復習：隨機變量及其分布

知識網(wǎng)絡X)X2???Xi???

目標認知

考試大綱要

求.

1.理解取

有限個值的離

散型隨機變量

及其分布列的

概念，了解分

布列對于刻畫

隨機現(xiàn)象的重

要性.

2.理解取

有限個值的離

散型隨機變量

均值、方差的

概念，能計算

簡單離散型隨

機變量的均

值、方差，

.并能解

決一些實際問

題.

3.理解n

次獨立重復試

驗的模型及二

明分布，并能

解決一些簡單

的實際問題.

4.理解超

幾何分布及其

導出過程，并

能進行簡單的

應用.

重點.

離散型隨

機變■及其分

布列的概念，

離散型隨機變

量均值、方差

的概念，能計

算簡單離散型

隨機變量的均

值、方差，并

能解決一些實

際問題.

難點.

正確寫出

離散型隨機變

量的分布列，

求出均值與方

差。

知識要點梳理

知識點一：離

散型隨機變量

及其分布列

1.離散型

隨機變量：

如果隨機

試駒的結(jié)果可

以用一個變量

來表示，那么

這樣的變量叫

做隨機變量，

隨機變量常用

希臘字母等

表不。

2.圈散型

隨機變量

對于隨機

變量可能取的

值，可以按一

定次序一一列

出，這樣的隨

機變量叫做離

散型隨機變

量；

若是隨

機變量，其

中a,b是常數(shù)，

則也是隨機

變量，并且不

改變其腐性

(離散型、連

續(xù)型)O

3.離散性

隨機變量的分

布列：

設離散型

隨機變量可

能取得值為

xl,x2,**?,x3,*-

，若取每一個

值xi(i=l,2,—)

的概率為，

則稱表

4

pPiP2???Pi???

為隨機變量的概率分10

布，簡稱的分布列.

4.離散型隨機變量的

分布列都具有下面兩個性

質(zhì)：

(1)pi>0,i=l,2-;

(2)P1+P2+-=1

知識點二：離散型隨機變量

的二點分布

如果隨機變量X的分

布列為

X

pP1-P

稱01???KN

離散型

隨機變

量服

從參數(shù)

為的

兩點分

布。

知識點

=：離

散型隨

機變量

的二項

分布

在

一次隨

機試驗

中，某

事件可

能發(fā)生

也可能

不發(fā)生,

在n次

獨立重

復試臉

中這個

事件發(fā)

生的次

數(shù)是

一個隨

機變量,

如果在

一次試

驗中某

事件發(fā)

生的概

率是P,

那么在

n次獨

立重復

試驗中

這個事

件恰好

發(fā)生k

次的概

率是，

于

是得至1」

隨機變

量的

概率分

布如下:

??????

pc：渦zC：p?

由于123???k???

恰好是二

助展開式

中的各項

的值，所以

稱這樣的

隨機變量

服從二項

分布，記作

一，其

中n,p為參

數(shù)，并記

若一

，則，。

知識點四：

離散型隨

機變量的

幾何分布

獨立

重復試驗

中，某個事

件第一次

發(fā)生時所

作試驗的

次數(shù)也是

一個正整

數(shù)的離散

型隨機變

量。

表示

在第k次獨

立重復試

驗時該事

件第一次

發(fā)生，

如果

把第k次重

復試驗時

事件A發(fā)生

記作Ak,

事件A不發(fā)

生記作目

那么

離散型隨

機變量C

的概率分

布是：

PP(l-P)P(1-P)2P???(1-P)k,p???

稱這樣01???m

的隨機變量

服從幾何

分布，記作

其中

若隨機

變量服從

幾何分布，

則，

知識點五：

超幾何分布

在含M

件次品的N

件產(chǎn)品中，

任取n件，

其中恰有X

件次品數(shù)，

則事件發(fā)

生的概率

為：

,其

中，

稱分布

列

X

Pz>?-0???ZYJWZV>-W

*C%

??????

為超X1X2Xn

幾何分布

列。離散

型隨機變

量X服從

超幾何分

布。

若隨

機變量X

服從超幾

何分布，

則，。

知識點六:

離散型隨

機變量的

期望與方

差

1.離散型

隨機變量

的期望：

一般

地，若離

散型隨機

變量的

概率分布

為

g

??????

PplP2Pn

則稱的數(shù)學期望，筒稱期望，又稱為平均數(shù)、均值。

數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平

或集中位置，

若（a.b是常數(shù)）.c

二項分布的期望：

若離散型隨機變量4報從二項分布，即

幾何分布的期望：

若離散型隨機變量C報從幾何分布，且

2.離散型隨機變量的方差.

對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是xl,x2,…xn,…，且取這些值的概率分

別是pl,p2,…,pn,…，那么，稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量

4的期望。

D4的算術平方根叫做隨機變量<的標準差，記作。

隨機變量的方差與標；隹差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。方

差越大數(shù)據(jù)波動越大。

若（a,b是常數(shù)），?是隨機變量，則D（aC+b）=a2D《。

二項分布的方差：

若離散型隨機變量4報從二項分布，即

幾何分布的方差：

若離散型隨機變量C報從幾何分布，且

規(guī)律方法指導

①由于理科學習了計數(shù)原理和條件概率以及相互獨立事件的概率，在概率的計算上理

科出題的范圍非常廣，要求會用計數(shù)原理和排列、組合的知識計算隨機事件所含的基本事件

數(shù)及事件發(fā)生的概率.高考中經(jīng)常把概率的計算問題放在離散型隨機變量的分布列中考查.對

于離散型隨機變量的均值與方差特別要注意幾個基本概率模型.考查離散型隨機變量的分布

列以及均值與方差問題是高考中的熱點問題.

②求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排

列、組合與概率知識求出取各個值的概率即必須解決好兩個問題，一是求出的所有取值,

二是求出取每一個值時的概率，同時按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.

③求離散型隨機變量的均值（期望）和方差，重要的是能正確寫出分布列.在解題時要注

意判斷一個實際問題是否寓于二項分布，成功概率是多少，找出其他隨機變量與二項分布的

隨機變是間的關系式，利月二項分布的均值與方差的計算公式求解.

經(jīng)典例題精析01

類型一：獨立重

復試驗的概率

1、把n個不

同的球畸機地放

入編號為1,

2,―,m的m個

盒子內(nèi)，求1號

盒恰有r個球的

概率

法一：用獨

立重復試驗的概

率公式

把1

個球放入m個不

同的盒子內(nèi)看成

一次獨立試驗，

其中放入1號盒

的概率為「二,

這樣

n個球放入m個

不同的盒子內(nèi)相

當于做n次獨立

重復試驗，

..由獨

立重復試驗中事

件A恰好發(fā)生k

次的概率公式

知，

1號

盒恰有r個球的

概率

法二：用古

典概型

把n

個不同的球任意

放入m個不同的

盒子內(nèi)共有mn

個等可能的結(jié)

果.

其中

1號盒內(nèi)恰有r

個球的結(jié)果數(shù)為

C(m—1)n—

r，

.故所

求概率P(A)

答：1

號盒恰有1?個球

的概率為。

舉一反三：

【變式1】

十層電梯從低層

到頂層停不少于

3次的概率是多

少停幾次概率最

大

【答案】依

題意，從低層到

頂層停不少于3

次，應包括停3

次，停4次，停5

次，……，直到

停9次

**?從低層到」由層

停不少于3次的

概率

設從低層到」貞層

停次，則其概

率為，

???當或時，

最大，即最大，

答：從低層到頂

層停不少于3次

的概率為，停4

次或5次概率最

大.

【變式2】

實力相等的甲、

乙兩隊參加乒乓

球團體比賽，規(guī)

定5局3勝制（即

5局內(nèi)誰先嬴3

局就算勝出并停

止匕饗).

(1)試分別

求甲打完3局、4

局、5局才能取

勝的概率.

⑵按匕倭

規(guī)則甲獲勝的概

率.

【答案】甲、

乙兩隊實力相

等，所以每局比

賽甲獲勝的概率

為，乙獲勝的

概率為,

記事件=“甲打

完3局才能取

勝〃，

記事件=“甲打

完4局才能取

勝”，

記事件=“甲打

完5局才能取

勝”.

①甲打完3局取

勝，相當于進行

3次獨立重復試

驗，且每局比賽

甲均取勝

；?甲打完3局取

勝的概率為.

②甲打完4局才

能取勝，相當于

進行4次獨立重

復試驗，且甲第

4局比賽取勝，

前3局為2勝1

負

；?甲打完4局才

能取勝的概率為

③甲打完5局/

能取勝，相當于

進行5次獨立重

復試驗，且甲第

5局比賽取勝，

前4局恰好2勝2

負

：?甲打完5局才

能取勝的概率為

*

⑵事件="按

比賽規(guī)則甲獲

勝”，則，

又因為事件、

、彼此互斥，

故

答：按比賽規(guī)則

甲獲勝的概率為

?

類型二：分布列

的性質(zhì)

2、若離散型

隨機變量i的概

率分布列為：

p9c2-c3-8c

試求出常數(shù)c與＜01

的分布列。

解析：由離散型隨

機變量分布列的基本性

質(zhì)知：

解得常數(shù)，

從而C的分布列為：

21

P

33

總結(jié)

升華：解題

關鍵是理

解隨機變

量分布列

的兩個基

本性質(zhì)，仕45678910

寫出〈的

分布列后，

要及時檢

查所有的

概率之和

是否為lo

舉一

反三：

【變式

11某一射

手射擊所

得的環(huán)數(shù)

4的分布

列如下：

p

求此射手“射擊一次

命中環(huán)數(shù)>7”的概率.

1答案】根據(jù)射手射

擊所得的環(huán)數(shù)4的分布

列，有

P(4=7)

=,p(e=8)=,P(>9)

=,P(<=10)=.-101

所求的概

率為P(W>7)=+++=.

［變式21隨機變量

的分布列如下：

PabC

其

中

0123456

成

等

差

數(shù)

列

若

則

的

值

是

一?

[

答

案

1

*

由

題

意

知

解

得

所

以

o

類

型

離

散

型

隨

機

變

量

的

分

布

列

3.

某

人

參

加

射

擊

擊

中

目

標

的

概

率

是

o

①

設

為

他

射

擊

6

次

擊

中

@

標

的

次

數(shù)

求

隨

機

變

量

的

分

布

列

②

設

為

他

第

次

擊

中

目

標

時

所

而

要

射

擊

的

次

數(shù)

求

的

分

布

列

③

若

他

只

有

6

顆

子

彈

若

他

擊

中

目

標

則

不

再

射

擊

否

則

子

彈

打

兀

求

他

射

擊

次

數(shù)

的

分

布

列

O

思

路

點

撥

由

B

知

某

人

射

擊

6

次

相

當

于

6

次

獨

立

重

復

試

驗

他

射

擊

6

次

擊

中

目

標

的

次

數(shù)

q

滿

足

9

因

此

隨

機

變

量

q

服

從

項

分

布

第

次

擊

中

目

標

時

所

'二匕

而1

要

射

擊

的

次

數(shù)

力

滿

足

9

因

此

n

服

從

幾

何

分

布

O

解

析

①

隨

機

亦

量

服

從

助

分

布

而

的

取

值

為

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

則

故

的

分

布

列

為

4

6419224016060121

p

729729729729729729729

②

設表1234???k???

示他前

次未

擊中目

標，而

在第

次射擊

時擊中

目標，

則的

取值為

全體正

整數(shù)

1,2,3,

…則

的分

布列為

7

122

??????

P333(|月丁5

③的

取值為

123,4,5,6

9

表示前次

未擊中，而

第次擊123456

中，

???

，，

而

表示前5次

未擊中，第

6次可以擊

中，也可以

未擊中

?*?

???

的分布列

為：

4

2481632

P

392781243243

總結(jié)升華：求離散

型隨機變量分布列要注

意兩個問題：一是求出

隨機變量所有可能的

值；二是求出取每一個

值時的概率.

舉一反三：

【變式1】在口件

產(chǎn)品中有2件次品，連

續(xù)抽3次，每次抽1件,

求：

012

(1)不放回抽樣時,

抽到次品數(shù)4的分布

列；

(2)放回抽樣時，抽

到次品數(shù)〃的分布列.

【答案】〃也可以

取0.1,2,3,放回抽樣和

不放回抽樣對隨機變量

的取值和相應的概率都

產(chǎn)生了變化，要具體問

題具體分析.

(I)隨機變量4取

值為0,1,2

P(<=0)

==,P(4=1)==,

P(<=2)==,

所以4的分

布列為

q

2_71

p151515

(2)隨機變

量n取值為0,1,

2,3

P(〃

=k)=C?-0123

k?(k=0,1,2,3),

所以〃

的分布列如下，

0123

P33?3?3

【變式2】從某

批產(chǎn)品中.有放回地

抽取產(chǎn)品二次，每次

隨機抽取1件，假設

事件：“取出的2件

產(chǎn)品中至多有1件是

二等品”的概，率.012

(1)求從該批產(chǎn)

品中任取1件是二等

品的概率；

(2)若該批產(chǎn)品

共10()件，從中任意

抽取2件，表示取出

的2件產(chǎn)品中二等品

的件數(shù)，求的分布

列.

【答案】

(1)記表示事

件“取出的2件產(chǎn)品

中無二等品”，

表小事

件“取出的2件產(chǎn)品

中恰有1件二等品”.

則互斥，

且，

故

于是?解

得；

(2)的可能取

值為?

若該批產(chǎn)

品共100件,由(1)

知其二等品有件，

故，，.

所以的

分布列為

4

31616019

P495495495

【變式3】

某運動員射擊

678910

一次所得環(huán)數(shù)

的分布如下：

X

P0020.3030.2

現(xiàn)進

78910

行兩次射

擊，以該運

動員兩次

射擊中最

高環(huán)數(shù)作

為他的成

績，記為.

(I)求

該運動員

兩次都命

中7環(huán)的概

率；

⑴)求

的分布

列；

［答

案】

(I)求

該運動員

兩次都命

中7環(huán)的概

率為；

(II)

的可能取

值為7、8、

9、10

9

分布列為：

4

p

類型四：離散型

隨機變量的期望

和方差

4.已知甲盒

內(nèi)有大小相同的

1個紅球和3個

黑球，乙盒內(nèi)有

大小相同的2個

紅球和4個黑球.

現(xiàn)從甲、乙兩個

盒內(nèi)各任取2個

球.

(I)求取

出的4個球均為

黑球的概率；

(II)求取

出的4個球中恰0123

有1個紅球的概

率；

(IH)設

為取出的4個球

中紅球的個數(shù)，

求的分布列和

數(shù)學期望.

解析：

(I)設“從

甲盒內(nèi)取出的2

個球均為黑球”

為事件，“從乙

盒內(nèi)取出的2個

球均為黑球”為

事件.

由于

事件相互獨立,

且，.

故取

出的4個球均為

黑球的概率為.

(II)設“從

甲盒內(nèi)取出的2

個球均為黑球，

從乙盒內(nèi)取出的

2個球中，1個是

紅球J個是黑

球”為事件

“從甲盒內(nèi)取出

的2個球中，1個

是紅球,1個是黑

球，從乙盒內(nèi)取

出的2個球均為

黑球”為事

件.

由于事件互斥,

且，

故取

出的4個球中恰

有1個紅球的概

率為?

(HI)可

能的取值為.

由

(I),(II)

得，一

從而

的

分布列為

r

工731

p5151030

的數(shù)學期

望.

總結(jié)升

華：求離散

型隨機變量

4的方差、

標準差的步

驟：

①理解

4的意義，

寫出t可能

取的全部

值；

②求《

取各個值的0123

概率，寫出

分布列；

釧艮據(jù)

分布列，由

期望的定義

求出;

到艮據(jù)

方差、標準

差的定義求

出D4、。

舉一反

二：

【變式

1】某地區(qū)為

下崗人員免

費提供財會

和計算機培

訓，以提高

下崗人員的

再就業(yè)能力,

每名下崗人

員可以選擇

參和一項培

訓、參加兩

項培訓或不

參加培訓，

已知參加過

財會培訓的

有60%,參

加過計算機

培訓的有

75%,假設

每個人對培

訓項目的選

擇是相互獨

立的，目各

人的選擇相

互之間沒有

影響.

⑴任

選1名下鹵

人員，求該

人參加過培

訓的概率；

(II)任

選3名下崗

人員，記

為3人中參

加過培訓的

人數(shù)，求

的分布列和

期望.

【答案】

任選1名下

崗人員，

記“該人參

加過財會培

訓”為事件

，“該人參

加過計算機

培訓”為事

件，

由題設知，

事件與

相互獨立，

且，.

(I)

法一：

任選1名下

鹵人員，該

人沒有參加

過培訓1的概

率是

所以該人參

加過培訓的

概率是?

法二：

任選1名下

崗人員，該

人只參加過

一項培訓的

概率是

該人參加過

兩項培訓的

概率是?

所以該人參

加過培訓的

概率是.

(II)因

為每個人的

選擇是相互

獨立的，所

以3人中參

加過培訓的

人數(shù)服從

二項分布，

，，

即的分布

列是

0.243

p

的期A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率

望是.

(或的

期望是)

［變式2】某陶

瓷廠準備燒制甲、

乙、丙三件不同的工

藝品，制作過程必須

先后經(jīng)過兩次燒制，

當?shù)谝淮螣坪细?/p>

后方可進入第二次

燒制，兩次燒制過程

相互獨立.根據(jù)該廠

現(xiàn)有的技術水平，經(jīng)

過第一次燒制后，

甲、乙、丙三件產(chǎn)品

合格的概率依次為

,,，經(jīng)過第二

次燒制后，甲、乙、

丙三件產(chǎn)品合格的

概率依次為，，.

(1)求第一次

燒制后恰有一件產(chǎn)

品合格的概率；

(2)經(jīng)過前后

兩次燒制后，合格工

藝品的個數(shù)為，求

隨機變量的期望.

t答案】分別記

甲、乙、丙經(jīng)第一次

燒制后合格為事件

，，，

(1)設表示

第一次燒制后恰好

有一件合格，則

(2)

法一：因為每件

工藝品經(jīng)過兩次燒

制后合格的概率均

為，所以，

故.

法二：分別記

甲、乙、丙經(jīng)過兩次

燒制后合格為事件

則，

所以，

9

9

于是，.

【變式3】A.B

兩個代表隊進行乒

乓球?qū)官?，每隊?/p>

名隊員,A隊隊員是

ALA2,A3,B隊隊

員是B1,B2,B3,按

以往多次比賽的統(tǒng)

計，對陣隊員之間勝

負概率如下：

對陣隊員

Ai對Bi21

33

A2對B223

55

A3對B323

55

現(xiàn)按表中012

對陣方式出場，

每場勝隊得1

分，負隊得()分,

設A隊、B隊最

后所得總分分

別為《、rj,

(1)求八

〃的概率分布；

(2)求E

C、EJ

【答案】

(1)4、

n的可能取值

分別為3,2,1,0

根據(jù)

題意知己+"

:3,

所以

O

(2)

因為

4+1=3,所以

5.甲乙兩人

獨立解某一道

數(shù)學題，該題被

甲獨立解出的

概率為，被甲或

乙解出的概率

為。

(1)求該題

被乙獨立解出

的概率；

(2)求解出

該題的人數(shù)＜

的數(shù)學期望和

方差3

解析：

⑴甲、乙解

出此題分別記

為事件A.B,

甲、乙沒有解出

此題分別記為

事件，

則有

甲或乙

解出此題的對

立事件：甲乙都

沒有解出此題，

記為，

則甲或

乙解出的概率

即：該

題被乙獨立解

出的概率是；

(2)解出該

題的人數(shù)C為:

0、1.2

則解出

該題的人數(shù)C

的分布列為：

P

期望0?23

方差

舉一反三：

【變式】一名學生騎

自行車上學，從他的家到

學校的途中有6個交通

崗，假設他在各交通崗遇

到紅燈的事件是獨立的，

并且概率都是。

(I)求這名學生首次

遇到紅燈前，己經(jīng)過了兩

個交通崗的概率；

(II)求這名學生在途

中遇到紅燈數(shù)4的期望

與方差。

【答案】

(I)由于該學生在各

交通崗遇到紅燈的事件

是獨立的，利用相互獨立

事件的概率，

其首次遇到紅

燈前已經(jīng)過了兩個交通

崗的概率.

(II)依題意該學生在

途中遇到紅燈數(shù)《服從

二項分布

則期望望，

方差O

類型五：離散型隨機變量

的期望和方差在實際生

活中的應用

6.A.B兩臺機床同時

加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)

量較大的產(chǎn)品時，出次品

的概率如下表所示：

A機床

次品數(shù)。

概率P

B機床

次品數(shù)420123

概率P

問哪一臺機床加

工質(zhì)量較好.

思路點撥：

解析:E[1=0X

+1x+2x+3x=,

E42=0x

+1x+2x+3x=

它們的期

望相同，再比較它們

的方差。

D<l=2x

012

+x2x+2x+2x=,

DJ2=2x

+2x+2x+2x=

1<

De2,故A機床加工

較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.

總結(jié)升華：

①期望僅體現(xiàn)了

隨機變量取值的平均

大小，但有時僅知道

均值的大小還不夠。

如果兩個隨機變量的

均值相等，還要看隨

機變量的取值如何在

均值周圍變化，即計

算方差。方差大說明

隨機變量取值較分散,

方差小說明取值分散

性小或者取值比較集

中、穩(wěn)定。

②對于兩個隨機

變重門和J2,在E

門和Ee2相等或很

接近時，比較De1和

D42。可以確定哪個

隨機變量的性質(zhì)更適

合生產(chǎn)生活實際，適

合人們的需要。

舉一反三：

［變式1］利用下

列盈利表中的數(shù)據(jù)進

行決策，應選擇的方

案是________.

【答案】

AI的數(shù)學期望：

=x50+x65+x26=

A2的數(shù)學期望：

=x70+x26+x16=

A3的數(shù)學期望：

=x(-20)+X52+

x78=

A4的數(shù)學期望：

=x98+x82+x(-

10)=

???應選擇的方案

是A3

【變式2】甲、乙

兩名工人加工同一種

零件，兩人每天加工

的零件數(shù)相等，所得

次品數(shù)分別為￡、*

￡和〃的分布列如下:

￡

613

PToToio

1012

532

pW1010

試對這兩名工123

人的技術水平進行

比較。

【答案】工人

甲生產(chǎn)出次品數(shù)￡

的期望和方差分別

為：

工人

乙生產(chǎn)出次星?數(shù)n

的期望和方差分別

為：

由E

￡=Erj知，兩人出

次品)的平均數(shù)相同，

技術水平相當，

但D

￡>D〃，可見乙的

技術比較穩(wěn)定。

【變式3】甲、

乙兩名射手在一次

射擊中的得分為兩

個相互獨立的隨機

變量4與的分布

列為:

pPa

7123

pb

⑴求a、b的值;

(2)甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分均小于3的概率誰更大

(3)計算的期望與方差，并以此分析甲乙的技術狀況。

【答案】

(l)Va++=l,Aa=,同理b=

(2)

??

(3)期望

方差

同理

由計算結(jié)果，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，

但說明甲得分的穩(wěn)定性比乙差，因而，甲乙兩人的技術都不夠全面。

高考題萃

1.(2008全

國D已知5只動1234

物中有1只患有

某種疾病，需要

通過化驗血液來

確定患病的動

物.血液化驗結(jié)

果呈陽性的即為

患病動物，呈陰

性即沒患病.下

面是兩種化驗方

法：

方案甲：逐

個化驗，直到能

確定患病動物為

止.

方案乙：先

任取3只，將它們

的血液混在一起

化驗.若結(jié)果呈

陽性則表明患病

動物為這3只中

的1只，然后再逐

個化驗，直到能

確定患病動物為

止；若結(jié)果呈陰

性則在另外2只

中任取1只化驗.

（I）求依

方案甲所需化驗

次數(shù)不少于依方

案乙所需化驗次

數(shù)的概率；

（H）表示

依方案乙所需化

驗次數(shù)，求的

期望.

解析：

（I）對于

甲：

次數(shù)

概率

對于乙:

概率

???方案甲所需化

驗次數(shù)不少于依方案乙所需

化驗次數(shù)的概率：

(II)表示依方案乙所

需化驗次數(shù)，的期望為.

2.(2008全國II).購買

某種保險，每個投保人每年度

向保險公司交納保費元，若

投保人在購買保險的一年度

內(nèi)出險，則可以獲得10000元

的賠償金.假定在一年度內(nèi)有

10000人購買了這種保險，目

13

各投保人是否出險相互獨立.

已知保險公司在一年度內(nèi)至

少支付賠償金10000元的概

率為?

(I)求一投保人在一年

度內(nèi)出險的概率；

(II)設保險公司開辦該

項險種業(yè)務除賠償金外的成

本為50000元，為保證盈利的

期望不小于0.求每位投保人

應交納的最低保費(單位：

元).

解析：各投保人是否出險

互相獨立，且出險的概率都是

,記投保的10000人中出險

的人數(shù)為，

則.

(I)記表示事

件：保險公司為該險種至少支

付10000元賠償金，

則發(fā)生

當且僅當，

又，故

(II)該險種總

收入為元，支出是賠償金總

額與成本的和.

支出，

盈利，

盈利的期

望為，

由知，;

(元).

故每位投

保人應交納的最低保費為15

元.????????????????|2

分

3.(2008北京).甲、乙

等五名奧運志愿者被隨機地

分到四個不同的崗位服務，

每個崗位至少有一名志愿者.

(I)求甲、乙兩人同時

參加崗位服務的概率；

(II)求甲、乙兩人不在

同一個崗位服務的概率；

(III)設隨機變量為這

五名志愿者中參加崗位服

務的人數(shù)，求的分布列.

解析：

(I)記甲、乙兩人同時

參加崗位服務為事件，

那么，

即甲、乙兩人同時

參加崗位服務的概率是?

(n)記甲、乙兩人同時

參加同一崗位服務為事件，

那么，

所以，甲、乙兩人

不在同一崗位服務的概率是

(in)隨機變量可能取

的值為1,2.事件"”是指有

兩人同時參加崗位服務，

則.

所以，

的分布列是

4

3J

P44

4.

(2008四

)11),設進

入某商場

0123456

的每一位

顧客購買

甲種商品

的概率為

,購買乙

種商品的

概率為，

且購買甲

種商品與

購買乙種

商品相互

獨立，各顧

客之間購

買商品也

是相互獨

立的。

(I)

求進入商

場的1位顧

客購買甲、

乙兩種商

品中的一

種的概率；

(11)

求進入商

場的1位顧

客至少購

買甲、乙兩

種商品中

的一種的

概率；

(III)

記表示進

入商場的3

位顧客中

至少購買

甲、乙兩種

商品中的

一種的人

數(shù)求的

分布列及

期望。

解析：

記表示事

件：進入商

場的1位顧

客購買甲

種商品，

記表示事

件:進入商

場的1位顧

客購買乙

種商品，

記表示事

件：進入商

場的1位顧

客購買甲、

乙兩種商

品中的一

種，

記表示事

件:進入商

場的1位顧

客至少購

買甲、乙兩

種商品中

的一種，

(I)

（II）

（in）

故的分布

列：

所以

5.

（2008安

徽）為防止

風沙危害，

某地決定

建設防護

綠化帶，種

植楊樹、沙

柳等植物。

某人一次

種植了n株

沙柳，各株

沙柳成活

與否是相

互獨立的，

成活率為

P，設為

成活沙柳

的株數(shù)，數(shù)

學期望，

標準差為

O

(I)

求n,p的值

并寫出的

分布列；

(II)

若有3株或

3株以上的

沙柳未成

活，則需要

補種，求需

要補種沙

柳的概率。

解析：

⑴由

得，

從

而

的分布列

為

4

16201561

p64646464646464

(2)記”需要補

種沙柳”為事件A,

則

?

??

或

6.(2008山東)

甲乙兩隊參加奧運

知識競賽，每隊3

人，每人回答一個

問題，答對者為本

隊贏得一分，答錯

得零分。假設甲隊

中每人答對的概率

均為，乙隊中3

人答對的概率分別

為且各人正確與0123

否相互之間沒有影

響.用￡表示甲隊

的總得分.

(I)求隨機

變量￡分布列和數(shù)

學期望；

(II)用A表示

“甲、乙兩個隊總

得分之和等于3”

這一事件，用B表

示“甲隊總得分大

于乙隊總得分”這

一事件，求P(AB).

解析：

(I)

法一：由題意

知，￡的可能取值

為0,1,2,3,且

所以￡

的分布列為

￡

1248

P萬9927

8

的數(shù)學期望為

E￡

法二：根據(jù)

題設可知

因

此￡的分布列

為

(II)

法一：用c

表示“田得2分

乙得1分”這一

事件，用D表示

“甲得3分乙

得。分”這一事

件，

所

以AB=CUD,

且C.D互斥，

又

由

互斥事件的概

率公式得

法二：用

Ak表示“甲隊

得k分”這一事

件，用Bk表示

“已隊得k分”

這一事件，

k=0,1,2,3

由

于事件

A3BO,A2B1為

互斥事件，

???

P(AB)=P(A3B0

U

A2B1)=P(A3BO

)+P(A2Bl).

7.(2008江

西)某柑桔基地

因冰雪災害，使

得果林嚴重受

損，為此有關專

家提出兩種拯

救果林的方案，

每種方案都需

分兩年實施；若

實施方案一，預

計當年可以使

柑桔產(chǎn)量恢復

到災前的倍、

倍、倍的概率分

別是、、；第二

年可以使柑桔

產(chǎn)量為上一年

產(chǎn)量的倍、倍的

概率分別是、.

若實施方案二，

預計當年可以

使柑桔產(chǎn)量達

到災前的倍、

倍、倍的概率分

別是、、?第二

年可以使柑桔

產(chǎn)量為上一年

產(chǎn)量的倍、倍的

概率分別是、.

實施每種方案，

第二年與第一

年相互獨立。令

表示方案實

施兩年后柑桔

產(chǎn)量達到災前

產(chǎn)量的倍數(shù).

(1)寫出

的分布列；

(2)實施

哪種方案，兩年

后柑桔產(chǎn)量超

過災前產(chǎn)量的

概率更大

(3)不管

哪種方案，如果

實施兩年后柑

桔產(chǎn)量達不到

災前產(chǎn)量，預計

可帶來效益10

萬元；兩年后柑

桔產(chǎn)量恰好達

到災前產(chǎn)量，預

計可帶來效益

15萬元；柑桔

產(chǎn)量超過災前

產(chǎn)量，預計可帶

來效益20萬

元；問實施哪種

方案所帶來的

平均效益更大

解析：

(1)的

所有取值為

.的所

有取值為，

.、的

分布列分別為：

6

P

備

P

(2)令A.B

分別表示方案一、

方案二兩年后柑

桔產(chǎn)量超過災前

產(chǎn)量這一事件，

101520

可見，

方案二兩年后柑

桔產(chǎn)量超過災前

產(chǎn)量的概率審大

(3)令表

示方案所帶來

的效益，則

小

P

%101520

P

所以

可

見，

方案

一所

帶來

的平

均效

益更

大。01234

8.

(20

08湖

北)

袋中

有20

個大

小相

同的

球，

其中

記上

。號

的有

10

個，

記上

a

的有

個

(

=1,2,

3,4).

現(xiàn)從

袋中

任取

球.

表示

所取

球的

標

a

(I

)求

的

分布

列，

期望

和方

差；

(II

)若

，，

試求

a.b

的

值.

解

析：

(I

)

的分

布列

為：

匕

213

P

220io205

0123

■

??

(II)

由，得

a2x=

11,即

又所以

當a=2時,

由1=2

x+b,得

b=-2.

當a=-2

時,由1

=-2x

+b,得

b=4.

A或

即為所

求.

9.

（2008

湖南）甲、

乙、丙三

人參加了

一家公司

的招聘面

試,面試

合格者可

正式簽

約，甲表

示只要面

試合格就

簽約.乙、

丙則約

定:兩人

面試都合

格就一同

簽約，否

則兩人都

不簽紂

設每人面

試合格的

概率都是

,且面

試是否合

格互不影

響求

(I)

至少有1

人面試合

格的概

率；

(II)

簽約人數(shù)

的分布

列和數(shù)學

期望.

解

析：

用

A,B.C分

別表示事

件甲、乙、

丙面試合

格.

由題

意知A,

B,C相互

獨立，且

P(A)=

P(B)=

P(O=

(I)

至少有1

人面試合

格的概率

是

(R)

的可能

取值為o.

1,2,3.

所以.的

分布列是

g

3

P311

8888

的期望

10.0123

(2008陜

西)某射擊

測試規(guī)則為:

每人最多射

擊3次，擊

中目標即終

止射擊，第

次擊中目

標得分，

3次均未擊

中目標得0

分.已知某

射手每次擊

中目標的概

率為,其各

次射擊結(jié)果

互不影響.

(I)

求該射手恰

好射擊兩次

的概率；

(II)

該射手的得

分記為，

求隨機變量

的分布列

及數(shù)學期望.

解析：

(I)

設該射手第

次擊中目

標的事件為

，貝！J,

(II)

可能取的值

為0,1,2,3.

的分布列

為

4

P

23456

11.(2008重慶)

甲、乙、丙三人按下

面的規(guī)則進行乒乓球

比賽：第一局由甲、乙

參加而丙輪空，以后

每一局由前一局的獲

勝者與輪空者進行比

賽，而前一局的失敗

者輪空.比賽按這種

規(guī)則一直進行到其中

一人連勝兩局或打滿

6局時停止.設在每局

中參賽者勝負的概率

均為，且各局勝負

相互獨立.求：

(I)打滿3局

比賽還未停止的概

率；

(II)匕饗停止

時已打局數(shù)的分別

列與期望.

解析：令分別

表示甲、乙、丙在第

k局中獲勝.

(I)由獨立事

件同時發(fā)生與互斥事

件至少有一個發(fā)生的

概率公式知，

打滿3局

比賽還未停止的概率

為

(II)的所有

可能值為2,3,4,5,6,

且

故有分布

列

自

1

P1

24816