項(xiàng)，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項(xiàng)。

11

1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足對(duì)任意正整數(shù)p,q恒有apqapaq，且

pq

an

a8a80，bn，則b的前30項(xiàng)的和為（）

21n1n2n

A．225B．2251C．226D．2261

2．（24-25高三上·陜西·階段練習(xí)）已知在數(shù)列an中，a24a1，且當(dāng)n2時(shí)，an3an12.

(1)求an的通項(xiàng)公式；

a1

bn1

(2)設(shè)n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn.

anan14

3．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，滿足6Sn3n2an2.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

n1

16n1

若，求數(shù)列的前項(xiàng)和

(2)bnbn100T100.

anan1

1

1．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）等比數(shù)列an中，a13,a481，則數(shù)列的前2022

log3anlog3an1

項(xiàng)和為（）

2020202120222021

A．B．C．D．

4044202220234046

2

2．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2n，

2

b(n,n1)

nN，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn（）

anan1

A．2n12n1B．2n31

C．2n2D．2n33

n

14n4

3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)b，則數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.

n2n12n3

1

4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn9，n的值為.

nn1

5．（24-25高三上·河北·期中）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a24，S420.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

1

(2)數(shù)列bn滿足bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

an1an1

6．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn2an1，nN.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

a

n1

(2)設(shè)bn，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn，求證：Tn.

SnSn14

7．（24-25高三上·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a5、a4、4a6成等差數(shù)列，且

2

滿足a44a3，等差數(shù)列數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn，b2b46,，S410．

(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；

b

2n5*

(2)設(shè)dnan，nN，dn的前n項(xiàng)和Tn，求Tn．

b2n1b2n3

易錯(cuò)點(diǎn)05：錯(cuò)位相減求和錯(cuò)判項(xiàng)數(shù)、公比或符號(hào)出錯(cuò)

*

典例（24-25高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的nN，都有S2nkSn

（k為非零常數(shù)），則稱數(shù)列an為“和等比數(shù)列”，其中k為和公比.若bn是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差

n

數(shù)列，且bn是“和等比數(shù)列”，令cn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn.

2bn

(1)求bn的和公比;

(2)求Tn;

3n4n*

(3)若不等式Tn(1)m2對(duì)任意的nN恒成立，求m的取值范圍.

22n1

【答案】(1)4

83n4

(2)T

n9922n1

3

(3)(1,).

2

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，前n項(xiàng)和為An，由題意A2nkAn，化簡可得k值；

（2）由（1）得cn，用錯(cuò)位相減法求和；

3n4

（3）設(shè)PT，PP0，按n的奇偶性分類求解可得參數(shù)范圍．

nn22n1n1n

n(n1)dd

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為A，則Anbdn2(1)n，

nnn1222

2

所以A2n2dn(2d)n，

kdkd

因?yàn)?是“和等比數(shù)列”，所以AkA，即2dn2(2d)nn2(k)n，對(duì)任意nN*恒成立，

n2nn22

kd

2d

2k4

所以，解得，

kdd2

2dk

2

所以{bn}的和公比為4；

n

（2）由（1）知b12(n1)2n1，c，

nn22n1

123n

所以T，

n2232522n1

112n1n

所以T，

22n232522n122n1

11

[1()n]

31111n2n23n4

相減得T22，

n352n12n112n12n1

42222212332

22

83n4

所以T；

n9922n1

3n483n43n48103n4

（3）設(shè)PT，

nn22n19922n122n19922n1

103n7103n45n1

PP0，

n1n922n1922n14n

Pn1Pn，{Pn}是遞增數(shù)列，

3n4n*n*

不等式Tn(1)m2對(duì)任意的nN恒成立，即不等式Pn(1)m2對(duì)任意的nN恒成立，

22n1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，m2(Pn)minP13，則m1，

13

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，m2(P)P，則m，

nmin222

3

綜上，m的取值范圍是(1,)．

2

【易錯(cuò)剖析】

1

本題在求解過程容易將等比誤認(rèn)為而出錯(cuò)。

2

【避錯(cuò)攻略】

錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和

可用錯(cuò)位相減法求解．

錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，

以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“SnqSn”的表達(dá)式．

＝=

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q1，應(yīng)用公式Snna1.

易錯(cuò)提醒：利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，首先要判斷兩邊需要乘的公比是多少；二是相減后最后一項(xiàng)要變號(hào)；

三是利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)要判斷項(xiàng)數(shù)，四是要注意對(duì)結(jié)果化簡，另外可以用n=1代入檢驗(yàn)結(jié)果是

否成立.

n2*

1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且