決勝高考經(jīng)典一百題全解析第七章立體幾何（一）【百題7.1:線線角】在長方體ABCD?A1B1C1A.33B.66C.7由題意可得AB=解法一(平移直線法):將直線BC1平移至AD在△AB1D1角的余弦值為1414評:此方法是簡單線線角的常見解法.解法二(空間向量法):按O,x,得B0,所以cos知識鏈接:設(shè)兩異面直線方向向量為a,cos解法三(空間余弦定理):cos知識鏈接:空間余弦定理:在空間幾何體ABCD中,設(shè)異面直線AC、BD夾角為cos解法四(三余弦定理):將直線BC1平移至Acos∠知識鏈接:若三棱錐O?ABC中,∠AOC當(dāng)x=90簡單記為cos斜面角=cos水平角.cos豎直角證明:cos【同源練習(xí)】(1)(福州三模)在正方體ABCD?A1B1C1D1中,若P為B解:由空間余弦定理易得異面直線所成角余弦值為23（2）已知兩點A,B都在以PC為直徑的球O的表面上,AB⊥BC,AB=2,解:由空間余弦定理易得異面直線所成角余弦值為1010注:該題還會用到“直徑所對的角為直角”.通過這幾道題我們可以看出來,在線線角問題當(dāng)中,空間余弦定理可以說是“神一般”地存在,小題用空間余弦定理,大題異面直線角就用空間向量解決.【百題7.2:線面角】（浙江十校聯(lián)盟)如圖,在四棱錐P?ABCD中,△PAB是等邊三角形,底面ABCD是直角梯形,AB（1）①求證:FG//平面PAB②求線段FG的長;（2）若PC=3,求直線FG與平面解:(1)①如圖,取BC的中點I,連接FI,GI,則因為GI∩FI=又FG?平面GFI,所以FG//平面②由①可知,FI=由余弦定理得FG=(2)法一:取AB的中點O,連接PO,因為PO=CO=又PO⊥AB,所以AB⊥平面POC.因為AB?平面ABC,所以平面POC⊥如圖,延長CO到點H,使得PH⊥OH,所以PH⊥因為PB=BC=因為G是AD的中點,所以S△設(shè)點G到平面PBC的距離為?由等體積法可知?×37設(shè)直線FG與平面PBC所成的角為θ,由FG=7法二:取AB的中點O,連接PO,OC.因為PO=又PO⊥AB,OC⊥AB,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B如圖,延長CO到點H,使得PH⊥OH,所以PH⊥則P0故FG=因為PB設(shè)平面PBC的法向量為v=由v?PB=0,v?BC=所以直線FG與平面PBC所成角的正弦值為cos?入選理由:線面角問題是立體幾何的考察熱點,空間向量是主要的解決方法,但等體積法也非常好用。快速求法向量一一叉乘法:已知a=法向量n【同源練習(xí)】(四川卷)如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,點O為線段BD的中點。設(shè)點P在線段CA.33,1B.63解:直線OP與平面A1BD所成的角為α的取值范圍是由于sin∠所以sinα的取值范圍是【百題7.3:面面角】在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC?A1B1C1中,AA1=3AB,四邊形（1）證明:CD⊥（2）若AA1與底面A1B1解:(1)連接AC1交A1C于點因為BC1//平面A1CD,BC1又因為四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以E為AC所以D為AB的中點.又因為△ABC為等邊三角形,所以CD（2）過A作AO⊥平面A1B1C設(shè)AB=2,因為AA1與底面A1在Rt△AA1O因為AO⊥平面A1B1C又因為四邊形B1C1CB為矩形,所以BB因為AA1∩AO=A,AA因為A1O?平面AA1O,所以B1以O(shè)為原點,分別以O(shè)A1,OB1,則A1因為AB=A1因為AC所以C?設(shè)平面BA1C的法向量為n=x令x=3,得z=2,所以平面設(shè)平面A1CC1的法向量為m=令a=3,得b=?3,所以cos<n因為所求二面角為鈍角,所以二面角B?A1如何判斷銳鈍角:設(shè)平面α和β的法向量分別為m、n,在平面α和β內(nèi)各取一點當(dāng)向量AB與兩個法向量的夾角同為鈍角或銳角,即兩向量分別相乘(AB?m,當(dāng)向量AB與一個法向量的夾角為銳角、與另一個法向量的夾角為鈍角，即兩向量分別相乘AB?從而得名:同等異補(bǔ),即向量與法向量同號時二面角大小即為法向量的夾角大小,異號時則互補(bǔ)?！景兕}7.4:體積最值問題】（轉(zhuǎn)換頂點）（清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計劃）在四面體P?ABC中,△ABC為等邊三角形,邊長為3,解:如果我們直接求VP?ABC由題意可得點A的射影H恰好落在PC的中點上,易求得AH從而V【同源練習(xí):垂直最大】（1）在四面體ABCD中,若AD=DB=解:由題意可得當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時體積最大,設(shè)AB中點為可設(shè)DO=CO則V=x(2)在△PAB中,PA=PB=35,AB=6,解:由題意可得當(dāng)△PCD與底面ABCD由△PAB中,PA=PB=設(shè)△PCD的高為x,則S△VP?ABCD=（3）正△ABC的邊長為a,用任意直線l截△ABC與兩邊交于E、F,將△ABC解:當(dāng)l固定時,△CEF折起與平面ABEF垂直時,所成四棱錐有最大體積,此時△CEF的高當(dāng)高?=CD固定時,所有的直線l皆以C為圓心,?為半徑的圓相切,由此可知棱錐的體積要最大,必須四邊形ABEF的面積S最大,△CEF有最小面積,因此只需要考慮與AB設(shè)EF//AB,CG⊥AB所以EFV≤當(dāng)且僅當(dāng)2x2=3【百題7.5:平行與垂直】（成都一診16）四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形,點E是棱PD上一點,PE=3ED,若PF=λ解:如圖,連接BD,交AC于點