試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)山東省青島市青島第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．12．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若方程在區(qū)間上有解，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無(wú)窮多個(gè)不同的正整數(shù)，滿(mǎn)足，則下列選項(xiàng)中，不可能成立的是（

）A． B． C． D．5．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個(gè)角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（

）

A． B． C． D．6．已知，若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．用向量方法推導(dǎo)正弦定理采取如下操作：如圖1，在銳角△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作與垂直的單位向量，因?yàn)?，所以．由分配律，得，即，也即．?qǐng)用上述向量方法探究，如圖2，直線l與△ABC的邊AB，AC分別相交于D，E．設(shè)，，，，則與△ABC的邊和角之間的等量關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題8．等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則，三、單選題9．已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓B上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（

）A． B． C． D．四、多選題10．已知直線：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．存在使得直線與直線：垂直C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D．若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．（）五、填空題12．已知向量．若，則．13．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則.六、解答題14．在中，角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，線段上一點(diǎn)滿(mǎn)足，求的長(zhǎng)．七、填空題15．已知橢圓為的左?右焦點(diǎn)，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），設(shè)的外接圓面積為，內(nèi)切圓面積為，則的最小值為．八、解答題16．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．17．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的值域；(2)若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，且，證明：.19．設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（i）求；（ii）證明.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《山東省青島市青島第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BACCCDCACDBBD題號(hào)11答案ABD1．B【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后根據(jù)實(shí)部為0可得.【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得.故選：B2．A【分析】首先解高次不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，即，解得且，所以由推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．C【分析】易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】由，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，則函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則.故選：C4．C【分析】分類(lèi)討論，當(dāng)，時(shí)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)分析判斷．【詳解】是等比數(shù)列，公比為，存在無(wú)窮多個(gè)不同的滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，則：①當(dāng)時(shí)，則為非零常數(shù)列，，符合題意，故A可能成立；②當(dāng)時(shí)，則為單調(diào)數(shù)列，恒不成立，且不合題意；當(dāng)時(shí)，可得，則：①當(dāng)時(shí)，若，為偶數(shù)時(shí)，則；若時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，則；符合題意，故B可能成立；②當(dāng)，若，為偶數(shù)時(shí)，則，，，且，即；若，為奇數(shù)時(shí)，則，，，且，即；故符合題意，故D可能成立；③當(dāng)，，，，則，，可得，則，這與等比數(shù)列相矛盾，故和均不合題意，故C不可能成立．故選：C．5．C【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)已知可得，由同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得，結(jié)合角的范圍求.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，依題意可得，故，即，解得或.因?yàn)?，則，故.故選：C6．D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，即可得到，則，再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，又，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，但此二條件不能同時(shí)滿(mǎn)足，故恒成立，所以在上為增函數(shù)又正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，所以，故，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D7．C【分析】設(shè)，利用得到，由向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，因?yàn)?，所以，即，即，所以，即，C正確.故選：C8．ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】等差數(shù)列中，，對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，則，，則，，因此，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，設(shè)的公差為，由，得，解得，則，，D正確.故選：ACD9．B【分析】根據(jù)角平分線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)得，再結(jié)合題設(shè)得，進(jìn)而求出，再結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知，，且，，所以，

因?yàn)?，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵1是抓住角平分線的對(duì)稱(chēng)性之和橢圓的幾何性質(zhì)求出，關(guān)鍵2是利用和的關(guān)系求出，再在中結(jié)合余弦定理即可求解.10．BD【分析】對(duì)于A：整理可得，即可判斷定點(diǎn)；對(duì)于B：分析可知對(duì)任意，直線與圓相交，取符合題意；對(duì)于C：分析可知取到最小值，等價(jià)于取到最小值，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；對(duì)于D：先求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求弦長(zhǎng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€：，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：圓：的圓心為，半徑，因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，則對(duì)任意，直線與圓相交，又因?yàn)橹本€：的斜率為，所以當(dāng)，則，兩直線垂直，所以存在使得直線與直線：垂直，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若取到最小值，等價(jià)于取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)直線：,，，又因?yàn)橹本€：不可能表示，所以,即無(wú)最小，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則直線：，則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故D正確；故選：BD.11．ABD【分析】對(duì)于A，對(duì)條件，求導(dǎo)可得；對(duì)于B，對(duì)條件，兩邊同時(shí)除以可得；對(duì)于C，反證法，假設(shè)C正確，求導(dǎo)，結(jié)合條件，可得與矛盾，可判斷C；對(duì)于D，求出，，所以有，，，得出數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】因?yàn)?，所以，即，令，得，故A正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)成立，求導(dǎo)得，即，又，所以，所以與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，，，，所以有，所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，又，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是，的應(yīng)用，D選項(xiàng)關(guān)鍵是推出是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.12．.【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.13．【分析】由題意可表示出，，，四點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合圓的定義計(jì)算即可得.【詳解】由題意可設(shè)，，則，，，，則、中點(diǎn)與、中點(diǎn)均為，，由，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故為圓心，，則，，即有，則，又，則.故答案為：.14．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求出，即可得解；（2）利用余弦定理求出、，即可求出，再由兩角和的正弦公式求出，最后由正弦定理計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，所?在中，，所以，化簡(jiǎn)得：，由于，則，則，又，所以.（2）由余弦定理，所以，則，又，所以，所以，在中，由正弦定理，即，解得.15．【分析】當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，進(jìn)而求出的范圍，由正弦定理得外接圓的半徑，再利用余弦定理和三角形面積公式化簡(jiǎn)得到的面積，由三角形內(nèi)切圓的半徑公式可得的內(nèi)切圓半徑，化簡(jiǎn)可得，利用基本不等式求出最值即可.【詳解】由于，所以，，故，設(shè)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)為等邊三角形，所以，設(shè)外接圓半徑為，則，即，由余弦定理得：，整理可得，所以的面積，故的內(nèi)切圓半徑，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積以及內(nèi)切圓和外接圓的半徑問(wèn)題，常用以下結(jié)論：(1)橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)；(2)橢圓焦點(diǎn)三角形的面積；(3)三角形外接圓的半徑公式：；(4)三角形內(nèi)切圓的半徑公式：(其中為三角形面積，為周長(zhǎng))16．(1)(2)在上單調(diào)遞增；1【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，，從而可求出切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出在上單調(diào)遞增．又，從而可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．17．(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.18．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出為函數(shù)的一個(gè)正周期，接著利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)的值域即可；（2）記，求其導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?，由，解得，分和分別討論函數(shù)單調(diào)性，從而分析不等式是否恒成立；（3）當(dāng)時(shí)，由（2）得，對(duì)任意的，有，因此（，且），即，令，，利用導(dǎo)數(shù)證明，進(jìn)而得，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的一個(gè)正周期，所以可求時(shí)的值域，對(duì)求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?；?）記，，因?yàn)?，由，解得，?dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上不恒成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）得，對(duì)任意的，有，即，因此（，且），即，設(shè)，，則，令，，則，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)且時(shí)，，所以，因此，.19．(