第十一章平面直角坐標(biāo)系1.有序數(shù)對的定義：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a，b）.2.平面直角坐標(biāo)系相關(guān)概念：1）平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直，并且原點(diǎn)重合的數(shù)軸，這樣就建立了平面直角坐標(biāo)系.2)x軸、y軸：水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向?yàn)檎较?；豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向?yàn)檎较?3）原點(diǎn)：兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn).4）坐標(biāo)平面：坐標(biāo)系所在的平面叫做坐標(biāo)平面.5）象限：x軸和y軸把坐標(biāo)平面分成四部分，每個(gè)部分稱為象限.按逆時(shí)針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.3.點(diǎn)的坐標(biāo)：對于坐標(biāo)軸內(nèi)任意一點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，有序數(shù)對A(a，b)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(a，b)4.點(diǎn)的坐標(biāo)特征（熱考內(nèi)容）點(diǎn)M（x，y）所處的位置坐標(biāo)特征象限內(nèi)的點(diǎn)點(diǎn)M在第一象限M（正，正）點(diǎn)M在第二象限M（負(fù)，正）點(diǎn)M在第三象限M（負(fù)，負(fù)）點(diǎn)M在第四象限M（正，負(fù)）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)點(diǎn)M在x軸上在x軸正半軸上M（正，0）在x軸負(fù)半軸上M（負(fù)，0）點(diǎn)M在y軸上在y軸正半軸上M（0，正）在y軸負(fù)半軸上M（0，負(fù)）點(diǎn)M在原點(diǎn)M（0，0）象限角平分線上的點(diǎn)點(diǎn)M在第一、三象限角平分線上M（x，y）且x＝y(tǒng)點(diǎn)M在第二、四象限角平分線上M（x，y）且x＝-y兩點(diǎn)連線與坐標(biāo)軸平行MN∥x軸（或MN⊥y軸）M、N兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等且橫坐標(biāo)不相等MN∥y軸（或MN⊥x軸）M、N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等且縱坐標(biāo)不相等5.點(diǎn)的坐標(biāo)變化對于平面直角坐標(biāo)系上任意一點(diǎn)P(x，y)變換方式具體變換過程變換后的坐標(biāo)平移變換（a＞0，b＞0）向左平移a個(gè)單位（x-a，y）向右平移a個(gè)單位(x+a，y)向上平移a個(gè)單位(x，y+a)向下平移a個(gè)單位(x，y-a)口訣：點(diǎn)的平移左減右加，上加下減.序號易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)題注意事項(xiàng)1混淆有序數(shù)對的概念1．春節(jié)期間，嘉嘉和淇淇去電影院觀看電影《哪吒之魔童鬧?！罚绻渭蔚淖?0排7號可以用表示，則表示淇淇的座位為排號．2．氣象臺為了預(yù)報(bào)臺風(fēng)，首先要確定臺風(fēng)中心的位置，下列說法能確定臺風(fēng)中心位置的是（

C

）A．西太平洋B．距氣象臺500海里C．北緯，東經(jīng)D．長江附近坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)a≠b時(shí)，有序數(shù)對（a，b）和（b，a）表示的是不同點(diǎn)的坐標(biāo).2混淆點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)1．已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到軸距離為5．2．已知第二象限的點(diǎn)，那么點(diǎn)P到x軸的距離為1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(a,b)，則點(diǎn)P到x軸的距離為b；點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為a；3未掌握坐標(biāo)系上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征而出錯(cuò)1．若點(diǎn)在y軸上，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．2．若點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．3．已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是或/或．1）x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即點(diǎn)P(x，y)在x軸上y=02）y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即點(diǎn)P(x，y)在y軸上x=0【易錯(cuò)點(diǎn)】已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，要分成在x軸，y軸上兩種情況來討論.4混淆點(diǎn)的坐標(biāo)的平移規(guī)律1．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，恰好與原點(diǎn)重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，長度為3的線段與x軸平行，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或．1）左右平移，橫坐標(biāo)改變(左減右加)，縱坐標(biāo)不變.2）上下平移，縱坐標(biāo)改變(上加下減)，橫坐標(biāo)不變.5將坐標(biāo)系平移與點(diǎn)的平移混淆1．已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)A(﹣1，5)，如果將平面直角坐標(biāo)系向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，那么平移后點(diǎn)A的坐標(biāo)是（B）A．(2，9) B．(﹣4，1) C．(2，1) D．(1，2)坐標(biāo)系向左平移相當(dāng)于點(diǎn)向右平移，坐標(biāo)系向上平移相當(dāng)于點(diǎn)向下平移，認(rèn)真讀題，分清坐標(biāo)系的平移與點(diǎn)的平移，掌握二者之間的區(qū)別與聯(lián)系.點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離1．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)某點(diǎn)到軸的距離為3，到軸的距離為4，且橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)異號，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為或．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離相等，則a的值是或3．已知距離求坐標(biāo)需要考慮到點(diǎn)的象限，如未告知點(diǎn)的限，則點(diǎn)的坐標(biāo)有兩種可能.重難點(diǎn)01有序數(shù)對表示位置/路線1．（24-25八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，是某文化廣場的平面示意圖，其中行政辦公樓的坐標(biāo)是，南城百貨的坐標(biāo)是．(1)請根據(jù)上述信息，畫出這個(gè)平面直角坐標(biāo)系；(2)寫出體育館、升旗臺、盤龍?jiān)沸^(qū)的坐標(biāo)；(3)小李現(xiàn)在的位置是，請?jiān)趫D中用字母標(biāo)出小李現(xiàn)在的位置．【答案】(1)見解析(2)體育館、升旗臺、盤龍?jiān)沸^(qū)(3)見解析【分析】本題主要考查了坐標(biāo)位置的確定，利用平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)準(zhǔn)確確定出坐標(biāo)原點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)行政辦公樓的坐標(biāo)是，南城百貨的坐標(biāo)是，確定國際大酒店為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出體育館、升旗臺、盤龍?jiān)沸^(qū)；（3）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系可知小李的位置．【詳解】（1）解：行政辦公樓的坐標(biāo)是，南城百貨的坐標(biāo)是，國際大酒店為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系；（2）解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系得體育館、升旗臺、盤龍?jiān)沸^(qū)（3）解：小李現(xiàn)在的位置是，如圖，點(diǎn)即為所求.2．（24-25六年級上·上海浦東新·期中）如圖，在的方格（每小格邊長為1）內(nèi)有1只甲蟲，它爬行規(guī)律總是先左右，再上下．規(guī)定：向右與向上為正，向左與向下為負(fù)．從A到B的爬行路線記為：，從B到A的爬行路線為：，其中第一個(gè)數(shù)表示左右爬行信息，第二個(gè)數(shù)表示上下爬行信息．(1)圖中（，），（，）；(2)若甲蟲的爬行路線為，計(jì)算甲蟲爬行的路程．(3)若甲蟲從點(diǎn)A出發(fā)，爬行路線依次為，，，，最終到達(dá)點(diǎn)P處，請?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P的位置．【答案】(1)，，B，(2)10(3)見解析【分析】本題考查坐標(biāo)確定位置；理解正數(shù)與負(fù)數(shù)在實(shí)際問題中的意義是解題的關(guān)鍵.（1）B到D向右走3個(gè)格，向下走2個(gè)格；C到D向左走2個(gè)格，向上走1個(gè)格；（2）先確定A到B，B到C，C到D的行走路線，再將所有路線長度相加即可；（3）根據(jù)題意，畫出路線圖即可.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，B到D的路線為，C到B的路線，故答案為：，，B，；（2）解：由A到B路線為，由B到C路線為，由C到D路線為，∴路程為；（3）解：如圖：3．（22-23八年級上·寧夏中衛(wèi)·期中）在一次“尋寶”游戲中，“尋寶”人在如圖所示的25個(gè)方格的漢字中尋找“寶藏”，如Ⅱ⑤表示“月”，Ⅴ①表示“光”．若“尋寶”人沿著“Ⅳ③→Ⅱ④→Ⅱ②→Ⅳ⑤→Ⅴ④”的路徑去尋找“寶藏”，則他找到的“寶藏”是什么？【答案】即他找到的“寶藏”是金筆．【分析】本題考查了利用有序數(shù)對表示位置，根據(jù)題意正確找出對應(yīng)漢字是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，Ⅳ③表示“寶”，Ⅱ④表示“藏”，Ⅱ②表示“是”，Ⅳ⑤表示“金”，Ⅴ④表示“筆”，若“尋寶”人沿著“Ⅳ③→Ⅱ④→Ⅱ②→Ⅳ⑤→Ⅴ④”的路徑去尋找“寶藏”可得“寶→藏→是→金→筆”即他找到的“寶藏”是金筆．4．（23-24七年級下·吉林·期末）下圖是游樂園一角的平面示意圖，圖中1個(gè)單位長度表示100m．(1)如果用有序數(shù)對表示跳跳床的位置，填寫下列游樂設(shè)施的位置：蹺蹺板______，摩天輪____，碰碰車_____；(2)秋千的位置是，請?jiān)趫D中標(biāo)出來；(3)旋轉(zhuǎn)木馬在大門以東，再往北處，請?jiān)趫D中標(biāo)出來．【答案】(1)，，(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了用有序數(shù)對表示位置；（1）根據(jù)題意找到蹺蹺板、摩天輪、碰碰車的位置即可；（2）根據(jù)位置標(biāo)出坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)位置標(biāo)出坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得蹺蹺板，摩天輪，碰碰車，故答案為：，，；（2）解：如圖所示，秋千的位置是，（3）解：如圖所示，旋轉(zhuǎn)木馬的位置是，重難點(diǎn)02利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解5．（24-25七年級下·安徽蕪湖·期末）點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在軸上，則的值為_____；(2)若點(diǎn)在第二象限，且點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和為9，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)0(2)【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．（1）在x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，據(jù)此列出方程求解即可；（2）第二象限內(nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)為負(fù)、縱坐標(biāo)為正，點(diǎn)到x軸的距離為該點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值，據(jù)此求出點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離，再根據(jù)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和為9建立方程求出x的值即可得到答案．【詳解】（1）解：點(diǎn)P在x軸上，，．故答案為：0；（2）解：在第二象限，點(diǎn)到x軸的距離為，到軸的距離為，點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和為9，，，代入得點(diǎn)的坐標(biāo)為．6．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知直線平行于軸，且，求的長．(3)試判斷點(diǎn)是否可能在第二象限，并說明理由．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)18(3)不可能，理由見解析【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，解一元一次不等式組，掌握坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出，求出，即可得出答案；（2）根據(jù)題意得出，求出，即可得出答案；（3）根據(jù)題意列出不等式組，再求解即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)在軸上，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）直線平行于軸，，解得，，；（3）不可能；理由：若點(diǎn)在第二象限，則，不等式組無解，點(diǎn)不可能在第二象限．7．（24-25八年級上·安徽六安·期中）已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)．(1)若點(diǎn)A在x軸上，求a的值；(2)若點(diǎn)A在第一象限，且到兩坐標(biāo)軸的距離和為9，請確定點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離．（1）由題意列方程，解之可得答案；（2）根據(jù)點(diǎn)A到兩坐標(biāo)軸的距離和為9，列方程解得即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A在x軸上，∴，∴；（2）解：∵點(diǎn)A在第一象限，且到兩坐標(biāo)軸的距離和為9，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．8．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知直線平行于軸，且的坐標(biāo)可以表示成，求的長；(3)試判斷點(diǎn)是否可能在第二象限，并說明理由．【答案】(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2)(3)可能，理由見解析【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，解一元一次不等式組，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)題意得出，求出，即可得出答案；（2）根據(jù)題意得出，求出，據(jù)此計(jì)算即可得出答案；（3）根據(jù)題意列出不等式組，再求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在y軸上，∴，解得，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）解：∵直線平行于軸，∴，解得，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，∴；（3）解：可能；理由：若點(diǎn)P在第二象限，則，解得，不等式組的解集為，∴點(diǎn)P可能在第二象限．9．（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）已知點(diǎn)，根據(jù)下列條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)點(diǎn)在軸上；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線軸．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）利用軸上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，其橫坐標(biāo)為，進(jìn)而得出的值，即可得出答案；（2）利用平行于軸直線的性質(zhì)，總坐標(biāo)相等，進(jìn)而得出的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：點(diǎn)在軸上，，解得：，，則；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線軸，，解得：，，則．10．（24-25八年級上·安徽六安·期中）已知點(diǎn)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線軸，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在第二象限，且它到軸、軸的距離相等，求的值．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)【分析】本題主要考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，（1）根據(jù)與軸平行的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等求解即可；（2）根據(jù)在第二象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和點(diǎn)到軸、軸的距離相等列出方程，解出的值，再代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)坐標(biāo)為，且軸，∴，解得，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：∵點(diǎn)在第二象限，∴，，又∵點(diǎn)到軸和軸的距離相等，∴，解得，∴．重難點(diǎn)03坐標(biāo)系中描點(diǎn)11．（23-24八年級上·安徽宿州·期中）如圖是北京市三所大學(xué)位置的平面示意圖，圖中小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形.若清華大學(xué)的坐標(biāo)為，北京大學(xué)的坐標(biāo)為．

(1)請?jiān)趫D中畫出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，并寫出北京語言大學(xué)的坐標(biāo)；(2)若中國人民大學(xué)的坐標(biāo)為，請?jiān)谧鴺?biāo)系中標(biāo)出中國人民大學(xué)的位置．【答案】(1)圖見解析，；(2)見解析．【分析】（）利用清華大學(xué)的坐標(biāo)為，北京大學(xué)的坐標(biāo)為畫出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而即可得結(jié)果；（）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的意義即可描出表示中國人民大學(xué)的坐標(biāo)即可得．本題考查了建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，解題的關(guān)鍵是正確理解如何建立平面直角坐標(biāo)系及特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【詳解】（1）建立的平面直角坐標(biāo)系如圖所示，北京語言大學(xué)的坐標(biāo)為；

（2）中國人民大學(xué)的位置如圖所示，12．（23-24八年級上·安徽合肥·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是．

(1)畫出，將向上平移1個(gè)單位長度，再向左平移2個(gè)單位長度，得到，畫出；(2)直接寫出的面積為________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平移變換，坐標(biāo)與圖形；（1）先畫出，分別找出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；（2）根據(jù)長方形的面積減去三個(gè)三角形的面積即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，，即為所求，

（2）解：為，故答案為：2．13．（24-25八年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）已知點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為．(1)請你在平面直角坐標(biāo)系中分別描出點(diǎn)A，B，C，D，并順次連接．(2)在（1）的作圖下，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)16【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)描點(diǎn)確定位置，連接解答即可．（2）利用分割法求面積解答即可．本題考查了坐標(biāo)與位置，圖形的面積，熟練掌握坐標(biāo)與位置，分割法求面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，畫圖如下：．（2）解：根據(jù)題意，得．14．（24-25七年級下·河北唐山·期中）“二十四節(jié)氣”，被譽(yù)為“中國的第五大發(fā)明”是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物．2022年北京冬奧會開幕式上以“二十四節(jié)氣”為主題的倒計(jì)時(shí)短片用“中國式浪漫”美學(xué)驚艷了世界，也讓全世界領(lǐng)略了中國古老歷法的獨(dú)特文化魅力．如圖，我們用坐標(biāo)來表示某些節(jié)氣．例：2025年立春用表示（注：2025年2月3日立春）．(1)用坐標(biāo)表示以下節(jié)氣．2025年驚蟄用B（___________，___________）表示，（注：2025年3月5日驚蟄）2025年清明用C（___________，___________）表示．（注：2025年4月4日清明）(2)在給出的坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)和點(diǎn)，并畫出三角形．(3)求三角形的面積．【答案】(1)3，5；4，4(2)見詳解(3)【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)系中描點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的坐標(biāo)，描出點(diǎn)，順次連接，即可求解；（3）根據(jù)三角形的面積等于邊長為2的正方形減去3個(gè)三角形的面積即可求解；(1)小問詳(2)小問詳(3)小問詳【詳解】（1）解：根據(jù)題意：，，故答案為：3，5；4，4；（2）解：如圖，描出點(diǎn)，順次連接，∴三角形即為所求；（3）解：如圖，∴三角形的面積為：．重難點(diǎn)04坐標(biāo)系中的平移問題15．（24-25七年級下·江西上饒·期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上（每個(gè)小網(wǎng)格都是1個(gè)單位長度），其中，A點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到，作出；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中的圖形平移以及三角形面積的割補(bǔ)法計(jì)算，熟練掌握平移規(guī)律和割補(bǔ)法求面積的思路是解題的關(guān)鍵．（1）要作出平移后的，需先確定三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律（向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減）得到對應(yīng)頂點(diǎn)、、的坐標(biāo)，最后順次連接這三個(gè)點(diǎn)．（2）利用割補(bǔ)法，用包含的矩形面積減去周圍多余三角形的面積來計(jì)算．【詳解】（1）解：先確定、坐標(biāo)，由圖可知，．向右平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)加；向下平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)減．平移后：平移后：平移后：順次連接、、，得到（作圖略，按坐標(biāo)找點(diǎn)連線即可）（2）解：16．（24-25七年級下·廣西防城港·期中）如圖所示，左、右兩幅圖案關(guān)于軸對稱，右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是和．(1)試確定左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)；(2)如果將右邊圖案沿軸向右平移個(gè)單位長度，那么它的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將發(fā)生什么變化？【答案】(1)左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是和；(2)它的左右兩朵花花心的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將變?yōu)楹停痉治觥勘绢}考查坐標(biāo)系中的對稱和平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律．（1）根據(jù)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)；（2）根據(jù)平移規(guī)律，即可得出花心坐標(biāo)發(fā)生的變化，以及變化后的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵左、右兩幅圖案關(guān)于軸對稱，右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是和，∴左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是和，答：左邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是和．（2）解：如果將右邊圖案沿軸向右平移2個(gè)單位長度，那么它的左右兩朵花花心的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，∵右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)分別是和，∴沿軸向右平移2個(gè)單位長度后，右邊圖案中的左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將變?yōu)楹?，答：它的左右兩朵花花心的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，左、右兩朵花花心的坐標(biāo)將變?yōu)楹停?7．（24-25七年級下·河北邯鄲·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．(1)在圖中畫出三角形；(2)將圖中的三角形平移后，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是．①點(diǎn)的坐標(biāo)是_____，點(diǎn)的坐標(biāo)是_____；②寫出一種將三角形平移到三角形的方法：______．【答案】(1)見解析(2)①；；②先向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位（答案不唯一）【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與平移．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移規(guī)律．（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)進(jìn)行描點(diǎn)，然后連線即可得出三角形，即可；（2）①根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和平移后點(diǎn)的坐標(biāo)是得出平移方式，然后求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②根據(jù)點(diǎn)A平移得出點(diǎn)，得出將三角形平移到三角形的方法即可．【詳解】（1）解：如圖，為所求作的三角形；（2）①∵點(diǎn)平移后點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位到，∴點(diǎn)B、C分別向右平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位到，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是；②∵點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位到，∴將三角形先向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位到三角形．18．（24-25七年級下·安徽蕪湖·期末）如圖為的方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度．有線段（端點(diǎn)、均在小正方形的頂點(diǎn)上），將線段平移得到線段，規(guī)定點(diǎn)移至點(diǎn)的位置，點(diǎn)移至點(diǎn)的位置（、均在小正方形的頂點(diǎn)上），設(shè)平移過程中線段掃過的面積為．(1)在圖1方形網(wǎng)格建立并畫出恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（_____，_____）；(2)在圖1中畫出線段，并直接寫出相對應(yīng)的的值；(3)若，請?jiān)趫D2中畫出線段．（注：只需畫出符合要求的一種情況即可）【答案】(1)見解析，1,3(2)圖見解析，(3)圖見解析【分析】（1）把點(diǎn)坐標(biāo)為，向下平移2個(gè)單位即可得到原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系解答即可；（2）根據(jù)平移規(guī)律作圖即可，利用分割法計(jì)算面積即可．（3）根據(jù)題意，作圖解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)坐標(biāo)為，向下平移2個(gè)單位即可得到原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如下：故點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)M，由把點(diǎn)坐標(biāo)為，向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)N，故，故答案為：1,3；（2）解：根據(jù)平移，畫圖如下：則即為所求；且；（3）解：，故將點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位即可，畫圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，平移計(jì)算，平行四邊形的判定和性質(zhì)，分割法求面積，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．19．（24-25七年級下·安徽蕪湖·期中）學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系后，李華制作了一件數(shù)學(xué)實(shí)踐作品，請按要求完成下列各題：(1)如圖平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，點(diǎn)先向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，請寫出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，并在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)注出來；(2)請你在平面直角坐標(biāo)系中按照順序依次連接，此時(shí)呈現(xiàn)出來的圖案即為李華的數(shù)學(xué)實(shí)踐作品，這是一個(gè)_______．（填寫圖案形狀的名稱）【答案】(1)圖見解析，(2)圖見解析，五角星【分析】本題主要考查了在網(wǎng)格圖與坐標(biāo)以及平移的知識，明確題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)給出的平移方法描點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)的位置即可求解；（2）依據(jù)給出的連線方法連線即可．【詳解】（1）解：作圖如下：由圖可知：坐標(biāo)．（2）解：按照順序依次連接，圖案如圖所示：五角星．重難點(diǎn)05求坐標(biāo)系中的圖形面積20．（24-25七年級下·安徽銅陵·期中）平面直角坐標(biāo)系中，，，，求四邊形的面積.【答案】【分析】本題考查了圖形與坐標(biāo)，畫出圖形，利用割補(bǔ)法，計(jì)算四邊形的面積即可，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：如圖，由圖可得.21．（24-25七年級下·廣東廣州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，將線段平移得到線段，點(diǎn)A與點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn)．(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)是______；(2)若點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且三角形的面積與三角形的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變換—平移：（1）根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn)，可得線段先向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到線段，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，根據(jù)三角形的面積與三角形的面積相等，得到關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，，點(diǎn)A與點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn)．∴線段先向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到線段，∵，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是，即；故答案為：（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∵，，∴，∴，∵三角形的面積與三角形的面積相等，∴，即，解得：或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．22．（24-25七年級下·重慶渝北·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，其中，滿足．(1)填空：_________，__________；(2)若在第四象限內(nèi)有一點(diǎn)，請用含的式子表示的面積；(3)在（2）條件下，線段與軸相交于，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是軸上的一動點(diǎn)，當(dāng)滿足的面積是的面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，2(2)(3)或【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是：（1）由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）設(shè)，分兩種情況討論：D在上方；D在C下方，然后根據(jù)割補(bǔ)法構(gòu)建關(guān)于m的方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案為：，2；（2）解：由（1）知，，∴，∵在第四象限，∴；（3）解：當(dāng)時(shí)，，∵的面積是的面積的2倍，∴，設(shè)，當(dāng)D在上方時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線，過A、B作y軸的平行線，與過D的平行線相交與M、N，則，解得，∴；當(dāng)D在C下方時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線，過A、B作y軸的平行線，與過D的平行線相交與M、N，則，解得，∴，綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．23．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，其中m，n滿足．(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸負(fù)方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，連接、，用含有t的式子表示的面積為S（直接寫出t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，過點(diǎn)A作，且．連接、，，當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)算式平方根和絕對值的非負(fù)性得到，，求出，，進(jìn)而求解即可；（2）首先求出，然后分兩種情形：如圖1中，當(dāng)時(shí)，如圖2中，當(dāng)時(shí)，根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，，求出，，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，然后求出，，然后根據(jù)的面積代數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：∵∴，解得，，∴，；（2）∵∴，∴，如圖1中，當(dāng)時(shí)，；如圖2中，當(dāng)時(shí)，；綜上所述，；（3）∵點(diǎn)P在線段上，∴∴當(dāng)時(shí)，解得∴∴如圖所示，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F∵∴∵∴∴的面積．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，算術(shù)平方根的非負(fù)性，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．重難點(diǎn)06點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律探索24．（24-25七年級下·安徽合肥·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一只電子狗從點(diǎn)出發(fā)，按照一定規(guī)律沿圖中的折線依次不斷的移動，第1次移動到點(diǎn)，第2次移動到點(diǎn)，第3次移動到點(diǎn)，第4次移動到點(diǎn)，…．(1)第5次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；第12次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；(2)第次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，第次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；（用含自然數(shù)的代數(shù)式表示）(3)若機(jī)器狗移動到某個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為3038，請用字母及下標(biāo)表示出該點(diǎn)，并寫出其坐標(biāo)．【答案】(1)(2)；(3)見解析，【分析】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，根據(jù)題意找到坐標(biāo)變化規(guī)律是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律寫出答案即可；（3）分兩種情況進(jìn)行解答分析即可．【詳解】（1）解：第1次移動到點(diǎn)，即第2次移動到點(diǎn)，，第3次移動到點(diǎn)，即第4次移動到點(diǎn)，即第5次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；則第12次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為即，即，故答案為：；（2）解：由（1）可知，第次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次移動到點(diǎn)的坐標(biāo)為；（用含自然數(shù)的代數(shù)式表示）故答案為：；；（3）解：由（2）知，當(dāng)時(shí)，解得（不是自然數(shù)，舍去），當(dāng)時(shí)，解得，符合題意，此時(shí)下標(biāo)為，所以該點(diǎn)及坐標(biāo)可記作．25．（24-25九年級下·安徽合肥·階段練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，按規(guī)律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合）．(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：______；(2)根據(jù)點(diǎn)，，，，…，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在上述按規(guī)律排列的等腰直角三角形中，是否存在某個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為？若存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，理由見解析【分析】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，得出坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察坐標(biāo)系中第四象限中的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求解；（2）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出，，進(jìn)而即可求解；（3）根據(jù)（1）得出，進(jìn)而代入，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，的坐標(biāo)，，故答案為：．（2）根據(jù)點(diǎn)，，，，…，由此可得∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）解：由，，，，…，∴當(dāng)解得：26．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，按圖中順序運(yùn)動，即，…，按這樣的運(yùn)動規(guī)律，完成下列任務(wù)：

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)在動點(diǎn)A的上述運(yùn)動過程中，若有連續(xù)四點(diǎn)，，，，請直接寫出，，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系為______，，，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)

(2)

【分析】本題主要考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律，分別歸納出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律成為解題的關(guān)鍵．（1）觀察點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律為橫坐標(biāo)逐次大1，縱坐標(biāo)四個(gè)為一個(gè)循環(huán)，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律為橫坐標(biāo)逐次大，縱坐標(biāo)四個(gè)為一個(gè)循環(huán)，∵，，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：

．（2）解：∵∴點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律為橫坐標(biāo)逐次大1，縱坐標(biāo)四個(gè)為一個(gè)循環(huán)，∴；，∴

．故答案為：

．27．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將變換成，第二次將變換成，第三次將變換成；已知變換過程中各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，，，．(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此規(guī)律再將變換成，則的坐標(biāo)為______，的坐標(biāo)為______，的面積為______．(2)按以上規(guī)律將進(jìn)行n次變換得到，則的坐標(biāo)為______，的坐標(biāo)為______；(3)的面積為______【答案】(1)，，48(2)，(3)【分析】此題考查了坐標(biāo)規(guī)律的探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，總結(jié)出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．（1）根據(jù)、、的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)即可，根據(jù)、、的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，總結(jié)出規(guī)律分別求出、的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)三角形面積公式以及、的坐標(biāo)，求解即可．【詳解】（1）解：、、．的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：3．故點(diǎn)的坐標(biāo)為：．又、、．的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：0．故點(diǎn)的坐標(biāo)為：．的面積為故答案為：，，48；（2）解：由、、，可以發(fā)現(xiàn)它們各點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)都是3．故的坐標(biāo)為：，由、、，可以發(fā)現(xiàn)它們各點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)都是0．故的坐標(biāo)為：；故答案為：，；（3）解：的坐標(biāo)為：，的坐標(biāo)為：，的面積為．故答案為：．重難點(diǎn)07坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用28．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）圍棋，起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，距今已有4000多年的歷史．如圖是某圍棋棋盤的局部，若棋盤是由邊長均為1的小正方形組成的，棋盤上點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)畫出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系；(2)分別寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(3)若將點(diǎn)B先向右平移2格，再向下平移3格得到點(diǎn)E，請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)E．【答案】(1)見解析(2)，(3)見解析【分析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形，正確得出原點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．（1）直接利用，得出原點(diǎn)的位置進(jìn)而得出答案；（2）利用所建立的平面直角坐標(biāo)系即可得出答案；（3）根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，再根據(jù)坐標(biāo)確定具體位置即可．【詳解】（1）解：平面直角坐標(biāo)系如圖：

；（2）解：由平面直角坐標(biāo)系可得，；（3）解∵將點(diǎn)先向右平移2格，再向下平移3格得到點(diǎn)E，∴E的坐標(biāo)為，∴在坐標(biāo)系的位置如圖所示．29．（22-23七年級下·遼寧營口·期中）為讓每個(gè)農(nóng)村孩子都能上學(xué)，國家實(shí)施了“農(nóng)村中小學(xué)寄宿制學(xué)校建設(shè)工程”，如圖是某寄宿制學(xué)校的平面示意圖，已知旗桿的位置是，實(shí)驗(yàn)室的位置是．

(1)請你畫出該學(xué)校平面示意圖所在的坐標(biāo)系；(2)辦公樓的位置是，教學(xué)樓的位置是，在圖中標(biāo)出辦公樓和教學(xué)樓的位置；(3)寫出食堂、圖書館的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)食堂，圖書館【分析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)找到坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系即可；（2）在建立的直角坐標(biāo)系中標(biāo)出辦公樓和教學(xué)樓的位置即可；（3）在建立的直角坐標(biāo)系中找到食堂、圖書館的位置，寫出坐標(biāo)即可．【詳解】（1）該學(xué)校平面示意圖所在的坐標(biāo)系如圖所示，

（2）辦公樓和教學(xué)樓的位置如圖所示，（3）食堂、圖書館的坐標(biāo)分別為、．【點(diǎn)睛】此題考查了平面直角坐標(biāo)系和點(diǎn)的坐標(biāo)等知識，正確建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．30．（24-25七年級下·河北秦皇島·期中）如圖，是一個(gè)簡單的平面示意圖，已知，，，是中點(diǎn)．(1)由圖可知，商場在嘉琪家北偏東方向處．請寫出學(xué)校和影院相對于嘉琪家的位置；(2)圖中距離嘉琪家距離相同的地方有哪些？(3)小慧家在嘉琪家東南方向處，請?jiān)趫D中標(biāo)出小慧家的位置．【答案】(1)學(xué)校在嘉琪家西北方向處；影院在嘉琪家南偏西方向處(2)學(xué)校，公園(3)見解析【分析】（1）確定方向角和距離即可描述學(xué)校和影院相對于嘉琪家的位置；（2）根據(jù)，是中點(diǎn)，得，結(jié)合，解答即可．（3）根據(jù)小慧家在嘉琪家東南方向，只需延長，再在上面截取即可確定小慧家的位置．本題考查了方向角和距離確定位置，線段的中點(diǎn)，熟練掌握方向角確定位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得學(xué)校在嘉琪家西北方向處；影院在嘉琪家南偏西方向處．（2）解：根據(jù)，是中點(diǎn)，得，由，故，故距離嘉琪家距離相同的地方有學(xué)校，公園．（3）解：根據(jù)小慧家在嘉琪家東南方向，只需延長，再在上面截取即可確定小慧家的位置，畫圖如下：31．（24-25七年級下·河北唐山·期中）【問題提出】小明想準(zhǔn)確描述學(xué)校各建筑物的位置，應(yīng)該怎樣操作呢？【動手操作】如圖是小明把學(xué)校以的比例尺繪制而成的平面示意圖，每個(gè)小方格的單位長度是，小明以正東為軸的正方向，正北為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系后，得到實(shí)驗(yàn)室的坐標(biāo)是，高中樓的坐標(biāo)是．【問題解決】（1）平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)應(yīng)為___________的位置（填寫建筑名稱）；（2）在圖中畫出此平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出初中樓的坐標(biāo)是___________；（3）用方向與距離表示校門相對于操場的位置是___________．（小方格的相對兩頂點(diǎn)的距離取140米）【拓廣延伸】（4）下午放學(xué)后，在初中樓下的小明同學(xué)以4米/秒的平均速度向操場跑去，參加體育鍛煉，問：小明需要多少秒到達(dá)操場？【答案】（1）圖書館；（2）見解析；；（3）校門在操場的南偏東，距離米；（4）小明需要100秒到達(dá)操場【分析】本題主要考查了實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置，正確建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．（1）即可得到平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)的位置；（2）根據(jù)高中樓和實(shí)驗(yàn)樓的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系即可得到答案；（3）根據(jù)方向角的表示方法，進(jìn)行解答即可；（4）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵實(shí)驗(yàn)室的坐標(biāo)是，高中樓的坐標(biāo)是，∴平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)應(yīng)為圖書館的位置；（2）由題意得，可以建立如下坐標(biāo)系；初中樓的坐標(biāo)是；（3）根據(jù)圖可知：校門在操場的南偏東，距離（米）；（4），（秒），答：小明需要100秒到達(dá)操場．重難點(diǎn)08坐標(biāo)與圖形綜合32．（24-25八年級上·江西撫州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，軸，軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且．(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．(2)若動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)長度單位的速度向上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中形成的三角形的面積是長方形面積的的時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動，求點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使三角形的面積與長方形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為3秒(3)存在，或【分析】本題考查了絕對值，平方的非負(fù)性，坐標(biāo)與圖形，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．（1）由，可得，解得，則，；（2）設(shè)，則，由題意知，，則，解得，（秒）；（3）由（2）可知設(shè)，得，由列方程，求出n的值即可．【詳解】（1）解：，，，解得，，，．故答案為：；；（2）解：設(shè)，則，由題意知，，，解得，（秒），點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為3秒；（3）解：由（2）可知設(shè)，則，，，解得或，或33．（24-25八年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)，軸，垂足為點(diǎn)．(1)求證：，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)與軸交于點(diǎn)，求證：；(3)與軸交于點(diǎn)，連接，試說明．【答案】(1)證明見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)證明見解析(3)見解析【分析】（1）先證明，結(jié)合與全等三角形的性質(zhì)可得答案；（2）如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，證明，，證明，從而可得結(jié)論；

（3）如圖2，在上截取，使得，連接．證明，可得，，再證明，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：軸，，，，，，，，又，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）證明：如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，，在和中，，，；（3）證明：如圖2，在上截取，使得，連接．∵，，∴，在和中，，，，，，則．由（2）可知，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．34．（24-25八年級上·安徽六安·期中）已知滿足，，直角頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在軸上．(1)如圖，若于垂直軸，垂足為點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，若軸恰好平分，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，猜想：與數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖③，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，使點(diǎn)在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸于，在滑動的過程中，兩個(gè)結(jié)論：為定值；為定值，只有一個(gè)結(jié)論成立，請你判斷正確的結(jié)論并直接寫出這個(gè)定值．（不需要證明）【答案】(1)；(2)，見解析；(3)結(jié)論成立，見解析．【分析】根據(jù)同角的余角相等，可證，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，，求出的長度，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；如下圖所示，延長、交于點(diǎn)，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，利用可證，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證；過點(diǎn)作，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，從而可得為定值；【詳解】（1）解：點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，，又，，，又垂直于軸，，在和中，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：．證明：如下圖所示，延長、交于點(diǎn)，軸恰平分，，又軸，，在和中，，，，，，，，又，，在和中，，，，；（3）解：為定值．證明：如下圖所示，過點(diǎn)作于E，，，又，，在和中，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，坐標(biāo)與圖形，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找到邊之間的關(guān)系．35．（24-25七年級下·福建廈門·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的四個(gè)頂坐標(biāo)分別為，，，，若且滿足．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位長度的速度勻速移動，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速移動，連接，，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，非負(fù)性的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出a、c的值，可得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)可求出b的值，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上和點(diǎn)P在x軸正半軸，點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方，兩種情況，先設(shè)出運(yùn)動時(shí)間，然后分別表示出兩個(gè)三角形的面積，根據(jù)兩個(gè)三角形的面積關(guān)系建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵，即平行軸，∴，∴；（2）解；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上時(shí)，，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，則，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸，點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，則，，∴，，∵，∴，解得；∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．重難點(diǎn)09中點(diǎn)坐標(biāo)36．（24-25八年級下·河南周口·期末）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．以為對角線的作矩形，點(diǎn)坐標(biāo)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)若點(diǎn)在第二象限內(nèi)，求的面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖2，若點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)．過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可求解；（2）連接，根據(jù)，即可求解；（3）由直線的解析式，設(shè)點(diǎn)；根據(jù)，求出；分類討論當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為對角線時(shí)，兩種情況即可求解；【詳解】（1）解：在中，令，則；令，則；∴；∵四邊形是矩形，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：連接，如圖所示：則，∵點(diǎn)在第二象限內(nèi)，∴；（3）解：直線的解析式為；設(shè)點(diǎn)；∵，，由題意得：，∴，解得：；∴，；當(dāng)為對角線時(shí)，，消去求得；當(dāng)為對角線時(shí)，，消去求得；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合問題，涉及了平行四邊形的存在性問題、勾股定理、一次函數(shù)的求解等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，需要學(xué)生具備扎實(shí)的幾何和函數(shù)基礎(chǔ)．37．（24-25七年級下·廣東潮州·期中）綜合與實(shí)踐（）【動手探索】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，，，連接，，，，，并依次取，，，，的中點(diǎn)，，，，.觀察圖形，直接寫出，，，，各點(diǎn)的坐標(biāo)；（）【觀察歸納】關(guān)于以上各線段兩端點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與該線段中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，猜想：若線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，線段的中點(diǎn)是，請用等式表示你所觀察的規(guī)律為__________，__________，并用，的坐標(biāo)驗(yàn)證規(guī)律是否正確；（）【實(shí)踐運(yùn)用】利用上面探索得到的規(guī)律解決問題：若點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；已知點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（），，，，；（），，驗(yàn)證見解析；（）；．【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，探索規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是通過觀察得到線段中點(diǎn)坐標(biāo)與線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)與線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系解決問題．（1）根據(jù)圖形讀出平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)，，，，的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)（1）線段中點(diǎn)坐標(biāo)與線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，可得線段的中點(diǎn)是的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別是，；因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，根據(jù)（1）中的規(guī)律驗(yàn)證即可；（3）根據(jù)點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用中的規(guī)律求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)規(guī)律可得：，，解方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】