專題02空間向量及其運算教學目標1.理解空間向量的基本概念和性質(zhì)；2.掌握向量加減、數(shù)乘及數(shù)量積的運算規(guī)則及運算律；3.培養(yǎng)類比、分析和計算的能力教學重難點教學重點：掌握空間向量加減、數(shù)乘及數(shù)量積的運算規(guī)則及運算；2.教學難點：理解空間向量的基本概念與性質(zhì).知識點01空間向量的概念1、空間向量的有關概念（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；（2）幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；【即學即練】1.【多選】給出下列命題，其中正確的命題是（

）【答案】BCD【詳解】依據(jù)向量相等的概念，選項A判斷錯誤；故選：BCD.2.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】D【詳解】對于A，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以A錯誤；對于B，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以B錯誤；對于C，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))的方向不同，因而不是相等向量，所以C錯誤；對于D，eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正確．故選D知識點02空間向量的加法、減法運算3、空間向量的加法運算律【知識拓展】空間向量加法的多邊形法則1．當兩個以上的空間向量相加時，可將三角形法則推廣到多邊形法則:n個向量順次首尾相接，則封閉折線的起點指向終點的有向線段表示的向量就是它們的和,即2.由上述法則可推導出：圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量.【即學即練】1已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列各式運算結(jié)果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))【答案】D【詳解】選項A中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項B中，eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項D中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC1,\s\up7(→))≠eq\o(AC1,\s\up7(→)).故選D.【答案】C故選：C.知識點03空間向量的數(shù)乘運算1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．2：數(shù)乘向量與向量的關系的范圍的方向的模與向量的方向相同與向量的方向相反3．數(shù)乘向量的運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【即學即練】知識點04共線向量與共面向量1．共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【即學即練】【答案】B故選：B.2.下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）【答案】D3.在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A所以選A知識點05空間向量的數(shù)量積規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負數(shù)或零;2.常用公式：(a，b為非零向量)①垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0.②模長公式：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③夾角公式：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).3、數(shù)量積的運算性質(zhì)：【即學即練】【答案】C故選：C【答案】故答案為：(2)求與的夾角的大小余弦值；(3)判斷與是否垂直．故與垂直.題型01空間向量的有關概念【典例1】下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間任意兩個向量共面 D．若a→∥b→【答案】C【詳解】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；D．若a→∥b→，則存在唯一的實數(shù)λ，使使綜上可知：只有C正確．故選：C．【典例12】（2425高二上·河南洛陽·階段練習）下列關于空間向量的說法正確的是（

）A．零向量是任意直線的方向向量B．方向相同的兩個向量是相等向量C．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量【答案】D【分析】A選項，根據(jù)直線的方向向量的定義得到A錯誤；B選項，根據(jù)相等向量定義得到B錯誤；C選項，根據(jù)空間向量基底的定義得到C錯誤；D選項，由空間向量和平面向量的定義進行判斷.【詳解】A選項，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，A錯誤；B選項，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤；C選項，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，C錯誤；D選項，任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，D正確.故選：D在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.【變式11】（2425高二上·河南商丘·階段練習）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；④空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.【詳解】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故①為假命題；對于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；對于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故④為假命題.故選：B【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加減運算法則和相反向量的概念判斷即可故選：C【變式13】下列說法正確的是（

）A．向量與向量是相等向量C．向量的模是一個正實數(shù)D．若兩個非零向量是共線向量，則這兩個向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷A；根據(jù)空間向量的概念判斷B；根據(jù)空間向量模的定義判斷C；根據(jù)共線向量的定義判斷D.【詳解】對于A，向量與向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；對于B，與實數(shù)不一樣，兩個實數(shù)可以比較大小，而兩個向量不能比較大小，因此B不正確；對于C，向量的模是一個非負實數(shù)，因此C不正確；對于D，若兩個非零向量是共線向量，則這兩個向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.故選：D.題型02空間向量的線性運算【答案】C故選：C.【答案】B【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.故選：.在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.A．1 B． C．2 D．3【答案】C故選：C.

A． B． C． D．【答案】A

故選：A.題型03共線向量定理的應用A．5 B． C．3 D．【答案】B故選：BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故選：C.利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點共線．證平行時，先從直線上取有向線段來表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題時，通常不用圖形。直接利用向量的線性運算，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點．A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B故選：BA．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【分析】利用空間向量平行證明三點共線即可.所以、、三點共線，故選C正確.故選：C.故D成立，故選：D.題型04共面向量及應用A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四點共面；反之，若，，，四點共面，當與四個點中的一個比如點重合時，故選：B．A． B．1 C．2 D．3【答案】B 1．解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．2．證明空間四點P，M，A，B共面的等價結(jié)論(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求的值.故選：B.A． B． C． D．【答案】A題型05空間向量的數(shù)量積【答案】D故選：D.A．1 B． C．2 D．【答案】D故選：D【答案】AB【詳解】題型06求兩向量的夾角A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的定義及運算律列式計算，再利用空間向量夾角的定義求解.故選：D1、求兩個向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；2、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟注：求兩向量夾角，必須特別關注兩向量方向，應用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角．A． B． C． D．【答案】A故選：A.題型07求線段的長度或向量的模長【答案】A【分析】借助投影向量定義、數(shù)量積公式及模長與數(shù)量積的關系計算即可得.故選：A.【答案】B【分析】借助空間向量的線性運算與數(shù)量積公式計算即可得.故選：B.空間向量求模的運算要注意公式的準確應用。向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解。【答案】【答案】

題型08證明線線垂直A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直【答案】B對于D，連接，所以當點在的位置時，直線與直線BP垂直，故D錯誤.故選：B.利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積并判斷是否為0.【答案】(1)(2)垂直故與垂直.題型9利用空間向量求異面直線所成的角【答案】B而D，E分別是棱AB，PC的中點，故選：B利用空間向量求異面直線所成角的方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角，再利用向量夾角公式求解，但要注意的是異面直線所成的角不能為鈍角，故當兩向量的夾角為鈍角時，異面直線所成的角為其補角.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底法求解即可.故選：D.A．2 B． C． D．【答案】D到面的距離等于，由于側(cè)面和底面垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理可得到的距離為，故選：D.一、單選題1.（2425高二下·福建寧德·期中）下列關于空間向量的說法正確的是（

）A．任意兩個空間向量不一定共面 B．模相等的兩個向量是相等向量C．平行于同一個平面的向量叫做共面向量 D．空間中任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底【答案】C【詳解】任意兩個空間向量一定共面，A錯誤.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤．平行于同一個平面的向量叫做共面向量，C正確.空間中任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，D錯誤.故選：C.【答案】B故選：B.【答案】B【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.故選：.【答案】C所以與共線，這和與不共線相矛盾，故假設不成立，則A不正確，同理B不正確，則D不正確；故選：C.【答案】C【分析】在空間四面體中，用向量加法法則表示，再結(jié)合投影向量的計算方法求解.故選：CA．30° B．45° C．60° D．90°【答