專題02空間向量及其運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1.理解空間向量的基本概念和性質(zhì)；2.掌握向量加減、數(shù)乘及數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則及運(yùn)算律；3.培養(yǎng)類比、分析和計(jì)算的能力教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：掌握空間向量加減、數(shù)乘及數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則及運(yùn)算；2.教學(xué)難點(diǎn)：理解空間向量的基本概念與性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)01空間向量的概念1、空間向量的有關(guān)概念（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；（2）幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點(diǎn)，叫向量的終點(diǎn)；【即學(xué)即練】1.【多選】給出下列命題，其中正確的命題是（

）【答案】BCD【詳解】依據(jù)向量相等的概念，選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；故選：BCD.2.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】D【詳解】對(duì)于A，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))的方向不同，因而不是相等向量，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正確．故選D知識(shí)點(diǎn)02空間向量的加法、減法運(yùn)算3、空間向量的加法運(yùn)算律【知識(shí)拓展】空間向量加法的多邊形法則1．當(dāng)兩個(gè)以上的空間向量相加時(shí)，可將三角形法則推廣到多邊形法則:n個(gè)向量順次首尾相接，則封閉折線的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是它們的和,即2.由上述法則可推導(dǎo)出：圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量.【即學(xué)即練】1已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列各式運(yùn)算結(jié)果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))【答案】D【詳解】選項(xiàng)A中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)B中，eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)D中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC1,\s\up7(→))≠eq\o(AC1,\s\up7(→)).故選D.【答案】C故選：C.知識(shí)點(diǎn)03空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同與向量的方向相反3．?dāng)?shù)乘向量的運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【即學(xué)即練】知識(shí)點(diǎn)04共線向量與共面向量1．共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【即學(xué)即練】【答案】B故選：B.2.下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）【答案】D3.在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A所以選A知識(shí)點(diǎn)05空間向量的數(shù)量積規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2.常用公式：(a，b為非零向量)①垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0.②模長公式：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③夾角公式：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).3、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：【即學(xué)即練】【答案】C故選：C【答案】故答案為：(2)求與的夾角的大小余弦值；(3)判斷與是否垂直．故與垂直.題型01空間向量的有關(guān)概念【典例1】下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間任意兩個(gè)向量共面 D．若a→∥b→【答案】C【詳解】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個(gè)向量共面，正確；D．若a→∥b→，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使使綜上可知：只有C正確．故選：C．【典例12】（2425高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．零向量是任意直線的方向向量B．方向相同的兩個(gè)向量是相等向量C．空間任意三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)直線的方向向量的定義得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)相等向量定義得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量基底的定義得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由空間向量和平面向量的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，D正確.故選：D在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.【變式11】（2425高二上·河南商丘·階段練習(xí)）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個(gè)命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故①為假命題；對(duì)于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；對(duì)于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個(gè)單位向量必相等是假命題，故④為假命題.故選：B【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則和相反向量的概念判斷即可故選：C【變式13】下列說法正確的是（

）A．向量與向量是相等向量C．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)D．若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷A；根據(jù)空間向量的概念判斷B；根據(jù)空間向量模的定義判斷C；根據(jù)共線向量的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，向量與向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；對(duì)于B，與實(shí)數(shù)不一樣，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大小，因此B不正確；對(duì)于C，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，因此C不正確；對(duì)于D，若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.故選：D.題型02空間向量的線性運(yùn)算【答案】C故選：C.【答案】B【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.故選：.在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.A．1 B． C．2 D．3【答案】C故選：C.

A． B． C． D．【答案】A

故選：A.題型03共線向量定理的應(yīng)用A．5 B． C．3 D．【答案】B故選：BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故選：C.利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線．證平行時(shí)，先從直線上取有向線段來表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題時(shí)，通常不用圖形。直接利用向量的線性運(yùn)算，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)．A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B故選：BA．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【分析】利用空間向量平行證明三點(diǎn)共線即可.所以、、三點(diǎn)共線，故選C正確.故選：C.故D成立，故選：D.題型04共面向量及應(yīng)用A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四點(diǎn)共面；反之，若，，，四點(diǎn)共面，當(dāng)與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)比如點(diǎn)重合時(shí)，故選：B．A． B．1 C．2 D．3【答案】B 1．解決向量共面的策略(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來表示．2．證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的等價(jià)結(jié)論(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求的值.故選：B.A． B． C． D．【答案】A題型05空間向量的數(shù)量積【答案】D故選：D.A．1 B． C．2 D．【答案】D故選：D【答案】AB【詳解】題型06求兩向量的夾角A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律列式計(jì)算，再利用空間向量夾角的定義求解.故選：D1、求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；2、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟注：求兩向量夾角，必須特別關(guān)注兩向量方向，應(yīng)用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角．A． B． C． D．【答案】A故選：A.題型07求線段的長度或向量的模長【答案】A【分析】借助投影向量定義、數(shù)量積公式及模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.故選：A.【答案】B【分析】借助空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積公式計(jì)算即可得.故選：B.空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解?！敬鸢浮俊敬鸢浮?/p>

題型08證明線線垂直A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直【答案】B對(duì)于D，連接，所以當(dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，直線與直線BP垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積并判斷是否為0.【答案】(1)(2)垂直故與垂直.題型9利用空間向量求異面直線所成的角【答案】B而D，E分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，故選：B利用空間向量求異面直線所成角的方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角，再利用向量夾角公式求解，但要注意的是異面直線所成的角不能為鈍角，故當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時(shí)，異面直線所成的角為其補(bǔ)角.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底法求解即可.故選：D.A．2 B． C． D．【答案】D到面的距離等于，由于側(cè)面和底面垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理可得到的距離為，故選：D.一、單選題1.（2425高二下·福建寧德·期中）下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．任意兩個(gè)空間向量不一定共面 B．模相等的兩個(gè)向量是相等向量C．平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量 D．空間中任意三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】C【詳解】任意兩個(gè)空間向量一定共面，A錯(cuò)誤.方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，B錯(cuò)誤．平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量，C正確.空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D錯(cuò)誤.故選：C.【答案】B故選：B.【答案】B【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.故選：.【答案】C所以與共線，這和與不共線相矛盾，故假設(shè)不成立，則A不正確，同理B不正確，則D不正確；故選：C.【答案】C【分析】在空間四面體中，用向量加法法則表示，再結(jié)合投影向量的計(jì)算方法求解.故選：CA．30° B．45° C．60° D．90°【答