第二十五章概率初步知識(shí)點(diǎn)01隨機(jī)事件與概率1.

事件的類(lèi)型：必然事件是在一定條件下的事件；不可能事件是在一定條件下必然的事件；隨機(jī)事件是在一定條件下的事件。2.

事件發(fā)生的可能性：必然事件發(fā)生的可能性為；不可能事件發(fā)生的可能性為；隨機(jī)事件發(fā)生的可能性介于之間。3.

概率：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，把刻畫(huà)其發(fā)生可能性大小的稱(chēng)為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)。4.

概率的計(jì)算：如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=，0≤P(A)≤1。5.

事件發(fā)生的可能性與概率的關(guān)系：事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0。知識(shí)點(diǎn)02用列舉法求概率1.

法：當(dāng)事件涉及的對(duì)象比較單一且等可能結(jié)果時(shí)，可直接列舉出所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式P(A)=m/n求概率。2.

法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及，且可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，常采用列表法。選其中一次操作或一個(gè)條件為橫行，另一次操作或另一個(gè)條件為豎行，列出表格，再用概率公式計(jì)算。3.

法：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及或時(shí)，為不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果，通常采用畫(huà)樹(shù)狀圖法。知識(shí)點(diǎn)03利用頻率估計(jì)概率1.

在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)，那么這個(gè)就叫做事件A的概率，記為P(A)=p。2.

用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的，頻率會(huì)越來(lái)越接近。易錯(cuò)點(diǎn)1模球?qū)嶒?yàn)中的有放回與無(wú)放回易錯(cuò)問(wèn)題1.易錯(cuò)問(wèn)題總結(jié)：有放回時(shí)，每次摸球概率獨(dú)立不變，如連續(xù)摸2次紅球概率為單次概率平方；無(wú)放回時(shí)概率受前次結(jié)果影響，需用組合數(shù)計(jì)算，易混淆兩種情境下的概率公式。計(jì)算“至少”類(lèi)問(wèn)題時(shí)，有放回可用對(duì)立事件簡(jiǎn)化，無(wú)放回易因忽略剩余球數(shù)變化導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。2.注意事項(xiàng)總結(jié)明確實(shí)驗(yàn)規(guī)則：判斷是否放回，確定樣本空間是否變化，有放回樣本數(shù)恒定，無(wú)放回隨次數(shù)減少。區(qū)分有序與無(wú)序：有放回注重順序，無(wú)放回用組合時(shí)需注意是否有序，避免重復(fù)或遺漏計(jì)數(shù)。例題1．2023年10月15日上午，我校迎來(lái)了重量級(jí)嘉賓一曼聯(lián)傳奇球星，英超歐冠雙料射手王德懷特·約克和陜西長(zhǎng)安聯(lián)合足球俱樂(lè)部?jī)?yōu)秀球員糜昊倫，與同學(xué)們面對(duì)面交流指導(dǎo)．為了進(jìn)一步普及和推廣足球運(yùn)動(dòng)，發(fā)揚(yáng)光大“足球精神”，初一年級(jí)體育組在第二課堂活動(dòng)中安排了班級(jí)之間的足球比賽．經(jīng)過(guò)第一輪的比拼后，四個(gè)班級(jí)、、、進(jìn)入半決賽．半決賽中對(duì)陣班級(jí)按如下方式?jīng)Q定：準(zhǔn)備四張一模一樣的卡片，在卡片的正面寫(xiě)上四個(gè)班級(jí)的名字，將卡片背面朝上放在桌上，隨機(jī)地從中依次無(wú)放回地抽取兩張卡片，抽取到的兩張卡片代表的班級(jí)比賽，剩余兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行比賽．(1)抽第一張卡片時(shí)，抽到班的概率為_(kāi)_______；(2)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或者列表法求出半決賽中班與班進(jìn)行比賽的概率．易錯(cuò)點(diǎn)2幾何概率問(wèn)題1.易錯(cuò)問(wèn)題總結(jié)混淆幾何度量類(lèi)型：誤將長(zhǎng)度、面積、體積等度量方式混用，如在平面問(wèn)題中錯(cuò)用線段長(zhǎng)度計(jì)算概率。忽略等可能性：未確?；臼录趲缀螀^(qū)域內(nèi)均勻分布，導(dǎo)致概率計(jì)算基于非均勻模型而出錯(cuò)。2.注意事項(xiàng)總結(jié)明確幾何模型：根據(jù)問(wèn)題場(chǎng)景確定用長(zhǎng)度、面積還是體積作為度量，保證樣本空間與事件的度量維度一致。驗(yàn)證均勻性：確認(rèn)隨機(jī)點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)等可能分布，必要時(shí)通過(guò)圖形分割或坐標(biāo)轉(zhuǎn)換簡(jiǎn)化計(jì)算。例題2．（1）如圖1，一邊長(zhǎng)為的正方形木質(zhì)鏢靶，四個(gè)角的空白部分是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的扇形，某人向此鏢靶投鏢，假設(shè)每次都投中，求他投中陰影部分的概率．（2）如圖2，是由邊長(zhǎng)分別為和的兩個(gè)正方形組成的圖案，若在圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好在陰影部分的概率是．（3）若一個(gè)小玻璃球在如圖3所示的地磚圖案內(nèi)自由滾動(dòng)，甲、乙兩人打賭，甲說(shuō)，小玻璃球一定會(huì)停在黑色區(qū)域上，乙說(shuō)，小玻璃球一定會(huì)停在白色區(qū)域上，你認(rèn)為誰(shuí)獲勝的概率較大？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．易錯(cuò)點(diǎn)3求概率涉及其他知識(shí)點(diǎn)的綜合問(wèn)題1.易錯(cuò)問(wèn)題總結(jié)知識(shí)銜接斷層：如與函數(shù)結(jié)合時(shí)，誤將概率定義域等同于函數(shù)定義域；與數(shù)列結(jié)合時(shí)，忽略概率事件的遞推邏輯。邏輯分層混亂：多步驟問(wèn)題中，混淆分步與分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，或在含統(tǒng)計(jì)圖表題中誤讀數(shù)據(jù)與概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.注意事項(xiàng)總結(jié)拆解知識(shí)鏈條：明確各模塊銜接點(diǎn)，如用不等式確定概率事件范圍時(shí)，先厘清變量取值邏輯。分步驗(yàn)證邏輯：復(fù)雜問(wèn)題按“事件分解→對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)套用→概率公式計(jì)算”分步推進(jìn)，每步驗(yàn)證合理性。例題3．甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲時(shí)，把轉(zhuǎn)盤(pán)A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，如圖．游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn)．(1)甲先單獨(dú)轉(zhuǎn)A轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)到4的概率_____；(2)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)4概率與統(tǒng)計(jì)的綜合易錯(cuò)問(wèn)題1.易錯(cuò)問(wèn)題總結(jié)數(shù)據(jù)解讀偏差：誤將頻率直接等同于概率，忽略大樣本下頻率的穩(wěn)定性；或混淆統(tǒng)計(jì)量（如均值、方差）與概率事件的關(guān)聯(lián)。抽樣邏輯混淆：分層抽樣中錯(cuò)算各層概率權(quán)重，或在獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)誤將相關(guān)性當(dāng)作因果性，導(dǎo)致概率推斷錯(cuò)誤。2.注意事項(xiàng)總結(jié)明確頻率與概率關(guān)系：用頻率估計(jì)概率需基于足夠樣本，區(qū)分“實(shí)際數(shù)據(jù)”與“理論概率”的差異。緊扣抽樣與檢驗(yàn)規(guī)則：按抽樣方法確定概率計(jì)算的樣本基數(shù)，獨(dú)立性檢驗(yàn)中嚴(yán)格遵循卡方值判斷邏輯，不牽強(qiáng)關(guān)聯(lián)。例題4．2024年8月12日，2024巴黎奧運(yùn)會(huì)落下帷幕．6名貴州籍運(yùn)動(dòng)員為國(guó)征戰(zhàn)，贏得了3枚奧運(yùn)金牌．射擊運(yùn)動(dòng)員謝瑜在男子10米氣手槍項(xiàng)目中獲得金牌，為中國(guó)隊(duì)奪得第三金，這也是貴州歷史上第一個(gè)射擊奧運(yùn)冠軍．為了解學(xué)生對(duì)觀看奧運(yùn)比賽的喜愛(ài)程度，某興趣小組在本校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，被調(diào)查的每個(gè)學(xué)生按A（非常喜歡），B（比較喜歡），C（一般），D（不喜歡）四個(gè)等級(jí)進(jìn)行評(píng)價(jià)．繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖①，圖②）．請(qǐng)你結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題：(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有________人；并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)在A（非常喜歡），B（比較喜歡），C（一般），D（不喜歡）這四個(gè)等級(jí)中，選擇________等級(jí)的人數(shù)是最多的，調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在________等級(jí)．(3)學(xué)校決定成立“羽毛球”“籃球”“乒乓球”“排球”四個(gè)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)社團(tuán)．若小亮、小穎都只能參加其中一個(gè)社團(tuán)，請(qǐng)利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求他們選擇同一社團(tuán)的概率．易錯(cuò)點(diǎn)5概率與頻率的綜合易錯(cuò)問(wèn)題易錯(cuò)問(wèn)題總結(jié)1.

混淆概率與頻率的概念：誤將頻率當(dāng)作概率，忽略“大量重復(fù)試驗(yàn)”的前提。例如，僅做幾次拋硬幣試驗(yàn)，就認(rèn)為正面朝上的頻率等于概率，而概率是頻率在大量試驗(yàn)下的穩(wěn)定值。2.

計(jì)算等可能結(jié)果時(shí)重復(fù)或遺漏：用列舉法求概率時(shí)，對(duì)“等可能”理解不到位，導(dǎo)致結(jié)果重復(fù)計(jì)數(shù)或遺漏。比如同時(shí)擲兩枚骰子，錯(cuò)誤列舉結(jié)果數(shù)量，影響概率計(jì)算的準(zhǔn)確性。注意事項(xiàng)總結(jié)1.

明確概率與頻率的關(guān)系：概率是理論值，頻率是實(shí)驗(yàn)值，大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率才會(huì)趨近于概率，解題時(shí)需關(guān)注試驗(yàn)次數(shù)是否足夠多。2.

嚴(yán)謹(jǐn)列舉等可能結(jié)果：使用列表法或樹(shù)狀圖法時(shí)，務(wù)必確保所有結(jié)果不重不漏，且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等，以此保證概率計(jì)算的正確性。例題5．在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，如下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m73117152370604751摸到白球的頻率(1)請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近___________；隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留兩位小數(shù)）(2)試估算，口袋中黑球的個(gè)數(shù)是________，白球的個(gè)數(shù)是___________；(3)從口袋中任意摸出一個(gè)球，記下顏色后放回口袋中攪拌均勻，再任意摸出一個(gè)球，請(qǐng)用樹(shù)狀圖的方法求兩次摸到的球的顏色正好相同的概率．一、單選題1．一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“最”

“美”

“遼”

“寧”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺?，取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“遼寧”的概率是（

）A． B． C． D．A． B． C． D．0123450123454．不透明的口袋里裝有若干個(gè)除顏色外都相同的小球，將球搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，得到一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（見(jiàn)下表），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）摸球的次數(shù)1001503005008001000摸到紅球的次數(shù)6193b301480601摸到紅球的頻率a0.620.590.6020.600.601C．摸到紅球的概率約為0.60 D．若袋中有9個(gè)紅球，則總球數(shù)有14個(gè)二、填空題5．在3張相同的小紙條上分別寫(xiě)有“石頭”“剪子”“布”，將這3張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻．甲、乙兩人通過(guò)抽簽分勝負(fù)，規(guī)定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”．甲先從盒子中任意抽出1支簽（不放回），乙再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽，則甲取勝的概率為．石頭剪子布石頭（石頭，剪子）（石頭，布）剪子（剪子，石頭）（剪子，布）布（布，石頭）（布，剪子）試驗(yàn)次數(shù)500相交頻數(shù)157相交頻率0.314由此估計(jì)的近似值為（精確到0.01）三、解答題9．茂陵博物館是以漢武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等為主的西漢斷代史博物館，館藏文物豐富．館內(nèi)文創(chuàng)店新推出四款特色明信片(除畫(huà)面不同外，其他完全相同)，分別是：．馬踏匈奴，．西漢鎏金馬，．四神紋玉鋪首，．四神紋銅染器，店員將這四款明信片各取一張背面朝上洗勻后放于展示臺(tái)上．(1)小茂隨機(jī)抽取一張明信片，則抽到“．西漢鎏金馬”的概率是____________；(2)小茂想隨機(jī)抽取兩張明信片(先隨機(jī)抽取一張，不放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張)，一張送給朋友，一張自己收藏．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求他抽取的兩張明信片中含有．四神紋玉鋪首的概率．(1)在圖1的轉(zhuǎn)盤(pán)中轉(zhuǎn)出數(shù)字9的概率是___________．(2)小明轉(zhuǎn)動(dòng)圖1的轉(zhuǎn)盤(pán)，小亮轉(zhuǎn)動(dòng)圖2的轉(zhuǎn)盤(pán)（若轉(zhuǎn)盤(pán)的指針恰好指在分界線上時(shí)重轉(zhuǎn)），小穎認(rèn)為：小明轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率與小亮轉(zhuǎn)出紅色的概率相同．小穎的觀點(diǎn)對(duì)嗎？為什么？11．某奶茶店舉辦“盲盒抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，在一個(gè)不透明的盒子里裝有紅、黑兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外其余完全相同，每次摸獎(jiǎng)，店員將球攪勻后，顧客從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把球放回盒子中，店員記錄了抽獎(jiǎng)數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)5010030050080010002000摸到紅球的次數(shù)143395155241298602摸到紅球的頻率

(3)若先從袋子中取出個(gè)紅球，再放入個(gè)一樣的黑球并搖勻，隨機(jī)摸出1個(gè)紅球的概率為，求的值．12．某商場(chǎng)有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)（如圖）．規(guī)定：顧客購(gòu)物100元以上可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701落在“鉛筆”的頻率(1)計(jì)算并完成表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得鉛筆的概率約是多少（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)68111136345546701落在“鉛筆”的頻率0.680.740.680.690.680.7013．為響應(yīng)生態(tài)文明，增強(qiáng)居民環(huán)保意識(shí)，某社區(qū)舉辦“綠色生活”問(wèn)答賽，答對(duì)道以上題目的居民可參與如圖①的自由轉(zhuǎn)盤(pán)抽獎(jiǎng)（指針指向邊界需重新轉(zhuǎn)）．請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：(1)小遠(yuǎn)在此次問(wèn)答賽中共答對(duì)道題目，他轉(zhuǎn)到環(huán)保購(gòu)物袋的概率是；14．我市啟動(dòng)“陽(yáng)光體育”活動(dòng)以后，各中小學(xué)體育活動(dòng)精彩紛呈，形式多樣．現(xiàn)有四項(xiàng)體育活動(dòng)：籃球、乒乓球、羽毛球、跳繩（依次用A，B，C，D表示），為了解學(xué)生對(duì)以上四項(xiàng)活動(dòng)的喜好程度，我市對(duì)中小學(xué)進(jìn)行最喜好的體育活動(dòng)抽樣調(diào)查．并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)估計(jì)某校3000名學(xué)生中最喜歡乒乓球活動(dòng)的人數(shù)約為_(kāi)_________人；(3)現(xiàn)從喜好籃球的甲、乙．丙、丁四名學(xué)生中任選兩人參加校籃球隊(duì)進(jìn)行集訓(xùn)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求恰好甲和丁同時(shí)被選到的概率．(1)求從入口A，處投放一個(gè)小球落入甲槽內(nèi)的概率；(2)某商家在研究了高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)后，利用其進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)銷(xiāo)售一種商品．現(xiàn)有如下抽獎(jiǎng)方案：方案一：商品定價(jià)54元，顧客入店購(gòu)買(mǎi)一件該商品，可以在圖1所示的釘板上玩一次游戲，小球落入甲槽內(nèi)則該商品立減2元，落入乙槽內(nèi)則該商品立減6元；方案二：商品定價(jià)a元，商家改進(jìn)高爾頓釘板后如圖2所示，將釘子減少為3層．顧客入店購(gòu)買(mǎi)一件該商品，可以在圖2所示的釘板上玩一次游戲，小球落入甲槽內(nèi)則該商品立減2元，落入乙槽內(nèi)則該商品立減6元．已知一件該商品的成本為40元，假如某天有100人各購(gòu)買(mǎi)了一件該商品，并參與了此抽獎(jiǎng)，請(qǐng)估算若要使商家采用方案一獲利不少于方案二，那么方案二中的定價(jià)a最高為多少元？并說(shuō)明理由．16．某中學(xué)開(kāi)展“國(guó)慶70周年閱兵盛典觀看情況”調(diào)查活動(dòng)，隨機(jī)調(diào)查了部分初中生觀看閱兵盛典的收視情況，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成如圖1和圖2所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖．(1)被調(diào)查初中生的人數(shù)為人；(2)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)若該學(xué)校有學(xué)生1000人，請(qǐng)估計(jì)該校沒(méi)觀看閱兵盛典的學(xué)生人數(shù)？(4)某班級(jí)3名同學(xué)都觀看了閱兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要從這3人中任選2人寫(xiě)觀后感在班級(jí)交流，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)形圖法求選出的2人恰好1人全看完，1人看一多