2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)實(shí)際生活應(yīng)用試題一、函數(shù)模型應(yīng)用綜合題（25分）（一）購物消費(fèi)優(yōu)化問題某超市為促銷推出兩種會(huì)員方案：方案A：每月會(huì)員費(fèi)50元，所有商品享受9折優(yōu)惠；方案B：每月會(huì)員費(fèi)100元，所有商品享受8折優(yōu)惠（其中生鮮類商品額外再享9.5折）。已知小明家每月在該超市購物平均消費(fèi)結(jié)構(gòu)如下：食品類：800元（其中生鮮占60%）日用品類：300元其他商品：200元（1）分別建立兩種方案下月消費(fèi)總額y（元）與基本購物金額x（元）的函數(shù)關(guān)系；（2）通過計(jì)算判斷小明家選擇哪種會(huì)員方案更劃算；（3）若小明家計(jì)劃每月節(jié)省30元以上購物開支，在方案B基礎(chǔ)上，每月購物總金額需控制在什么范圍？（二）環(huán)境治理模型題某化工廠2025年1月投入治污設(shè)備后，每月的污染排放量y（單位：噸）與月份x（1≤x≤12）的關(guān)系滿足函數(shù)模型y=200·(0.8)^x+10x+50。環(huán)保部門要求該廠每月污染排放量不得超過180噸。（1）計(jì)算3月份和6月份的污染排放量；（2）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并判斷哪幾個(gè)月需要加強(qiáng)治污措施；（3）若每噸污染物處理成本為2000元，計(jì)算全年治污總費(fèi)用。二、三角函數(shù)應(yīng)用題（20分）（一）建筑遮陽設(shè)計(jì)某居民樓陽臺(tái)朝南，為設(shè)計(jì)遮陽篷，測(cè)得夏至日正午太陽高度角為75°，冬至日正午太陽高度角為30°（太陽高度角θ=90°-|當(dāng)?shù)鼐暥?太陽直射點(diǎn)緯度|）。已知陽臺(tái)寬1.2米，窗臺(tái)高0.8米。（1）若要求夏至日正午陽光剛好照到窗臺(tái)內(nèi)側(cè)，計(jì)算遮陽篷的伸出長(zhǎng)度；（2）在（1）的條件下，計(jì)算冬至日正午陽光照進(jìn)陽臺(tái)的深度；（3）若遮陽篷采用可調(diào)節(jié)角度設(shè)計(jì)，當(dāng)太陽高度角為θ時(shí)，寫出遮陽篷最佳伸出長(zhǎng)度L與θ的函數(shù)關(guān)系（精確到0.01米）。（二）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型某醫(yī)療器械的振動(dòng)部件做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移y（cm）與時(shí)間t（s）的關(guān)系為y=4sin(πt+π/3)。（1）求該振動(dòng)的振幅、周期和初相位；（2）計(jì)算t=0.5s時(shí)的位移和速度（速度v=y'）；（3）若振幅減小為原來的3/4，頻率增加一倍，寫出新的振動(dòng)方程。三、數(shù)列與不等式應(yīng)用題（25分）（一）教育基金規(guī)劃小明父母2025年1月開始每月初存入教育基金a元，月利率為0.3%，按復(fù)利計(jì)算（即每月利息計(jì)入下月本金）。（1）寫出第n個(gè)月存款后的本利和an的遞推公式；（2）求2027年12月存款后的本利和總額（精確到1元）；（3）若2028年9月需支付大學(xué)入學(xué)費(fèi)用5萬元，每月至少需存入多少元？（二）校園快遞柜配置某?？爝f驛站現(xiàn)有5個(gè)快遞柜，每個(gè)柜子有36個(gè)格口。隨著網(wǎng)購增加，快遞量逐月增長(zhǎng)，2025年3月快遞總量為2000件，以后每月遞增150件。（1）若每個(gè)格口平均存放1.2件快遞，建立快遞柜缺口數(shù)y與月份x（x≥3）的函數(shù)關(guān)系；（2）若每增加1個(gè)快遞柜需投入2000元，每月維護(hù)費(fèi)50元/柜，預(yù)測(cè)2025年下學(xué)期（9-12月）需新增多少個(gè)快遞柜，總費(fèi)用多少元？（3）為節(jié)約成本，驛站采取"柜+臨時(shí)貨架"模式，每個(gè)貨架可臨時(shí)存放80件，成本僅為快遞柜的1/5。寫出總成本C與新增快遞柜數(shù)量n的函數(shù)關(guān)系，并求n為何值時(shí)成本最低。四、立體幾何與空間向量應(yīng)用題（20分）（一）倉儲(chǔ)貨架設(shè)計(jì)某倉庫設(shè)計(jì)三層貨架，底層是棱長(zhǎng)為1.2m的正方體貨格，中層是底面邊長(zhǎng)0.8m的正四棱柱，頂層是底面直徑0.6m的圓柱。貨架總高度2.8m，層間距0.3m。（1）計(jì)算每層的內(nèi)部高度（精確到0.01m）；（2）若存放半徑0.2m的球型貨物，每層最多能放多少個(gè)？（3）設(shè)計(jì)斜拉式加固桿，從底層一角到頂層對(duì)角，計(jì)算加固桿的長(zhǎng)度和與水平面的夾角。（二）無人機(jī)測(cè)繪某無人機(jī)在100米高空測(cè)得教學(xué)樓頂部俯角為30°，前進(jìn)50米后測(cè)得俯角為45°（俯角為視線與水平線的夾角）。（1）計(jì)算教學(xué)樓的高度；（2）若無人機(jī)保持高度不變，要拍攝教學(xué)樓全景，需距離教學(xué)樓底部多遠(yuǎn)？（3）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出無人機(jī)兩次觀測(cè)點(diǎn)和教學(xué)樓頂部的坐標(biāo)。五、概率統(tǒng)計(jì)與線性規(guī)劃綜合題（30分）（一）校園食品安全檢測(cè)學(xué)校食堂每天抽檢5種食材，每種食材合格率為0.95，且各食材合格與否相互獨(dú)立。（1）求一天抽檢全部合格的概率；（2）若連續(xù)三天至少有兩天全部合格，則評(píng)為"食品安全示范窗口"，求獲得該稱號(hào)的概率；（3）建立抽檢合格食材數(shù)X的分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差。（二）校園共享單車調(diào)度某校現(xiàn)有A、B兩個(gè)停車點(diǎn)，A點(diǎn)可容納80輛，B點(diǎn)可容納60輛。早高峰后統(tǒng)計(jì)：A點(diǎn)有65輛（其中20輛需調(diào)度到B點(diǎn)），B點(diǎn)有48輛（其中15輛需調(diào)度到A點(diǎn)）。每輛調(diào)度成本：A→B為2元，B→A為3元。（1）設(shè)從A調(diào)x輛到B，從B調(diào)y輛到A，建立總成本C的線性規(guī)劃模型；（2）求最低調(diào)度成本及此時(shí)的調(diào)度方案；（3）若每輛單車日均收益12元，調(diào)度后車輛利用率從70%提升到90%，計(jì)算調(diào)度后每月（30天）增加的收益。（三）成績(jī)分析模型某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)（分）服從正態(tài)分布N(75,102)。（1）計(jì)算成績(jī)?cè)赱65,85]的學(xué)生人數(shù)；（2）若按120%的比例劃定及格線（滿分150分），計(jì)算及格線分?jǐn)?shù)；（3）建立成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)t（小時(shí)/周）的線性回歸方程，若某學(xué)生每周學(xué)習(xí)15小時(shí)，預(yù)測(cè)其成績(jī)（參考數(shù)據(jù)：?=10，?=75，=120，=800，=1050）。六、附加探究題（10分）新能源汽車優(yōu)化配置某小區(qū)計(jì)劃采購10輛新能源汽車作為共享用車，現(xiàn)有A、B兩種車型選擇：A型車單價(jià)12萬元，續(xù)航400km，百公里電耗15度；B型車單價(jià)15萬元，續(xù)航600km，百公里電耗12度。小區(qū)充電樁最大功率允許總續(xù)航不超過5000km，購車預(yù)算不超過130萬元。（1）建立購車方案的線性規(guī)劃模型；（2）若每輛車年均運(yùn)營(yíng)里程1.5萬