2025學年人教版九年級數(shù)學下大單元教學分層優(yōu)化練27.3位似（基礎練+提升練+拓展練+達標檢測）（解析版）知識點1、位似圖形兩個圖形不僅相似，而且對應點連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫作位似圖形，這個點叫作位似中心。（1）位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形．（2）位似圖形具有兩個特點：一是相似圖形；二是對應點的連線交于一點．（3）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小．題型1識別位似圖形例1．下列選項中的兩個圖形不是位似圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了位似圖形的判斷，判斷的方法是：連接對應點的連線是否交于同一點，如果交于同一點，則是位似圖形，對每項進行一一分析即可．【詳解】解：、連接兩個正六邊形對應點交于正六邊形的中心，故是位似圖形，故選項不符合題意；、連接兩個相似四邊形對應點交于點，故是位似圖形，故選項不符合題意；、連接兩個相似三角形對應點交于點，故是位似圖形，故選項不符合題意；、連接此兩個相似箭頭圖形的對應點不交于同一點，不是位似圖形，故選項符合題意．故選：．【變式11】．下列圖形中是位似圖形的是（

）【答案】B【分析】本題主要考查了位似圖形的識別，對應點連線交于一點的兩個相似圖形是位似圖形，據此求解即可．【詳解】解：A、對應點連線不交于一點，不是位似圖形，不符合題意；B、對應點連線交于一點，且兩個三角形是相似三角形，是位似圖形，符合題意；C、對應點連線不交于一點，不是位似圖形，不符合題意；D、對應點連線不交于一點，不是位似圖形，不符合題意；故選：B．【變式12】．下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①位似圖形都相似；②兩個等邊三角形一定是位似圖形；③兩個相似多邊形的面積比為，則周長的比為；④兩個圓一定是位似圖形；A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查位似，相似，掌握相關知識是解決問題的關鍵．根據概念逐項判斷即可【詳解】①位似圖形都相似，原命題正確，故此選項符合題意；②兩個等邊三角形不一定是位似圖形，原命題錯誤，故此選項不符合題意；④兩個圓一定是位似圖形，原命題正確，故此選項符合題意；故選：B．【變式13】．下列圖形中，不含有位似圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．【詳解】解：對應頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形．根據位似圖形的概念，、、三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形；中的兩個圖形不符合位似圖形的概念，對應邊不平行，故不是位似圖形．故選：．【點睛】此題考查了位似圖形的定義．注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應點的連線都經過同一點；③對應邊平行．題型2判斷位似中心A．點M B．點N C．點Q D．點P【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似點連線的交點是解題的關鍵．根據位似中心是位似點連線的交點判斷即可．【詳解】解：如圖，根據位似中心是位似點連線的交點，可知點P為位似中心．故選：D．【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中的位似變換，涉及位似中心的確定、位似圖形的繪制以及根據位似關系確定點的坐標．（1）連接、，交點即為；(1)請在方格圖中畫出位似中心；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖—位似變換：（1）對應點連線的交點即為位似中心；（2）利用位似變換的性質畫出圖形．(1)在圖中畫出位似中心（保留作圖痕跡）；【答案】(1)圖見解析【分析】本題考查了位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵．（1）根據位似圖形對應點連線交于一點，這個交點就是位似中心，則連接，，交于點即為所求；（2）利用位似比得出對應邊的比，由此即可得．【詳解】（1）解：如圖，位似中心即為所求．知識點2、位似圖形的性質（1）位似圖形的對應角相等，對應邊成比例．（2）位似圖形的對應點的連線相交于一點，即經過位似中心．（3）位似圖形的對應邊互相平行或在同一條直線上．（4）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比．題型3求兩個位似圖形的相似比【答案】故答案為：．【分析】本題考查的是位似變換的性質，根據位似變換的性質計算，得到答案．∴相似比為．【變式32】．如果把一個三角形的三邊的長擴大為原來的100倍，那么這個三角形的周長擴大為原來的倍．【答案】100【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，掌握知識點是解題的關鍵．【詳解】解：由題意，得，即這個三角形的周長擴大為原來的100倍；故答案為：100．【答案】已知兩個圖形是位似圖形，則其相似，根據相似比可求解．故答案為：題型4求位似圖形對應點的坐標【分析】本題主要考查了位似三角形的性質，解決此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質；由題可知兩個三角形相似，且大的三角形的邊長是短的2倍，進而得到答案即可；【分析】本題主要考查了坐標平面內的位似變換．掌握在平面直角坐標系中以原點為位似中心的坐標變化規(guī)律是解題的關鍵．根據在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似變換的相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或即可解答．【分析】本題要考查了位似圖形和圖象上的點的坐標特征、一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，先解得點A和B的坐標，利用位似變換可得結果．【答案】8點E的縱坐標是8．故答案為：8.題型5畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】該題考查了格點作圖，涉及軸對稱作圖，作位似圖形，作三角形的高，解題的關鍵是正確作圖．（2）取格點，連接交于點H，即可解答．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了位似，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是：故答案為：．【答案】【詳解】解：答案不唯一.如圖，畫法如下：（1）連接，，，，【點睛】本題考查作圖位似變換，解題的關鍵是掌握位似變換的性質．【答案】見解析【分析】根據位似作圖，分同側、異側兩種情況解答即可．本題考查了位似作圖，熟練掌握位似作圖的基本步驟是解題的關鍵．（2）同（1），分別作出點B的對應點與，點C的對應點與；題型6在坐標系中畫位似圖形、找位似中心【分析】本題考查了畫位似圖形，求位似圖形對應點坐標，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．根據位似圖形的性質和位似比，把M、N的橫縱坐標都分別除以得到它們對應點P、Q的坐標，再描出，然后順次連接O、P、Q即可．．(2)分別寫出A，B的對應點C，D的坐標；【答案】(1)見解析【分析】此題考查了位似變換的性質，還考查了學生的動手能力．題目比較簡單，注意數(shù)形結合思想的應用．（1）根據位似變換的性質，即可畫出位似三角形；（2）結合圖形，由位似變化的性質，即可求得；（3）結合圖形，由位似變化的性質，即可求得．【分析】本題考查了位似圖形的定義與作圖．（1）根據位似圖形的對應點的連線交于一點，該點即為位似中心即可求解；（2）根據位似圖形的定義和作圖方法即可作出圖形．(1)在圖中標出位似中心的位置；【答案】(1)畫圖見解析【分析】本題考查了利用位似變換作圖，確定位似中心，熟練掌握位似變換的性質準確找出對應點的位置是解題的關鍵．（1）連接并延長與的延長線相交，交點即為位似中心P；【詳解】（1）解：點的位置如圖所示題型7在坐標系中求位似圖形的相似比、周長比、面積比【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了位似變換的作圖，根據坐標確定位似比是解答此題的關鍵．（1）根據題意畫出位似圖形，即可求解；（2）根據相似比等于位似等于相應線段之比，即可求解．故答案為：．【答案】(1)見解析(3)【分析】本題主要考查了畫位似圖形，位似圖形的性質，熟知位似圖形的性質是解題的關鍵．（2）把點P的橫縱坐標分別乘以即可得到的坐標；（3）根據位似圖形的面積之比等于位似比的平方即可得到答案．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)；【分析】本題考查坐標與圖形變換旋轉，熟練掌握作旋轉圖形，旋轉的性質，作位似圖形是解題的關鍵．（1）根據旋轉的性質作圖求解即可；（2）根據位似的性質作圖即可；（3）根據位似圖形的性質求解即可．故答案為：；．【分析】本題考查坐標與位似，利用相似三角形的性質進行求解，熟練掌握位似圖形的性質，相似三角形的周長比等于相似比，是解題的關鍵：（2）根據相似三角形的周長比等于相似比，進行求解即可．知識點3、四種變換的異同圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的題型8識別圖形變換類型例2．皮影戲是中國民間戲劇，也是國家非物質文化遺產．如圖，用燈光照射獸皮或紙板做成的“人物”，屏幕上便出現(xiàn)影子，則實物與其影子之間的變換是（

）A．平移變換 B．軸對稱變換 C．位似變換 D．旋轉變換【答案】C【分析】本題考查了位似變換，解題的關鍵是理解位似變換的定義和特征．結合平移、軸對稱、位似、旋轉變換的定義，根據皮影戲中實物與影子的形成原理，判斷變換類型．【詳解】解：平移變換：圖形沿某一方向移動，對應點連線平行，不改變形狀、大小，不符合皮影中實物與影子的關系；軸對稱變換：圖形關于某直線對稱，對應點到對稱軸距離相等，皮影中無“對稱軸”類關系，不符合；旋轉變換：圖形繞某點旋轉，對應點到旋轉中心距離相等，皮影中并非繞點旋轉的關系，不符合；位似變換：是相似變換且對應點連線都經過同一位似中心．皮影戲中，燈光為位似中心，實物與影子相似，且實物各點與影子對應點的連線都經過燈光，符合位似變換的定義．綜上，實物與其影子之間的變換是位似變換，故選C．【變式81】．2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”為主題，寓意著事事如意、生生不息的美好祝愿．下圖為春晚主標識，通過雙“巳”對稱擺放形成如意的紋樣，它采用的數(shù)學變換是（

）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．位似【答案】B【分析】本題主要考查圖形的變換，熟練掌握平移、旋轉、軸對稱及位似是解題的關鍵；因此此題可根據平移、旋轉、軸對稱及位似可進行求解．【詳解】解：由圖可知：該圖采用的數(shù)學變換是旋轉；故選：B．【變式82】．電影制作中，通過改變物體的大小來模擬遠近變化，這類操作既可以幫助講述故事，也可以增加電影的觀賞性．這種原理利用到的圖形變換是（

）A．位似變換 B．平移變換 C．對稱變換 D．旋轉變換【答案】A【分析】本題考查圖形變換的位似變換，特別是位似變換在實際場景（電影制作）中的應用．【詳解】首先分析題目中提到的電影制作中通過改變物體大小模擬遠近變化這一現(xiàn)象；然后依次回顧平移變換、對稱變換、旋轉變換和位似變換的定義和特點．平移變換只是位置改變，大小和形狀不變，B項不符合題意；對稱變換是關于某條直線對稱，圖形的大小也未發(fā)生改變，C項不符合題意；旋轉變換是繞定點旋轉一定角度，同樣不涉及大小的變化，D項不符合題意；位似變換可以使圖形按照一定比例放大或縮小，與電影中物體大小變化模擬遠近的原理相符，A正確．BCD不符合題意．故選A．【變式83】．如圖，甲圖案變?yōu)橐覉D案，可以用（

）A．旋轉 B．平移、旋轉 C．位似、平移 D．軸對稱、旋轉【答案】D【分析】本題考查了平移、對稱、旋轉、位似等知識點，解題的關鍵是掌握相關知識靈活運用．在平面內，將一個圖形繞一點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉；軸對稱的特點是一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；平移是指在同一平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移；兩個圖形的對應點都交于一點，并且對應點到的距離的比值都相等的圖形，叫做位似圖形；根據旋轉、平移、軸對稱、位似圖形的定義進行判斷即可解答．【詳解】解：甲圖案先經過軸對稱，再繞根部旋轉一點角度即可得到乙，只有D符合題意，故選：D．題型9利用圖形變換求圖形中線段長度，周長、面積(1)畫圖并填空：連接線段，，發(fā)現(xiàn)如果一條直線平行于軸，那么這條直線上的所有點的_____坐標都相等；線段與軸的交點坐標是_____；(2)3.5；【分析】本題考查了坐標與圖形、平移的性質、三角形面積公式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）先作出圖形，結合圖形分析即可得解；【詳解】（1）解：如圖：【答案】(1)（3）根據題意分3種情況討論P點位置，利用全等三角形性質及判定即可得到本題答案．【點睛】本題主要考查了三角形綜合，折疊的性質，坐標與圖形，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形對應邊相等，對應角相等；折疊前后對應角相等；角平分線上的點到兩邊距離相等．【變式92】．在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于線段和軸上的點．【答案】(1)和【分析】本題考查了中心對稱圖形的性質、圓的性質等知識，熟練掌握以上知識和數(shù)形結合是解題的關鍵．（1）由題知“關聯(lián)線段”是關于P點成中心對稱的，根據中心對稱的性質即可得和是以點P為中心的“關聯(lián)線段”．【詳解】（1）解：如圖所示：∴若線段是以點P為中心的“關聯(lián)線段”，∴不可能在上，∴線段不是以點P為中心的“關聯(lián)線段”，綜上，以點P為中心的“關聯(lián)線段”是和，故答案為：和．∴點的縱坐標為．又∵點在上，(2)【分析】本題考查直角坐標系，坐標系中的位似變換，熟練掌握位似變換的性質是解題的關鍵．（1）利用位似的性質得出，，，再連接即可解決；（2）利用三角形的面積公式即可求解．題型10坐標與圖形綜合(1)求經過B、C兩點的直線的表達式．（2）根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求解即可．【答案】(1)見解析(3)的長度不會發(fā)生改變，的長度始終是9【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積計算以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等進行推導計算（1）根據同角的余角相等得出結論即可；【詳解】（1）解：如圖，又∵點B在第三象限，（3）解：的長度不會發(fā)生改變．即的長度始終是9．(1)求點的坐標；(3)秒或秒．【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、直角三角形的性質、圖形與坐標．因為點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿線段，向終點運動，所以要分點在線段上，點在點處，點在線段上運動三種情況求的表達式；（2）解：點從點出發(fā)，速度是每秒個單位長度，如下圖所示，如下圖所示，如下圖所示，（3）解：如下圖所示，如下圖所示，【分析】本題考查了坐標與圖形的性質、解一元一次方程、絕對值，（1）利用非負數(shù)的性質求出a，b的值，再利用三角形面積公式計算即可．題型11位似中的規(guī)律探究【答案】【分析】本題考查了位似變換，相似三角形的判定和性質，正方形的性質，找出規(guī)律是解題的關鍵．故答案為：．【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，正方形的性質，找到正確的規(guī)律是解決本題的關鍵．根據相似三角形對應邊成比例得到的正方形的邊長，進而表示正方形的面積，然后觀察得到的正方形的面積即可得到規(guī)律，從而得到結論．∴后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的倍，【變式113】【發(fā)現(xiàn)問題】數(shù)學小組在活動中，研究了一道有關相似三角形的問題．小強同學經過分析，思考后，將這個三角形放在平面直角坐標系中發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律．【提出問題】【分析、解決問題】（2）當時，請幫助小睿同學證明他的猜想．【深度思考】【分析】題目主要考查相似三角形的性質，坐標與圖形，二次函數(shù)的應用等，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質進行分類討論是解題關鍵．解得：；綜合①②③④可知，的值為或1．(1)求A，B兩點的坐標；(2)6【分析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標，坐標與圖形，利用數(shù)形結合的思想解決問題是關鍵．（1）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)，即可求出A，B兩點的坐標；（3）解：點P在y軸上，(1)求a，b的值；(2)連接，【答案】(1)6，3【分析】本題主要考查了二次根式的雙重非負性，偶次方的非負性，平面直角坐標系中三角形的面積，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點，解決此題的關鍵是合理的正確的計算．（1）根據二次根式的雙重非負性和偶次方的非負性即可得到答案；（2）①根據坐標求出對應線段的長度，即可得到三角形的面積；②根據一次函數(shù)的待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，把橫坐標代入即可求出答案；（3）根據三角形的面積得到不等式，求出不等式的解集即可∴點的橫坐標是4，【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，理解“平行四邊形對角頂點橫，縱坐標的和分別相等”是解題的關鍵．(1)點A的坐標為__________；點B的坐標為__________；和的位置關系是__________．【分析】本題考查的是坐標與圖形性質、平行線的性質、三角形內角和定理，掌握非負數(shù)的性質、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．（1）根據非負數(shù)的性質分別求出、，得到點坐標，根據坐標與圖形性質判斷和位置關系；（3）分點在點與中間、點在點的上方兩種情況，根據平行線的性質解答即可．∵、的縱坐標相同，點在軸上，∵點在上，一、單選題（每小題3分，共24分）A．與軸平行 B．與軸平行 C．與軸垂直 D．與軸平行或重合【答案】D【分析】本題主要考查了坐標與圖形，能根據兩點的坐標特征判斷過這兩點的直線與坐標軸的位置關系是解題的關鍵．故直線與軸的關系為：平行或重合；故選D．2．下列每個選項的兩個圖形中，不是位似圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似圖形，根據對應點的連線是否相交于一點即可判斷求解，掌握位似圖形的特點是解題的關鍵．故選：．A．1 B．3 C．9 D．27【答案】C【分析】本題考查的是位似變換、相似多邊形的性質、相似三角形的性質，熟記相似多邊形的周長比等于相似比是解題的關鍵．故選：C．【答案】B【分析】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或.根據位似圖形的坐標性質解答．故選：B．【答案】D【分析】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．根據位似變換的性質計算，判斷即可．故選：D．【答案】B【分析】本題主要考查了位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律，根據位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或，直接求解即可得到答案；故選：B．【答案】D【分析】本題考查坐標與位似圖形，根據以原點為位似中心的對應點之間的坐標關系，進行求解即可，注意分兩種情況進行討論.【詳解】∵位似中心為原點，相似比為，故選D.【答案】C【分析】本題考查了位似圖形中位似中心的確定，“位似圖形對應點的連線經過位似中心”，據此即可求解．故選：C二、填空題（每小題4分，共20分）【答案】9【分析】本題考查位似圖形，根據位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比，進行求解即可．故答案為：9【答案】【分析】本題考查了位似的性質，位似比等于相似比，位似三角形的面積比等于位似比的平方，解本題的關鍵是掌握位似的性質．根據位似的性質求解即可．故答案為：．【分析】本題考查了圖形與坐標，平行四邊形的性質等知識，利用數(shù)形結合的思想進行求解是解題的關鍵．根據以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質，分類