高中數(shù)學（人教A版）選擇性必修二第四章第二節(jié)《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式》教學設計一、教學背景分析：1.教材分析：了等差數(shù)列通項公式的基礎上進行，其學習平臺是學生已掌握等差數(shù)列的通項性質(zhì)以及高斯算法等相關知識。對本節(jié)的研究，為以后學習數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法——倒序相加法，也為高三運用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型的不等式奠定良好的基礎，具有承上啟下的重要作用。數(shù)列是特殊的函數(shù)，其前n項和公式Sn=f(n)是數(shù)列的前n項和Sn與n之間的函數(shù)解析式。從這個角度出發(fā)，尋求等差數(shù)列的前n項和公式的本質(zhì)就是尋求Sn與n之間的函數(shù)關系式。這一概念將有助于學生自主探求等差數(shù)列前n項和公式。將整個探求過程交由學生主宰，充分調(diào)動學生積極性，發(fā)揮學生的主體地位，對學生“提出問題—理解問題—分析問題—解決問題—評價問題”的能力起到了良好的訓練作用，加強和提高了學生解決問題的能力。2.學情分析：學生已經(jīng)學習了等差數(shù)列的定義及通項公式，掌握了等差數(shù)列的基本性質(zhì)，有了一定的知識準備。大部分學生對高斯算法有比較清晰的認識，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數(shù)列1，2，3，……，100只是一個特殊的等差數(shù)列，對于一般的等差數(shù)列的求和方法和公式學生還是一無所知。本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的教學方式，以問題解答的形式，通過探索、討論、分析、歸納而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的和諧對稱以及使用范圍。二、學科核心素養(yǎng)：1.知識與技能：①掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導方法和公式的簡單運用。②通過對公式從不同角度、不同側面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。2.過程與方法：經(jīng)歷公式的推導過程，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思，進一步培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得成功。4.核心素養(yǎng)：數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。三、教學重點和難點：1.教學重點：等差數(shù)列前項和公式的推導和應用。2.教學難點：公式推導的思路。四、教學策略：1.教學策略：從特殊到一般、從具體到抽象2.思想方法：分類討論、類比歸納五、教學過程：（一）創(chuàng)設情景，提出問題泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建。它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，奢靡之程度，可見一斑。問題1：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？教師活動：利用多媒體，展示泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導學生觀察寶石數(shù)目變化情況。問題分析：（1）已知信息：從上到下，寶石數(shù)目以1為公差依次遞增，構成等差數(shù)列。（2）需要解決的問題：100層中究竟共有多少顆寶石？學生活動：欣賞之余觀察三角形中寶石變化情況并嘗試解決問題.【設計意圖】（1）教師先用多媒體展示彩圖呈現(xiàn)的問題，使學生進入問題情境，激發(fā)學生的興趣，并使學生體會數(shù)學來源于生產(chǎn)生活。（2）用提出問題的方式引入課題，讓學生有目的性的學習知識。（二）探究等差數(shù)列前n項和公式教師活動：指出此數(shù)列的求和方法在1787年已被高斯解決，介紹高斯“神速求和”的故事：小高斯上小學四年級時，一次數(shù)學老師布置了一道數(shù)學習題：把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案：5050，這使老師非常吃驚。問題1：高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出答案的呢？教師活動：指導學生快速找出規(guī)律。學生活動：解決：1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=？1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050問題2：利用了等差數(shù)列通項的哪種性質(zhì)？教師活動：引導學生思考高斯算法的技巧性及理論依據(jù)?！驹O計意圖】為等差數(shù)列前項和公式的推導的“倒序相加法”做好鋪墊。問題3：是否可以通過高斯算法解決一般的等差數(shù)列求和問題？方法1：分類討論法學生活動：類比高斯算法，分組討論等差數(shù)列前項和公式：以小組為單位讓學生分享推導過程：結果預測：學生沒有討論為奇、偶的情況，得出的結果不嚴密。教師活動：提出問題，引導學生討論，并抽小組成員發(fā)表本組觀點。學生活動：對n的奇偶進行分類討論：（1）當為偶數(shù)時：（2）當為奇數(shù)時：問題5：怎樣解決使得我們公式更簡便？學生活動：以小組為單位討論的解決辦法：【設計意圖】從高斯算法自然過渡，尋求一般的等差數(shù)列求和問題的解決辦法，順應學生的思路，教師作為引導，指出該過程中存在的問題，引導學生找到解決問題的方法，讓學生體會到數(shù)列中對腳標數(shù)研究的重要性。方法2：倒序相加法問題6：看到泰姬陵三角形寶石的圖片，假設有層，是否有更快的方法計算寶石總數(shù)？教師活動：提示：倒置拼接成平行四邊形。【設計意圖】倒序相加求和法是數(shù)列求和的常用方法之一，方法比公式本身更為重要，也為以后數(shù)列求和的學習做好鋪墊；滲透了數(shù)形結合的思想，也讓學生感受數(shù)學的對稱美。（三）公式深化問題1：此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？教師活動：引導學生找出變量學生活動：觀察公式，找出變量：【設計意圖】讓學生從變量上理解公式，從形式上初步了解如何由已知探求未知，在頭腦中初步建構公式的適用情況。問題2：此公式還可進行怎樣的變形？教師活動：引導學生從下手對公式進行變形。學生活動：嘗試對公式進行變形：【設計意圖】讓學生感受知識之間的關聯(lián)性，感受運用舊知推導新知的成功和喜悅。鞏固練習：...求和：1+2+3+...+101=_________（2）：等差數(shù)列{}的首項=3，=30，則=______問題3:解題時怎樣對公式進行篩選？教師活動：引導學生對兩個公式進行總結。學生活動：總結出兩公式的區(qū)別及適用情況：（2）若已知，優(yōu)先選用公式①，若已知，優(yōu)先選用公式②?！驹O計意圖】通過兩公式的對比研究，可進一步加深學生對公式的記憶，公式①、②的區(qū)別可提高學生的做題速度和質(zhì)量，再一次體現(xiàn)了數(shù)學的精準性。問題4：等差數(shù)列的通項公式是的一元二次函數(shù)，類比可得與有怎樣的本質(zhì)關系？學生活動：對公式②變形，將整理成關于的二次函數(shù)模型：鞏固練習：下列表達式中不可表示等差數(shù)列前項和的是（）（四）公式應用、反饋評價例1、已知數(shù)列{}是等差數(shù)列.(1)若=7，=101，求；教師活動：引導學生仔細審題，找出已知量，建立與未知量的聯(lián)系。學生活動：交流、討論，選取最優(yōu)方法。變式：在等差數(shù)列中，為其前項和(1)設等差數(shù)列{}的前n項和為，若=120，求+.教師活動：從例1的第3小問出發(fā)，引導學生利用通項公式的性質(zhì)求和?！驹O計意圖】讓學生理解前項和公式的另一變形：例2、求正整數(shù)中前個奇數(shù)的和。教師活動：分析問題，引導學生將文字語言轉化為數(shù)學語言，組織學生交流、討論。學生活動：將文字語言轉化為數(shù)學語言后再進行公式的選擇?！驹O計意圖】通過此題，培養(yǎng)學生數(shù)學語言轉化能力，并熟練地選取公式進行求解。（五）課堂小結問題：通過本堂課的學習，你有哪些收獲？教師活動：鼓勵學生積極回答，再幫助學生將知識系統(tǒng)化。學生活動：學生各抒己見，談體會：（1）公式探究過程：特殊到一般，具體到抽象，感性到理性；（2）數(shù)學思想方法和思維方法：倒序相加法，類比，文字語言與數(shù)學語言的等價轉化；【設計意圖】通過學生總結、學生評價、教師評價的環(huán)節(jié)，讓學生學會反思，學習不僅要發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，還需要歸納總結，及時反思。六、課后作業(yè)：1、（必做）教材習題4.2.2：2，3，4，52、（選做）【設計意圖】必做題鞏固學生基礎，選做題針對學有余力的同學提高能力，層次分明。尊重了學生發(fā)展的個體差異性。七、板書設計：4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式一、等差數(shù)列前n項和：四、例題及解答二