第二章整式及其加減（復(fù)習(xí)講義）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解掌握整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念；2.能熟練指出單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)和多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)，能把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成按某個(gè)字母的降冪或升冪排列；3.掌握合并同類項(xiàng)法則；4.能靈活應(yīng)用去括號(hào)或添括號(hào)法則，進(jìn)行整式加減運(yùn)算.5.了解和掌握整體帶入思想6.能夠快速理解應(yīng)用題題意列出代數(shù)式二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：合并同類項(xiàng)法則；去括號(hào)或添括號(hào)法則;列代數(shù)式三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：去括號(hào)或添括號(hào)法則，整體帶入思想,理解應(yīng)用題題意列出代數(shù)式1、用字母表示數(shù)用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)，有了用字母表示數(shù)的知識(shí)，使具有相同性質(zhì)的不同數(shù)學(xué)問(wèn)題可以用同一個(gè)式子表示出來(lái)：如，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為acm，寬為bcm，長(zhǎng)方形的面積是abcm2一件商品的單價(jià)為a元，買了b件，則總價(jià)為ab元；將一筆錢存入銀行，每月可獲利息a元，存了b個(gè)月，則共獲利息ab元，這里同用代數(shù)式ab，但它卻表示了不同的實(shí)際意義。用字母表示數(shù)，還可以使數(shù)量關(guān)系的表示簡(jiǎn)潔明了，更具普遍意義，給研究和計(jì)算帶來(lái)了極大的方便。如：有理數(shù)的減法法則用文字?jǐn)⑹龊苈闊?，但用字母表示可表示成：a－b=a＋(－b)，簡(jiǎn)潔明了。又如有一組數(shù)據(jù)：0，3，8，15，24，….按此規(guī)律，大家可以一直寫(xiě)下去，但永遠(yuǎn)也寫(xiě)不完.如果用字母表示，則第n項(xiàng)可以記作n2－1，這樣就使這一規(guī)律更具普遍意義。2、代數(shù)式（1）代數(shù)式的定義：代數(shù)式是數(shù)與數(shù)之間、數(shù)與字母之間，字母與字母之間用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方等）連結(jié)起來(lái)的式子.所以代數(shù)式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分?jǐn)?shù)線）、乘方等運(yùn)算符號(hào)，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符號(hào)。另外，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式.如：(a＋b)2含有加法和乘方運(yùn)算是代數(shù)式；含有加法、乘、除法運(yùn)算也是代數(shù)式，a，0，1是單獨(dú)的數(shù)或字母，也是代數(shù)式，而2a=3，a>5.由于含有“=”和“>”，因此不是代數(shù)式.（2）代數(shù)式的規(guī)范書(shū)寫(xiě)書(shū)寫(xiě)代數(shù)式時(shí)應(yīng)注意以下原則：①代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常寫(xiě)作“·”或省略不寫(xiě)，如6×b常寫(xiě)作6·b或6b.但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原則，如6×8不能省略乘號(hào)，否則就寫(xiě)成了68，也不宜將“×”改為“·”，否則就寫(xiě)成了6·8，容易與6.8混淆。②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字寫(xiě)在字母前面，而有理數(shù)又要寫(xiě)在無(wú)理數(shù)前面，如6b一般不寫(xiě)作b6，2πr2不寫(xiě)作π2r2.③除法運(yùn)算寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，如1÷a，通常寫(xiě)作（a≠0）.④相同字母相乘，一般不把每個(gè)因數(shù)寫(xiě)出來(lái)，而是寫(xiě)成冪的形式，如a·a寫(xiě)作a2，a·a·a寫(xiě)作a3.3、列代數(shù)式在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常先把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)用代數(shù)式表示出來(lái)即列代數(shù)式，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔，更具一般性，但列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確分析數(shù)量關(guān)系，弄清運(yùn)算順序，掌握諸如和、差、積、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念。4、求代數(shù)式的值應(yīng)注意的問(wèn)題：(1）若代數(shù)式中省略了乘號(hào)、代入數(shù)值后應(yīng)添上“×”號(hào)；（2）若代入的值是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)添上括號(hào)；（3）注意解題格式規(guī)范，應(yīng)寫(xiě)成“當(dāng)……時(shí)，原式=……”的形式；（4）代數(shù)式的字母可取不同的值，但所取的值不應(yīng)該使所在的代數(shù)式或?qū)嶋H問(wèn)題無(wú)意義.5、正確理解單項(xiàng)式的有關(guān)概念（1）單項(xiàng)式的定義數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式為單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式，如6，a都是單項(xiàng)式.因此，單項(xiàng)式只能含有乘法以及以數(shù)字為除數(shù)的除法運(yùn)算，不能含有加減運(yùn)算，更不能含有以字母為除式的除法運(yùn)算.（2）單項(xiàng)式的系數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)，如－2xy2的系數(shù)為－2.單項(xiàng)式的系數(shù)為1或－1時(shí)，通常省略不寫(xiě)，但“－”號(hào)不能省略.如1ab寫(xiě)成ab，－1ab寫(xiě)成－ab.（3）單項(xiàng)式的次數(shù)一個(gè)單項(xiàng)式，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).如5x2y4的次數(shù)為6(2＋4=6).一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)是幾，我們習(xí)慣上又稱作這個(gè)單項(xiàng)式是幾次單項(xiàng)式.如5x2y4是六次單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中字母的指數(shù)為1時(shí)，1省略不寫(xiě)，但計(jì)算單項(xiàng)式次數(shù)時(shí)不能丟掉，或誤認(rèn)為是0.如5xy2的次數(shù)是1＋2=3，而不是2.6、理解并掌握多項(xiàng)式的有關(guān)概念（1）多項(xiàng)式的意義幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.多項(xiàng)式中含有加減運(yùn)算，也可以含有乘方，乘除運(yùn)算，但不能含有以字母為除式的除法運(yùn)算，如不是多項(xiàng)式.（2）多項(xiàng)式的項(xiàng)在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).其中，不含字母的項(xiàng)，叫做常數(shù)項(xiàng).常數(shù)項(xiàng)在多項(xiàng)式中次數(shù)最低.多項(xiàng)式有幾項(xiàng)，我們習(xí)慣上又稱為“幾項(xiàng)式”，如是二項(xiàng)式.（3）多項(xiàng)式的次數(shù)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù).如x2＋1－3x4的次數(shù)是4.因x2＋1－3x4是由單項(xiàng)式x2，1，－3x4三項(xiàng)組成的.因此，x2＋1－3x4又可稱作“四次三項(xiàng)式”.7、多項(xiàng)式的排列（1）升冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做多項(xiàng)式按這個(gè)字母的升冪排列.（2）降冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做多項(xiàng)式按這個(gè)字母的降冪排列.8、整式的意義單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.整式中不能含有以字母為除式的除法運(yùn)算.9、同類項(xiàng)概念及合并同類項(xiàng)的方法（1）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。（2）合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。（3）合并同類項(xiàng)的法則把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變。10、去括號(hào)和添括號(hào)的法則（1）去括號(hào)法則括號(hào)前是“＋”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“＋”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào)；括號(hào)前是“－”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“－”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。（2）添括號(hào)法則所添括號(hào)前面是“＋”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；所添括號(hào)前面是“－”，括到括號(hào)里面的各項(xiàng)都改變符號(hào)。注意：添括號(hào)去括號(hào)正好是相反的兩個(gè)過(guò)程，可以相互檢驗(yàn)正誤。11、整式加減的方法與步驟整式加減一般步驟（1）如果有括號(hào)，應(yīng)先去括號(hào)。（2）如果有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)。題型一題型一列代數(shù)式【例1】（24-25七年級(jí)下·江蘇徐州·開(kāi)學(xué)考試）下面的選項(xiàng)中，能用表示的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）四年級(jí)同學(xué)參加興趣小組，其中參加繪畫(huà)小組的有a人，比參加書(shū)法小組的2倍少4，參加書(shū)法小組的有多少人？正確的算式是（

）A． B． C． D．【變式1-2】3．（24-25七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期中）一支鉛筆的價(jià)格是a元，一塊橡皮的價(jià)格是b元，買2支鉛筆和7塊橡皮應(yīng)付元．【變式1-3】（23-24七年級(jí)上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）（代數(shù)式應(yīng)用）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是a，個(gè)位上的數(shù)字是6，表示這個(gè)兩位數(shù)的式子是（

）A． B． C． D．題型二題型二代數(shù)式的概念【例2】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代數(shù)式有（

）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【變式2-1】（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．屬于代數(shù)式的有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【變式2-2】（24-25八年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）下列各式中，代數(shù)式的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤A． B． C． D．【變式2-3】（24-25七年級(jí)上·上海靜安·期末）在下列各式中，不是代數(shù)式的為（）A． B． C． D．題型題型三代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式【例3】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）下列式子中，符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)的是（）A． B． C． D．元【變式3-1】（24-25六年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）下列式子中，符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)要求的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期中）有下列各式：下列代數(shù)式中，符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)要求的有（

）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-3】（24-25七年級(jí)上·吉林松原·期中）學(xué)完代數(shù)式內(nèi)容后，下列各式書(shū)寫(xiě)規(guī)范的是（

）個(gè) B． C． D．題型題型四單項(xiàng)式的判斷【例4】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）在代數(shù)式、、、、a中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式4-1】（24-25七年級(jí)上·福建南平·期中）下列結(jié)論中正確的是（

）A．單項(xiàng)式的次數(shù)是3 B．3不是單項(xiàng)式C．多項(xiàng)式是三次三項(xiàng)式 D．單項(xiàng)式m沒(méi)有系數(shù)【變式4-2】（24-25七年級(jí)上·重慶秀山·期末）式子，，，，，，中，單項(xiàng)式有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式4-3】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在①，②，③，④，⑤，⑥中，屬于單項(xiàng)式的有．題型題型五單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)【例5】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（24-25六年級(jí)下·上海青浦·期末）已知關(guān)于x，y的單項(xiàng)式與的次數(shù)相同，則．【變式5-2】（17-18七年級(jí)上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）的系數(shù)是，次數(shù)是．【變式5-3】（2025·河南駐馬店·三模）請(qǐng)寫(xiě)一個(gè)次數(shù)為4的單項(xiàng)式：．題型題型六多項(xiàng)式的判斷【例6】（24-25六年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）在代數(shù)式中，有（

）個(gè)整式．A．7 B．6 C．5 D．4【變式6-1】（24-25七年級(jí)上·遼寧朝陽(yáng)·期中）下列說(shuō)法正確的是：（

）A．的系數(shù)是 B．的次數(shù)是5次C．是多項(xiàng)式 D．的常數(shù)項(xiàng)為1【變式6-2】（23-24七年級(jí)上·青海西寧·期中）把下列代數(shù)式分別填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)．

(1)單項(xiàng)式：｛

…｝(2)多項(xiàng)式：｛

…｝【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期中）下列哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式？，0，，，，，，單項(xiàng)式{

}多項(xiàng)式{

}題型題型七多項(xiàng)式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、次數(shù)【例7】（24-25七年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式是關(guān)于的四次二項(xiàng)式，則．【變式7-1】（24-25六年級(jí)下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）指出一次式中的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)及一次項(xiàng)的系數(shù)【變式7-2】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的系數(shù)是 B．的系數(shù)是1C．的次數(shù)是6次 D．是二次三項(xiàng)式【變式7-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式是四次三項(xiàng)式，則．題型題型八已知子母的值求代數(shù)式的值【例8】（24-25七年級(jí)下·黑龍江佳木斯·期末）若，則．【變式8-1】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如果x的倒數(shù)是，則代數(shù)式的值是．【變式8-2】（24-25七年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）如圖是一塊長(zhǎng)方形花園，內(nèi)部修有兩個(gè)涼亭，其余部分種植花圃（陰影部分）．如圖是一塊長(zhǎng)方形花園，內(nèi)部有兩個(gè)過(guò)道，其余部分種植花圃（陰影部分）(1)用含的代數(shù)式表示花圃的面積；(2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需費(fèi)用．【變式8-3】（25-26七年級(jí)上·山東青島·開(kāi)學(xué)考試）如圖，有一根彎曲的鐵絲，準(zhǔn)備用如圖所示的方式剪切，這樣就把原來(lái)的鐵絲分成了幾段．(1)探究：按如圖的方式剪切，在括號(hào)里填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)．(2)總結(jié)：如果剪切次數(shù)用表示，分成的段數(shù)用表示時(shí)，和的關(guān)系是（

）．(3)應(yīng)用：像這樣如果剪切次，會(huì)分成（

）段．題型題型九單項(xiàng)式規(guī)律探究【例9】（2025·云南玉溪·一模）一列單項(xiàng)式按以下規(guī)律排列：x，，，，，，，…，則第2025個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【變式9-1】（24-25九年級(jí)下·云南昭通·階段練習(xí)）觀察下列關(guān)于的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律：按照上述規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25七年級(jí)下·云南楚雄·期末）觀察一組單項(xiàng)式：．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式應(yīng)該是（

）A． B． C． D．【變式9-3】（24-25七年級(jí)下·云南曲靖·期末）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，......，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．題型題型十多項(xiàng)式的系數(shù)、指數(shù)中求字母【例10】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如果整式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，那么．【變式10-1】（24-25七年級(jí)上·湖南郴州·期中）多項(xiàng)式中，不含項(xiàng)，那么k的值為（

）A．4 B． C．2 D．【變式10-2】（2025·江西撫州·一模）若關(guān)于的多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和是1，則“●”代表的數(shù)是．【變式10-3】（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）對(duì)于多項(xiàng)式（其中是大于的整數(shù)）．(1)若，且該多項(xiàng)式是關(guān)于的三次三項(xiàng)式，求的值；(2)若該多項(xiàng)式是關(guān)于的五次三項(xiàng)式，則、要滿足什么條件？題型題型十一已知式子的值求代數(shù)式的值【例11】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為4，求式子的值？【變式11-1】（24-25七年級(jí)下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．7 B．10 C．13 D．17【變式11-2】（2025·河南信陽(yáng)·三模）若，則的值為．【變式11-3】（24-25七年級(jí)下·河北承德·期末）已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【變式11-4】（16-17七年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為2．(1)直接寫(xiě)出的值；(2)求的值．【變式11-5】（24-25七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）已知，那么代數(shù)式的值為．題型題型十二同類項(xiàng)判斷【例12】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）化簡(jiǎn)求值(1)化簡(jiǎn)求值：，其中．(2)已知與是同類項(xiàng)，求多項(xiàng)式的值．【變式12-1】（24-25七年級(jí)下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）下列各組單項(xiàng)式中，同類項(xiàng)的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【變式12-2】（24-25七年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與是同類項(xiàng) B．是多項(xiàng)式C．是四次四項(xiàng)式 D．與的差為0【變式12-3】（24-25七年級(jí)上·廣西河池·期末）下列各組代數(shù)式中，不是同類項(xiàng)的是（）A．2與 B．與C．與 D．與題型題型十三合并同類項(xiàng)【例13】（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·期末）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式13-1】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【變式13-2】（24-25七年級(jí)上·福建福州·期中）下列計(jì)算中，正確的是（

）A． B．C． D．【變式13-3】（24-25七年級(jí)上·四川樂(lè)山·期末）下列合并同類項(xiàng)，正確的是（

）A． B．C． D．題型題型十四去括號(hào)【例14】（24-25七年級(jí)下·甘肅蘭州·期末）化簡(jiǎn)：．【變式14-1】（24-25七年級(jí)下·四川瀘州·期末）化簡(jiǎn)：．【變式14-2】（2025·貴州銅仁·三模）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【變式14-3】（24-25七年級(jí)上·廣東肇慶·期中）去括號(hào)應(yīng)得（

）A． B． C． D．題型題型十五添括號(hào)【例15】（24-25七年級(jí)上·湖南郴州·期中）下計(jì)算中，運(yùn)算正確的有（

）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式15-1】（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）已知，則代數(shù)式的值為（）A．2025 B． C．2024 D．【變式15-2】（24-25七年級(jí)上·四川南充·期中）下列式子變形正確的是（

）A． B．C． D．【變式15-3】（2025·廣東深圳·二模）已知，則．題型題型十六整式的加減運(yùn)算【例16】（24-25七年級(jí)上·河北張家口·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【變式16-1】（24-25七年級(jí)下·浙江·假期作業(yè)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【變式16-2】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．【變式16-3】（24-25七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)的值為（

）A． B． C．a(chǎn) D．題型題型十七整式化簡(jiǎn)求值【例17】（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式17-1】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：若，求的值．【變式17-2】（18-19七年級(jí)上·云南文山·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值其中，【變式17-3】（24-25七年級(jí)上·重慶酉陽(yáng)·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：已知與是同類項(xiàng)，求的值．題型題型十八正式加減的應(yīng)用【例18】（24-25七年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）整體思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛，仿照下面的解題方法，完成后面的問(wèn)題：如果代數(shù)式的值為3，那么代數(shù)式的值是多少？愛(ài)動(dòng)腦筋的小聰同學(xué)這樣來(lái)解：原式．我們把看成一個(gè)整體，把式子兩邊乘2，得．【方法運(yùn)用】（1）若，則的值為_(kāi)___________；（2）若，求的值；【類比遷移】（3）A，B兩地相距60千米，甲、乙兩人同時(shí)從A，B兩地騎自行車出發(fā)，相向而行．甲每小時(shí)行a千米，乙每小時(shí)行b千米，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇．問(wèn)甲、乙兩人出發(fā)多少小時(shí)后兩人相距20千米？【變式18-1】（24-25七年級(jí)下·貴州黔南·期末）閱讀下面材料：當(dāng)兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系不好比較時(shí)，我們可以轉(zhuǎn)化成求它們的差來(lái)比較，這種方法叫作“求差法”，比如：若，則；若，則；若，則．請(qǐng)用以上材料解決下列問(wèn)題：(1)用“求差法”比較大小關(guān)系時(shí)，用到的數(shù)學(xué)思想是______．A．分類討論

B．?dāng)?shù)形結(jié)合

C．轉(zhuǎn)化思想

D．建模思想(2)如圖1中正方形的邊長(zhǎng)為，圖2中圓的直徑為．①若正方形的周長(zhǎng)為A，圓的周長(zhǎng)為B，試用“求差法”比較的大??；②若正方形的面積為P，圓的面積為Q，試用“求差法”比較的大?。?3)綜合（2）中的兩個(gè)結(jié)論，你從中得到的啟示是：______．【變式18-2】（24-25七年級(jí)下·河北石家莊·期末）現(xiàn)有甲、乙、丙三種規(guī)格的卡片各若干張，已知甲卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，乙卡片是寬為1，長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形，丙卡片是邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖1所示（）．嘉嘉分別用6張卡片拼出了兩個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊，無(wú)縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為．(1)請(qǐng)用含的式子分別表示______，______；(2)當(dāng)時(shí)，分別求的值；(3)比較與的大小，并說(shuō)明理由．【變式18-3】（2025·河北唐山·三模）把圖中周長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形紙片分割成四張大小不等的正方形紙片A、、、和一張長(zhǎng)方形紙片，并將它們按圖的方式放入周長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形中．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，陰影部分的周長(zhǎng)為．題型題型十九圖形規(guī)律探究【例19】（24-25六年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）觀察下面的點(diǎn)陣圖規(guī)律，第（9）個(gè)點(diǎn)陣圖有個(gè)點(diǎn)．【變式19-1】（24-25七年級(jí)下·四川廣元·期末）將邊長(zhǎng)相等的正方形和等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，第1個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第2個(gè)圖案中有7個(gè)正方形，第3個(gè)圖案中有9個(gè)正方形……，按此規(guī)律擺放，第2025個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是（

）A．4046 B．4047 C．4050 D．4053【變式19-2】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）根據(jù)如圖中點(diǎn)的排列規(guī)律，第幅圖中共有個(gè)點(diǎn)，第幅圖中共有個(gè)點(diǎn)．【變式19-3】（24-25七年級(jí)下·山西臨汾·期末）觀察下列圖形變化的規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形都分為上、下兩層、下層都是由黑色正方形構(gòu)成，其數(shù)量與編號(hào)相同；上層都是由黑色正方形或白色正方形構(gòu)成（第1個(gè)圖形除外），則第2021個(gè)圖形中，黑色正方形的數(shù)量共有（

）個(gè)A．3032 B．3033 C．3034 D．3035題型題型二十帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)【例20】（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知a，b，c均為非零有理數(shù)，且滿足，求．【變式20-1】（24-25六年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）若，則的值為．【變式20-2】（24-25七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問(wèn)題．【提出問(wèn)題】三個(gè)有理數(shù)，，滿足，求的值．【解決問(wèn)題】解：由題意，得，，三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①，，都是正數(shù)，即時(shí)，則；②當(dāng)，，中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則．綜上所述，值為或．【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：三個(gè)有理數(shù)，，滿足，求的值．【變式20-3】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）已知有理數(shù)，，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示．(1)將，，按從小到大的順序排列，并用“”連接起來(lái)；(2)填空：______；______；______；（填“”或“”）(3)化簡(jiǎn)：．題型題型二十一整式加減中的無(wú)關(guān)問(wèn)題【例21】（24-25七年級(jí)下·內(nèi)蒙古烏?！て谀┮苟囗?xiàng)式化簡(jiǎn)后不含有的二次項(xiàng)，則等于（

）A．0 B．3 C． D．2【變式21-1】（24-25七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）已知代數(shù)式合并同類項(xiàng)后不含，項(xiàng)，求的值．【變式21-2】（24-25七年級(jí)下·湖北十堰·期末）已知多項(xiàng)式化簡(jiǎn)后不含項(xiàng)．(1)求的值；(2)化簡(jiǎn)并求多項(xiàng)式的值．【變式21-3】（24-25七年級(jí)下·浙江金華·期中）如圖，小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為a，寬為b，且，將7張紙片按圖示不重疊的放在長(zhǎng)方形內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個(gè)長(zhǎng)方形，面積分別為和．（1）當(dāng)，，時(shí)，的值為；（2）若長(zhǎng)度保持不變，變長(zhǎng)，將這7張小長(zhǎng)方形紙片還按照同樣的方式放在新的長(zhǎng)方形內(nèi)，當(dāng)?shù)闹蹬c的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)時(shí)，a、b滿足的關(guān)系式是．題型題型二十二降冪排列與升冪排列【例22】（24-25七年級(jí)下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）多項(xiàng)式按的降冪排列正確的是（

）A． B．C． D．【變式22-1】（24-25七年級(jí)上·陜西渭南·期中）已知多項(xiàng)式是關(guān)于、的五次四項(xiàng)式．(1)求的值；(2)把這個(gè)多項(xiàng)式按的降冪重新排列．【變式22-2】（24-25七年級(jí)上·北京·期中）對(duì)于多項(xiàng)式，下列結(jié)論正確的是（

）A．這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)為，，B．這個(gè)多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式C．這個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為5D．這個(gè)多項(xiàng)式按a的降冪排列是【變式22-3】（24-25七年級(jí)下·四川樂(lè)山·期中）將多項(xiàng)式按下列要求進(jìn)行排列：(1)按的降冪排列；(2)按的升冪排列．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)一、單選題1．（22-23七年級(jí)上·湖北隨州·期中）下列合并同類項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．2．（22-23七年級(jí)上·廣東東莞·期末）下列關(guān)于單項(xiàng)式的說(shuō)法正確的是（）A．系數(shù)是，次數(shù)是8 B．系數(shù)是，次數(shù)是8C．系數(shù)是，次數(shù)是5 D．系數(shù)是，次數(shù)是53．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·期中）用語(yǔ)言敘述表示的數(shù)量關(guān)系中，表述不正確的是（

）A．比x倒數(shù)小3的數(shù) B．比x倒數(shù)大3的數(shù)C．x的倒數(shù)與3的差 D．1除以x的商與3的差4．（22-23七年級(jí)上·四川遂寧·期末）下列代數(shù)式中符合書(shū)寫(xiě)要求的是（）A． B． C．元 D．5．（24-25七年級(jí)上·河南駐馬店·期中）如圖，圓形方孔錢是我國(guó)古錢幣的突出代表，一枚圓形方孔錢的外半徑為r，中間方孔邊長(zhǎng)為a，則方孔錢的面積可表示（

）A． B． C． D．6．（24-25七年級(jí)上·河北廊坊·期中）若，，則代數(shù)式的值為（

）A． B．1 C．7 D．137．（24-25七年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期末）一服裝店“雙十一”搞活動(dòng)，按標(biāo)價(jià)八折出售．老板把衣服在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上提高后標(biāo)價(jià)，衣服賣出后，老板（

）A．虧損了 B．賺了 C．不虧不賺 D．無(wú)法判斷8．（23-24七年級(jí)上·貴州黔西·期末）如圖，是由A、B、E、F四個(gè)正方形和C、D兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形．已知正方形F的邊長(zhǎng)為8，拼成的大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為（

）

A．64 B．36 C．32 D．169．（2023·云南昆明·二模）用黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按如圖所示的規(guī)律，拼成如下若干地板圖案，為探索出第個(gè)圖案中白色地板磚的塊數(shù)，同學(xué)們列出以下三種不同的代數(shù)式：①；②；③．其中正確的代數(shù)式有（）

A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)10．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形被分割為小塊，除陰影，外，其余塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為，下列說(shuō)法中正確的有（

）

①小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊為；②陰影的較短邊和陰影B的較短邊之和為；③若為定值，則陰影和陰影的周長(zhǎng)之差為定值；④當(dāng)時(shí)，陰影的周長(zhǎng)比陰影的周長(zhǎng)多．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②④二、填空題11．（23-24七年級(jí)上·福建漳州·期末）寫(xiě)出只含有字母且次數(shù)為2的多項(xiàng)式（寫(xiě)出一個(gè)即可）．12．（24-25七年級(jí)下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知，則．13．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期末）已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．14．（24-25七年級(jí)上·江蘇常州·期中）小馬在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式減去的差時(shí)，錯(cuò)將減法當(dāng)成加法得到．請(qǐng)你幫助小馬訂正，正確的結(jié)果是．三、解答題15．（24-25七年級(jí)上·江西吉安·期末）已知，求的值．16．（24-25七年級(jí)上·安徽安慶·期中）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)若多項(xiàng)式的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值；(2)若是關(guān)于、的四次三項(xiàng)式，求值．17．（21-22七年級(jí)上·貴州黔東南·期中）為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，某市制定了用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：如果一戶每月用電量不超過(guò)度，每度電費(fèi)0.5元；如果超過(guò)度，超過(guò)部分按每度電費(fèi)0.6元收費(fèi)（不足1度按1度計(jì)算）．(1)若某戶一月用電量為度（，該戶應(yīng)繳的電費(fèi)是多少？(2)當(dāng)，時(shí)，計(jì)算該戶應(yīng)繳的電費(fèi)是多少？18．（24-25七年級(jí)上·江蘇連云港·期中）已知，．(1)化簡(jiǎn)：；(2)當(dāng)，時(shí)，求（1）代數(shù)式的值；(3)試判斷M，N的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．19．（22-23七年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形休閑廣場(chǎng)的四個(gè)角都設(shè)計(jì)一塊形狀大小都相同的三角形健身場(chǎng)地，每個(gè)三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)都是，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是，寬為．(1)列式表示廣場(chǎng)空地的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求廣場(chǎng)空地的面積．20．（24-25七年級(jí)上·福建莆田·期中）已知：，，回答下列問(wèn)題：(1)填空：________，________；(2)若，求的值．21．（2024七年級(jí)上·安徽·專題練習(xí)）如圖是用五角星擺成的三角形圖案，每條邊上有個(gè)點(diǎn)（即五角星），每個(gè)圖案的總點(diǎn)數(shù)（即五角星總數(shù)）用表示．(1)觀察圖案，當(dāng)時(shí)，；(2)分析上面的一些特例，你能得出怎樣的規(guī)律？（用表示(3)當(dāng)時(shí)，求．22．（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）（1）已知有理數(shù)a，b滿足，，且，，求的值．（2）有理數(shù)a、b、m、n、x滿足下列條件：a與b互為倒數(shù)，m與n互為相反數(shù)，x的絕對(duì)值為1，求的值．23．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期中）某商場(chǎng)銷售一款運(yùn)動(dòng)鞋和運(yùn)動(dòng)襪，運(yùn)動(dòng)鞋每雙定價(jià)200元，運(yùn)動(dòng)襪每雙定價(jià)40元．商場(chǎng)決定開(kāi)展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：方案一：買一雙運(yùn)動(dòng)鞋送一雙運(yùn)動(dòng)襪；方案二：運(yùn)動(dòng)鞋和運(yùn)動(dòng)襪都按定價(jià)的付款．現(xiàn)某客戶要到該商場(chǎng)購(gòu)買運(yùn)動(dòng)鞋20雙和運(yùn)動(dòng)襪雙（）．(1)若該客戶按方案一購(gòu)買，需付款多少元？（用含的代數(shù)式表示，需化簡(jiǎn)）若該客戶按方案二購(gòu)買，需付款多少元？（用含的代數(shù)式表示，需化簡(jiǎn)）(2)當(dāng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明上面的兩種購(gòu)買方案哪種省錢？能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練1．（23-24七年級(jí)上·山西·期中）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．2．（21-22六年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）下列各組中的兩個(gè)單項(xiàng)式不是同類項(xiàng)的是（

）A．與 B．-3與0 C．與 D．與3．（23-24七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）下列圖形都是由同樣大小的★按照一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中共有5個(gè)★，第②個(gè)圖形中共有8個(gè)★，…，按此規(guī)律排列下去，第⑧個(gè)圖形中的★個(gè)數(shù)為（）A．24個(gè) B．26個(gè) C．28個(gè) D．30個(gè)4．（18-19七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）若，則（

）A． B．4 C．16 D．205．（15-16七年級(jí)上·重慶·期中）一個(gè)多項(xiàng)式加上得，則這個(gè)多項(xiàng)式是（）A． B． C． D．6．（23-24七年級(jí)上·山東臨沂·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．單項(xiàng)式系數(shù)是1，次數(shù)是7 B．多項(xiàng)式是四次三項(xiàng)式C．單項(xiàng)式的系數(shù)是次數(shù)是5 D．是三次二項(xiàng)式7．（22-23七年級(jí)上·重慶·期中）如圖，用若干根小木棒拼成圖形，拼第1個(gè)圖形需要3根小木棒，拼第2個(gè)圖形需要7根小木棒，拼第3個(gè)圖形需要11根小木棒…若按照這樣的方法拼成的第n個(gè)圖形需要103根小木棒，則n的值為（）A．34 B．36 C．26 D．248．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）用大小相同的“”按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第個(gè)圖案有個(gè)“”，第個(gè)圖案有個(gè)“”，第個(gè)圖案有個(gè)“”，按此規(guī)律排列下去，則第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（24-25七年級(jí)上·新疆和田·期末）“九宮圖”傳說(shuō)是遠(yuǎn)古時(shí)代洛河中的一個(gè)神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上經(jīng)常研究這一神話，數(shù)學(xué)上的“九宮圖”所體現(xiàn)的是一個(gè)3×3表格，其每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和都相等，也稱為三階幻方，如圖是一個(gè)幻方，則的值為（

）A．9 B．1 C．5 D．410．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，將一枚跳棋放在七邊形的頂點(diǎn)A處，按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)這枚跳棋10次．移動(dòng)規(guī)則是（如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在B處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在D處）．按這樣的規(guī)則，在這10次移動(dòng)中，跳棋不肯停留的頂點(diǎn)是（）A． B． C． D．二、填空題11．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·期中）合并同類項(xiàng)：．12．（23-24七年級(jí)上·廣東梅州·期中）體育委員帶了元錢去買體育用品，若一個(gè)足球元，一個(gè)籃球元．買了3個(gè)足球，一個(gè)籃球，剩余元．13．（24-25七年級(jí)下·四川成都·期中）已知，則的值為．14．（24-25九年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）“阿凡提巧取七環(huán)”的故事是這樣的：一個(gè)地主非常自負(fù)和刻薄，經(jīng)常出難題借以克扣長(zhǎng)工的工錢．有一回，他用純銀打了個(gè)七連環(huán)作為工錢，請(qǐng)人做工七天，要求打工者只能斷開(kāi)其中的一環(huán)，干幾天就取幾個(gè)銀環(huán)，不能多取，也不能少?。芏啻蚬ふ咭?yàn)椴荒芡瓿蛇@個(gè)任務(wù)，而沒(méi)能拿到工錢．聰明的阿凡提先將第三環(huán)斷開(kāi)，第一天取走斷開(kāi)的那一環(huán)；第二天，阿凡提還給地主斷開(kāi)的那一環(huán)，拿走兩連環(huán)；第三天，阿凡提再拿走斷開(kāi)的那一環(huán)；第四天，用前三天拿走的三個(gè)環(huán)去換四連環(huán)；第五天再拿走斷開(kāi)的那一環(huán)；第六天，還給斷開(kāi)的那一環(huán)，拿走兩連環(huán)；第七天再取走斷開(kāi)的那一個(gè)環(huán)，正好是七環(huán)．如圖所示：斷開(kāi)前：斷開(kāi)后：如果老板有一個(gè)23連環(huán)，同樣要求干幾天取幾個(gè)環(huán)，你能像阿凡提那樣只斷開(kāi)其中的兩個(gè)環(huán)，在23天的工作時(shí)間內(nèi)每天都能順利拿到工錢嗎？如果能，請(qǐng)說(shuō)出需要斷開(kāi)第號(hào)和第號(hào)環(huán)．三、解答題15．（22-23七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）計(jì)算：(1)．(2)．16．（24-25七年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期中）已知，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．17．（24-25七年級(jí)下·天津薊州·開(kāi)學(xué)考試）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．（2）已知：，求（用含的代數(shù)式表示）；18．（22-23七年級(jí)上·河北保定·期中）如圖中的大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成的．(1)圖②的面