2025年線性代數(shù)信號處理中的線性代數(shù)試題一、判斷題（正確：√，錯(cuò)誤：×）（每小題2分，共10分）若A,B為n階方陣，則|A+B|=|A|+|B|.（×）可逆方陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A?必可逆。（√）n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是R(A)=n.（×）A為正交矩陣的充分必要條件是A?=A?1.（√）設(shè)A是n階方陣，且|A|=0，則矩陣A中必有一列向量是其余列向量的線性組合。（√）二、填空題（每空2分，共20分）A,B為3階方陣，若|A|=3，|B|=2，則|2AB?1|=24。行列式中元素a??的余子式M??和代數(shù)余子式A??的關(guān)系是A??=(-1)???M??。在5階行列式中，項(xiàng)a??a??a??a??a??所帶的正負(fù)號是正號。已知A=(\begin{pmatrix}2&0&1\-6&5&-2\end{pmatrix})，B=(\begin{pmatrix}4\-5\2\end{pmatrix})，則AB=(\begin{pmatrix}10\-49\end{pmatrix})。若A=(\begin{pmatrix}5&2\2&1\end{pmatrix})，則A?1=(\begin{pmatrix}1&-2\-2&5\end{pmatrix})。設(shè)矩陣(\begin{pmatrix}1&0&1&0&-8\0&1&-1&0&13\0&0&0&1&2\end{pmatrix})是4元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣，則Ax=b的通解為x=(\begin{pmatrix}-8\13\0\2\end{pmatrix})+k?(\begin{pmatrix}-1\1\1\0\end{pmatrix})（k?∈?）。R(A+B)≤R(A)+R(B)。若A是A的伴隨矩陣，則AA=|A|E。設(shè)A=(\begin{pmatrix}1&1&1\0&1&2\0&0&t-5\end{pmatrix})，則當(dāng)t≠5時(shí)，A的行向量組線性無關(guān)。方陣A的特征值為λ，方陣B=A2-4A+3E，則B的特征值為λ2-4λ+3。三、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1.已知4階行列式D=(\begin{vmatrix}1&0&4&2\1&1&2&1\-2&1&-2&2\1&-1&6&1\end{vmatrix})，求2A??+A??+A??+3A??。解：根據(jù)行列式按行展開定理，將第2行元素替換為(2,1,1,3)，構(gòu)造新行列式D'：[D'=\begin{vmatrix}1&0&4&2\2&1&1&3\-2&1&-2&2\1&-1&6&1\end{vmatrix}]計(jì)算D'：[\begin{align*}D'&=2\times\begin{vmatrix}0&4&2\1&-2&2\-1&6&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&4&2\-2&-2&2\1&6&1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&0&2\-2&1&2\1&-1&1\end{vmatrix}-3\times\begin{vmatrix}1&0&4\-2&1&-2\1&-1&6\end{vmatrix}\&=2\times(-12)-1\times(-24)+1\times(3)-3\times(10)=-24+24+3-30=-27\end{align*}]故2A??+A??+A??+3A??=-27。2.設(shè)矩陣A和B滿足AB=E+A2+B，其中A=(\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix})，求矩陣B。解：由AB-B=A2+E得(A-E)B=A2+E。計(jì)算A-E=(\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\1&0&0\end{pmatrix})，A2+E=(\begin{pmatrix}3&0&2\0&5&0\2&0&3\end{pmatrix})。因?yàn)锳-E可逆，其逆矩陣為(A-E)?1=(\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\1&0&0\end{pmatrix})，故[B=(A-E)?1(A2+E)=\begin{pmatrix}2&0&3\0&5&0\3&0&2\end{pmatrix}]四、（10分）求齊次線性方程組(\begin{cases}x?+x?+x?+x?=0\x?+x?-2x?-x?=0\x?-2x?+5x?=0\2x?+2x?+4x?+2x?=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系及通解。解：對系數(shù)矩陣A作初等行變換：[A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&1&-2&-1\1&-2&5&0\2&2&4&2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&0&-3&-2\0&-3&4&-1\0&0&2&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&-\frac{1}{3}\0&1&0&\frac{4}{3}\0&0&1&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]秩R(A)=3，基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量。令x?=3，得基礎(chǔ)解系ξ=(\begin{pmatrix}1\-4\0\3\end{pmatrix})。通解：x=kξ（k∈?）。五、（10分）設(shè)三元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣為(\begin{pmatrix}1&1&\lambda&\lambda2\0&\lambda-1&\lambda-1&\lambda-1\0&0&(\lambda-1)(\lambda-2)&(\lambda-1)(\lambda+1)\end{pmatrix})，討論當(dāng)λ取何值時(shí)，Ax=b無解、有唯一解和有無窮多解，并在無窮多解時(shí)求出通解。解：唯一解：當(dāng)(λ-1)(λ-2)≠0且λ-1≠0，即λ≠1且λ≠2時(shí)，R(A)=R((\widetilde{A}))=3，方程組有唯一解。無解：當(dāng)λ=2時(shí)，R(A)=2，R((\widetilde{A}))=3，方程組無解。無窮多解：當(dāng)λ=1時(shí)，增廣矩陣化為(\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix})，通解為x=(\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix})+k?(\begin{pmatrix}-1\1\0\end{pmatrix})+k?(\begin{pmatrix}-1\0\1\end{pmatrix})（k?,k?∈?）。六、（10分）判斷向量組A：α?=(\begin{pmatrix}3\2\-1\1\end{pmatrix})，α?=(\begin{pmatrix}1\2\-2\3\end{pmatrix})，α?=(\begin{pmatrix}7\2\-6\6\end{pmatrix})，α?=(\begin{pmatrix}-2\-4\1\-1\end{pmatrix})的線性相關(guān)性，若線性相關(guān)，求一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示。解：構(gòu)造矩陣A=(α?,α?,α?,α?)，作初等行變換：[A\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&3&-2\0&2&-2&-4\0&0&0&1\0&0&0&0\end{pmatrix}]R(A)=3<4，向量組線性相關(guān)。最大無關(guān)組為α?,α?,α?，且α?=3α?-α?+0α?。七、綜合計(jì)算（14分）已知二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+2x?2+4x?x?。（1）求二次型對應(yīng)的矩陣A及矩陣表示；解：A=(\begin{pmatrix}1&0&2\0&2&0\2&0&2\end{pmatrix})，矩陣表示為f(x)=x?Ax。（2）求A的特征值與全部特征向量；解：特征多項(xiàng)式|λE-A|=(λ-2)2(λ+1)，特征值λ?=λ?=2，λ?=-1。λ=2：解方程(2E-A)x=0，基礎(chǔ)解系ξ?=(0,1,0)?，ξ?=(2,0,1)?，特征向量k?ξ?+k?ξ?（k?,k?不全為0）。λ=-1：解方程(-E-A)x=0，基礎(chǔ)解系ξ?=(1,0,-1)?，特征向量k?ξ?（k?≠0）。（3）求正交變換x=Py化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出標(biāo)準(zhǔn)形；解：將ξ?,ξ?正交化、單位化，得η?=(0,1,0)?，η?=((\frac{2}{\sqrt{5}}),0,(\frac{1}{\sqrt{5}}))?，η?=((\frac{1}{\sqrt{2}}),0,(-\frac{1}{\sqrt{2}}))?。正交矩陣P=(η?,η?,η?)，標(biāo)準(zhǔn)形f=2y?2+2y?2-y?2。（4）判斷該二次型的正定性。解：特征值2,2,-1不全為正，二次型非正定。八、證明題（每小題5分，共10分）1.已知向量α?,α?,α?線性無關(guān)，證明β?=2α?+3α?，β?=α?+4α?，β?=5α?+α?線性無關(guān)。證明：設(shè)k?β?+k?β?+k?β?=0，即(k?+5k?)α?+(3k?+k?)α?+(4k?+k?)α?=0。由α?,α?,α?線性無關(guān)，得方程組(\begin{cases}k?+5k?=0\3k?+k?=0\4k?+k?=0\end{cases})，僅有零解k?=k?=k?=0，故β?,β?,β?線性無關(guān)。2.設(shè)A為n階矩陣，若A2=E，證明R(A+E)+R(A-E)=n。證明：由A2=E得(A+E)(A-E)=O，故R(A+E)+R(A-E)≤n。又R(A+E)+R(A-E)≥R[(A+E)+(A-E)]=R(2A)=R(A)，且A2=E?|A|=±1?R(A)=n，故R(A+E)+R(A-E)=n。九、應(yīng)用題（10分）某信號處理系統(tǒng)中，輸入信號x(t)經(jīng)線性變換后輸出y(t)=Ax(t)，其中A為