吉林省長春興華高中2025年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在某次賽車中，名參賽選手的成績（單位：）全部介于到之間（包括和），將比賽成績分為五組：第一組，第二組，···，第五組，其頻率分布直方圖如圖所示.若成績在內(nèi)的選手可獲獎，則這名選手中獲獎的人數(shù)為A. B.C. D.2．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題3．若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.4．用1，2，3，4這4個數(shù)字可寫出（）個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.645．已知直線與直線，若，則（）A.6 B.C.2 D.6．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.8．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.89．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.410．已知橢圓=1的離心率為，則k的值為（）A.4 B.C.4或 D.4或11．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面正方形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________14．橢圓x2+=1上的點到直線x+y-4=0的距離的最小值為_________.15．已知是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是________16．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點和所在直線的方程為.（1）求對角線所在直線的一般方程；（2）求所在直線的一般方程.18．（12分）已知：對任意，都有；：存在，使得（1）若“且”為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“或”為真，“且”為假，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知，命題p：對任意，不等式恒成立；命題q：存在，使得不等式成立；（1）若p為真命題，求a的取值范圍；（2）若為真命題，求a的取值范圍20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的各項均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結(jié)論)21．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：22．（10分）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；問題：在二項式的展開式中，已知__________.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）設(shè)，求的值；（3）求的展開式中的系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖確定成績在內(nèi)的頻率，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：成績在內(nèi)的頻率為，又本次賽車中，共名參賽選手，所以，這名選手中獲獎的人數(shù)為.故選A【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會根據(jù)頻率分布直方圖求頻率即可，屬于?？碱}型.2、C【解析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C3、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過時最大，即，當(dāng)直線與下半圓相切時最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.4、A【解析】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列，共可寫出個三位數(shù).故選：A5、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為直線與直線，且，所以，解得；故選：A6、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A7、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A8、B【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B9、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B10、C【解析】根據(jù)焦點所在坐標(biāo)軸進行分類討論，由此求得的值.【詳解】當(dāng)焦點在軸上時，，且.當(dāng)焦點在軸上時，且.故選：C11、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當(dāng)這三個點不在一條直線上時，可得；當(dāng)這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.12、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據(jù)是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設(shè)點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：14、【解析】設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,求出即得解.【詳解】解：設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當(dāng)時，平行線間的距離為；當(dāng)時，平行線間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.15、【解析】先求得，再得出，對于任意的，都有成立，說明是中的最小項【詳解】由題意，∴，易知函數(shù)在和上都是減函數(shù)，且時，，即，時，，，由題意對于任意的，都有成立，則是最小項，∴，解得，故答案為：16、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求的中點，再利用垂直關(guān)系求直線的斜率，即可求解；（2）首先求點的坐標(biāo)，再求直線的斜率，求得直線的斜率，利用點斜式直線方程，即可求解.【小問1詳解】由和得：中點四邊形為菱形，，且中點，對角線所在直線方程為：，即：.【小問2詳解】由，解得：，，，，直線的方程為：，即：.18、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均為真命題，分別求得為真命題，為真命題時，實數(shù)的取值范圍，再由集合的交集運算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】解：因為“且”為真命題，所以，均為真命題若為真命題，則，解得；若為真命題，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時故實數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】解：若“或”為真，“且”為假，則，一真一假當(dāng)真，假時，則得；當(dāng)假，真時，則得故實數(shù)的取值范圍為19、（1）（2）【解析】（1）利用判別式可求的取值范圍，注意就是否為零分類討論；（2）根據(jù)題設(shè)可得真或真，后者可用參變分離求出的取值范圍，結(jié)合（1）可求的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)p為真命題時，當(dāng)時，不等式顯然成立；當(dāng)時，解得，故a取值范圍為.【小問2詳解】當(dāng)q為真命題時，問題等價于存在，使得不等式成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，∴因為為真命題，所以真或真，故a的取值范圍是20、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（2），；（3）有限個.【解析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3）根據(jù)（2）的思路，可得且，由為整數(shù)，在為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個數(shù)是否有限.【小問1詳解】由，對任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項，∴數(shù)列具有性質(zhì).【小問2詳解】設(shè)的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時對任意正整數(shù)，，又必一奇一偶，即為非負(fù)整數(shù)因此，只要為整數(shù)且，那么為中的一項.易知：可取，對應(yīng)得到個滿足條件的等差數(shù)列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個，∴具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)性質(zhì)的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數(shù)列通項公式，結(jié)合各項均為整數(shù)，判斷公差的個數(shù)是否有限即可.21、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線的點斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達定理可得，從而由斜率的計算公式對進行整理化簡從而可證明.【詳解】（1）解：因為，所以．又因為離心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)