數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)2.5.1直線與圓的位置關(guān)系2025/11/28第二章直線和圓的方程（第1課時(shí)）

新課引入太陽，這個(gè)巨大的“圓”，從地平線下緩緩升起。泰山之巔，云海翻騰，壯哉！美哉！若是心向往之，何懼道阻且長！新課引入古人的智慧——

圓：

包容、圓滿、和諧；直線：規(guī)則、方向、進(jìn)取。直線與圓的位置關(guān)系，提醒我們?cè)诩w生活中既要遵守規(guī)則，又要發(fā)揮個(gè)性，需要找到平衡點(diǎn)。問題1直線與圓有哪些位置關(guān)系？探究一：圓與直線的位置關(guān)系

直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)

直線和圓沒有公共點(diǎn),直線與圓的位置關(guān)系直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)相交2相切1相離0問題2如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？

幾何法新知探究追問：還有其他判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法嗎？rddrdr直線與圓的位置關(guān)系圓心到直線距離與半徑比較相交d<r相切d=r相離d>r

幾何法聯(lián)立直線方程直線與圓的位置關(guān)系聯(lián)立直線與圓的方程方程組解的情況方程組解的情況兩直線的位置關(guān)系問題3：類比兩直線的位置關(guān)系的研究方法，如何通過坐標(biāo)法，研究直線與圓的位置關(guān)系？新知探究

(1)已知圓C：x2+y2-4x=0，l是過點(diǎn)P(3，0)的直線，則A.l與圓C相交 B.l與圓C相切C.l與圓C相離 D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能跟蹤訓(xùn)練

1√將點(diǎn)P(3，0)代入圓C的方程，得32+02-4×3=9-12=-3<0，∴點(diǎn)P(3，0)在圓內(nèi).∴過點(diǎn)P的直線l必與圓C相交.解析:(2)若直線x-y=0與圓(x-1)2+(y+1)2=m相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(0，2]B.(1，2]C.(0，2) D.(1，2)√

解析:學(xué)案P28

（1）判斷直線

l與圓C的位置關(guān)系；探究二：圓的弦長問題（2）如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.分析：幾何—代數(shù)聯(lián)立、解方程組代數(shù)—幾何位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)②

①解法1（代數(shù)法）（1）判斷直線

l與圓C的位置關(guān)系；典例解析所以直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)

典例解析

解法1

解法2（幾何法）

（1）判斷直線

l與圓C的位置關(guān)系；典例解析所以直線

l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)位置關(guān)系d與r的比較

典例解析

xOy621BAC?如圖，由垂徑定理，得：例題小結(jié)判斷直線與圓位置關(guān)系的方法(1)代數(shù)法：

在平面直角坐標(biāo)系中,要判斷直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系,可以聯(lián)立它們的方程,通過判斷方程組消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程.利用一元二次方程的判別式△的值來確定解的情況,從而判斷直線與圓位置關(guān)系：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實(shí)根方程有兩個(gè)相等實(shí)根方程無實(shí)數(shù)根直線l與圓C相交直線l與圓C相切直線l與圓C相離判斷直線與圓位置關(guān)系的方法(2)幾何法：

根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑r,從而求得圓心到直線的距離d,通過比較d與r的大小,判斷直線與圓的位置關(guān)系.若相交,則可利用勾股定理求得弦長.已知直線l:Ax+By+C=0,圓C:(x－a)2+(y－b)2=r2.設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有③d＞r①d＜r直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；②d＝r直線l與圓C相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線l與圓C相離，沒有公共點(diǎn).xyOABdC若直線l與圓C相交,則弦長公式為r例題小結(jié)

(1)幾何法：用弦心距d，半徑r及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊.xyOABdr(3)代數(shù)法（弦長公式法）：不算出兩交點(diǎn)，設(shè)而不求(2)代數(shù)法：計(jì)算出兩交點(diǎn)直線與圓相交時(shí)弦長的求法探究二：圓的弦長問題鞏固練習(xí)課本P931.判斷下列各組直線l與圓C的位置關(guān)系,如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.解:(1)3.判斷直線2x－y＋2＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓截得的弦長.鞏固練習(xí)課本P93課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些主要內(nèi)容？判斷直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)法：①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實(shí)根方程有兩個(gè)相等實(shí)根方程無實(shí)數(shù)根直線l與圓C相交直線l與圓C相切直線l與圓C相離幾何法：③d＞r①d＜r直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；②d＝r直線l與圓C相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線l與圓C相離，沒有公共點(diǎn).聯(lián)立直線與圓的方程，消元得px2+qx+t=0的解的個(gè)數(shù)(△的符號(hào))圓心到直線的距離位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

個(gè)

個(gè)

個(gè)判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝__________________________代數(shù)法：由

消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ_______________210d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0直線與圓的位置關(guān)系的判斷歸納總結(jié)學(xué)案P2712341.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是A.相切

B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心

D.相離√

解析當(dāng)堂達(dá)標(biāo)學(xué)案P291234

√

解析12343.過原點(diǎn)且