高三數(shù)學教案：簡單的線性規(guī)劃

本文題目：高三數(shù)學教案：簡單的線性規(guī)劃

7.4簡單的線性規(guī)劃

?知識梳理

1.二元一次不等式表示平面區(qū)域

在平面直角坐標系中，直線Ax+By+C=O，坐標平面內(nèi)的點P(xO,yO).

BO時，①AxO+ByO+CO，那么點①xO,yO)在直線的上方；②AxO+ByO+CO,

那么點P(xO,y0)在直線的下方.

對于任意的二元一次不等式Ax+By+CO(或0),無論B為正值還是負值，

我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù).

當B0時，①Ax+By+CO表示直線Ax+By+00上方的區(qū)域;②Ax+By+CO表示

直線Ax+By+OO下方的區(qū)域.

2.線性規(guī)劃

求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線

性規(guī)劃問題.

滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫

做可行域(類似函數(shù)的定義域)；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結為線性規(guī)劃問題.

線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：

(1)根據(jù)題意，設出變量x、y；

(2)找出線性約束條件；

(3)確定線性目標函數(shù)z=f(x,y)；

(4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域)；

(5)利用線性目標函數(shù)作平行直線系f(x,y)二t(t為參數(shù))；

(6)觀察圖形，找到直線f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，

以確定最優(yōu)解，給出答案.

?點擊雙基

1.以下命題中正確的選項是

A.點(0,0)在區(qū)域x+yO內(nèi)

B.點(0,0)在區(qū)域x+y+10內(nèi)

C.點(I,0)在區(qū)域y2x內(nèi)

D.點(0,1)在區(qū)域x-y+10內(nèi)

解析：將(0,0)代入x+yO，成立.

答案：A

2.(2019年海淀區(qū)期末練習題)設動點坐標(x,y)滿足

(x-y+1)(x+y-4)0,

x3,

A.B.C.D.10

解析：數(shù)形結合可知當x=3，尸1時，x2+y2的最小值為10.

答案：D

2x-y+10,

x-2y-10,

x+yl

A.正三角形及其內(nèi)部

B.等腰三角形及其內(nèi)部

C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域

D.不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域

解析:將(0,0)代入不等式組適合C,不對；將(，)代入不等式組適合D,

不對；又知2x-y+l=0與x-2y-l=0關于y=x對稱且所夾頂角滿足

tan==.

答案：B

4.點(-2,t)在直線2x-3y+6=0的上方，那么t的取值范圍是

解析：(-2,t)在2x-3y+6=0的上方，那么2(-2)-3t+60，解得t.

答案：t

5.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(橫且標和縱坐標都是整數(shù)的點)共

有個.

解析：(1,1),(1,2),(2,1),共3個.

答案：3

?典例剖析

【例1】求不等式|xT|+|y-1|2表示的平面區(qū)域的面積.

剖析：依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積.

|x-l|+|y-l|2可化為

xl,xl,xl,xl,

yl,yl,yl,yl,

x+y4x-y2y-x2x+yO.

其平面區(qū)域如圖.

面積S=44=8.

評述：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確，要注意邊界.

深化拓展

假設再求：①：②的值域，你會做嗎？

答案：①(-，-H，+②口，5].

【例2】某人上午7時，乘摩托艇以勻速vnmile/h(420)從A港出發(fā)到

距50nmile的B港去，然后乘汽車以勻速wkm/h(30100)自B港向距300

km的C市駛去.應該在同一天下午4至9點到達C市.設乘汽車、摩托艇去

所需要的時間分別是xh、yh.

(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；

(2)如果所需的經(jīng)費

p=100+3(5-x)+2(8-y)(元),

那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟？此時需花費多少元？

剖析：由p=100+3(5-x)+2(8-y)可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.

解：(1)依題意得v=,w=,420,30100.

310①

由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間，即914.②

因此，滿足①②的點(x,y)的存在范圍是圖中陰影局部(包括邊界).

(2)Vp=100+3(5-x)12(8y),

3x+2y=131-p.

設131-p二k，那么當k最大時，p最小.在通過圖中的陰影局部區(qū)域(包括

邊界)且斜率為-的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(10,4),

即當x=10，產(chǎn)4時，p最小.

此時,v=12.5,w=30,p的最小值為93元.

評述：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達約束條件的不等式.然

后分析要求量的幾何意義.

［例3］某礦山車隊有4輛載重量為10t的甲型卡車和7輛載重量為6t

的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠,甲

型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每

輛每天的本錢賽為252元，乙型卡車每輛每天的本錢費為160元問每天

派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花本錢費最低？

剖析：弄清題意，明確與運輸本錢有關的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們

的約束條件，列出目標函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.

解：設每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花本錢費為z元，那么

x+y9,

106x+68x360,

04,

07.

z=252x+160y,

其中x、yN.

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.

作出直線10：252x+160y=0,把直線1向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上

的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當直線252x+160y=t

經(jīng)過點（2,5）時，滿足上述要求.

此時,z=252x+160y取得最小值，即x=2,y=5

時，zmin=2522+1605=1304.

答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，蘭隊所用本錢費最低.

評述:用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要

求較高，平行直線系f(x,y)=t的斜率要畫準，可行域內(nèi)的整點要找準，

最好使用網(wǎng)點法先作出可行域中的各整點.

?闖關訓練

夯實根底

1.(x-l)2+(y-l)2=l是|x—1|+|y—1|1的條件.

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充分且必要D.既不充分也不必要

解析：數(shù)形結合.

答案：B

2.(x+2y+l)(x-y+4)0表示的平面區(qū)域為

解析：可轉化為

x+2y+10,x+2y+10,

x-y+40x-y+40.

答案：B

3.(2019年全國卷H,14)設x、y滿足約束條件

x0,

xy,

2x-yl,那么z=3x+2y的最大值是.

解析：如圖，當x=y=l時,zmax=5.

答案：5

x-4y+30,

3x+5y-250,

xl,

解析：作出可行域，如圖,當把Z看作常數(shù)時，它表示直線尸ZX的斜率，

因此，當直線y二zx過點A時，z最大；當直線y=zx過點B時，z最小.

x=l,

3x+5y-25=0，得A(1,).

x-4y+3=0,

3x+5y-25=0,

zmax==,zmin=.

答案：

5.畫出以A(31)、B(-1,1)、C(1,3)為頂點的AABC的區(qū)域(包括各邊),

寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標

函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值.

分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域;②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式不等

式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值.

解：如圖，連結點A、B、C,那么直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求

△ABC區(qū)域.

直線AB的方程為xi2y1=0,BC及CA的直線方程分別為

x-y+2=0,2x+y-5=0.

在aABC內(nèi)取一點P(1,1)，分別代入x+2y-1,x-y+2,2x+y-5得

x+2y-10,x-y+20,2x+y-50.

因此所求區(qū)域的不等式組為

x+2y-10,

x-y+20,

2x-y-50.

作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2尸t(t為參數(shù))，即平移直線尸x,

觀察圖形可知：當直線尸x-t過A(31)時，縱截距-t最小.此時t

最大，tmax=33-2(-1)=11；

當直線y二x-t經(jīng)過點B(T,1)時，縱截距-t最大，此時t有最小值為

tmin=3(-1)-21=-5.

因此，函數(shù)z=3x-2y在約束條件

x+2y~10,

x-y+20,

2x-y-50

6.某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質(zhì)6個單位，

含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉

7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒代至少有8個

單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應如何配制盒飯，才既科學又費用

最少？

解：設每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，

所需費用為S=o.5x+0.4y,且X、y滿足

6x+3y8,

4x+7yl0,

xO,

yO,

由圖可知，直線產(chǎn)-*+5過人（，）時，縱截距S最小，即S最小.

故每盒盒版為面食百克，米食百克時既科學又費用最少.

培養(yǎng)能力

7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，配一劑A種藥需甲料3mg,

乙料5mg；配一劑B種藥需甲料5mg，乙料4mg.今有甲料20mg，乙料

25mg，假設A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法？

解：設A、B兩種藥分別配x、y劑（x、yN）,那么

xl,

yi,

3x+5y20,

5x+4y25.

上述不等式組的解集是以直線x=l,y=l,3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所

圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）、

（3.1）、（3,2）、（4,1）,所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不

同的配制方法.

8.某公司方案在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種

產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實

際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供給量，以使得總利潤到達最大.

對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關于

這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：

資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供給量（百元）

空調(diào)機洗衣機

成本3020300

勞動力(工資)510110

單位利潤68

試問：怎樣確定兩種貨物的月供給量，才能使總利潤到達最大，最大利潤

是多少？

解：設空調(diào)機、洗衣機的月供給量分別是x、y臺，總利潤是P，那么

P=6x+8y，由題意有

30x+20y300,

5x+10yll0,

x0,

yO,

x、y均為整數(shù).

由圖知直線y=-x+P過M(4,9)時，縱截距最大?這時P也取最大值

Pmax=64+89=96(百元).

故當月供給量為空調(diào)機4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤9600元.

探究創(chuàng)新

9.實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)

內(nèi)，求：

(1)的值域；

(2)(a1)21(b2)2的值域；

(3)a+b-3的值域.

f(0)0

f(l)0

f(2)0

bO,

a+b+10,

a+b+20.

如下圖.A(-3,1)、B(-2,0)、C(-l,0).

又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為

(1)(,1);(2)(8,17)；(3)(-5,-4).

?思悟小結

簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應用非常廣泛，主要解決的問題是:在

資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務；或是給定一項任

務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務安排問

題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題

轉化為數(shù)學模型，歸結為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.

圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關鍵的一步.一

般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的非封閉平面區(qū)

域.第二是畫好線性目標函數(shù)對應的平行直線系，特別是其斜率與可行域

邊界直線斜率的大小關系要判斷準確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(即邊

界線的交點)處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標的近似值.它應是

目標函數(shù)所對應的直線平移進入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐

標.

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教學點睛

線性規(guī)劃是新增添的教學內(nèi)容，應予以足夠重視.

線性規(guī)劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)

域，是解決線性規(guī)劃問題的根底，因為在直線Ax+By+OO同一側的所有點

（x,y）實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側任取一點

（xO,y0）〔假設原點不在直線上，那么取原點（0,0）最簡便），把它的坐

標代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C0（或

0）表示直線的哪一側.這是教材介紹的方法.

在求線性目標函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設ax+by=t,那么此直

線往右（或左）平移時，t值隨之增大（或減?。?，要會