2025年線性代數(shù)詳解詳析版試題一、行列式（20分）（一）填空題（每小題4分）計(jì)算4階行列式$D_4=\begin{vmatrix}2&1&0&0\1&2&1&0\0&1&2&1\0&0&1&2\end{vmatrix}=$________。解析：按第一列展開(kāi)得遞推關(guān)系式$D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$，結(jié)合$D_1=2$，$D_2=3$，遞推得$D_3=4$，$D_4=5$。設(shè)$\alpha=(1,2,3)^T$，$\beta=(2,1,0)^T$，矩陣$A=\alpha\beta^T$，則行列式$|E+A|=$________。解析：$A$的秩為1，特征值為$\beta^T\alpha=4$，$0$，$0$，故$E+A$特征值為5，1，1，行列式$5×1×1=5$。（二）解答題（12分）證明：n階行列式$$D_n=\begin{vmatrix}x&-1&0&\cdots&0\0&x&-1&\cdots&0\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&0&\cdots&-1\a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots&x+a_1\end{vmatrix}=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$$證明：按第1列展開(kāi)得$D_n=xD_{n-1}+a_n(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}=xD_{n-1}+a_n$，結(jié)合$D_1=x+a_1$，歸納得證。二、矩陣（25分）（一）選擇題（每小題3分）設(shè)$A$為3階可逆矩陣，交換$A$的第1行與第2行得矩陣$B$，則$A^{-1}B$的伴隨矩陣為（）A.$-E$B.$E$C.$-P_{12}$D.$P_{12}$解析：$B=P_{12}A$，故$A^{-1}B=P_{12}$，伴隨矩陣$(P_{12})^*=|P_{12}|P_{12}^{-1}=-P_{12}=-A^{-1}B$，選A。（二）填空題（每小題4分）設(shè)分塊矩陣$M=\begin{pmatrix}A&B\O&C\end{pmatrix}$，其中$A$，$C$可逆，則$M^{-1}=$________。答案：$\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BC^{-1}\O&C^{-1}\end{pmatrix}$（三）解答題（11分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix}$，$B$為3階非零矩陣，且$AB=O$，求$t$的值及$B$的秩。解析：由$AB=O$知$B$的列向量為$Ax=0$的解。$A$的秩為1（$t=6$時(shí)）或2（$t≠6$時(shí)）。若$t≠6$，則$Ax=0$只有零解，與$B≠O$矛盾，故$t=6$，此時(shí)$r(B)\leqn-r(A)=2$，又$B≠O$，故$r(B)=1$或2。三、線性方程組（30分）（一）計(jì)算題（15分）設(shè)線性方程組$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_2+2x_3+2x_4=1\-x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}$$討論$a$，$b$為何值時(shí)方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解，并在無(wú)窮多解時(shí)求通解。解析：增廣矩陣經(jīng)初等行變換為$$\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\0&1&2&2&1\0&0&a-1&0&b+1\0&0&0&a-1&0\end{pmatrix}$$當(dāng)$a≠1$時(shí)，有唯一解；當(dāng)$a=1$且$b≠-1$時(shí)，無(wú)解；當(dāng)$a=1$且$b=-1$時(shí)，通解為$(-1,1,0,0)^T+k_1(1,-2,1,0)^T+k_2(1,-2,0,1)^T$（$k_1,k_2\in\mathbb{R}$）。（二）證明題（10分）設(shè)$A$是$m×n$矩陣，證明：$r(A^TA)=r(A)$。證明：只需證$A^TAx=0$與$Ax=0$同解。若$Ax=0$，則$A^TAx=0$；反之，若$A^TAx=0$，則$x^TA^TAx=||Ax||^2=0$，故$Ax=0$。四、向量組與線性空間（20分）（一）解答題（10分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,2,1,3)^T$，$\alpha_2=(4,-1,-5,-6)^T$，$\alpha_3=(1,-3,-4,-7)^T$，$\alpha_4=(2,1,-1,0)^T$，求其秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該組線性表示。解析：通過(guò)初等行變換化為行階梯形，得秩為2，極大無(wú)關(guān)組$\alpha_1,\alpha_2$，且$\alpha_3=-2\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_4=-\alpha_1+\alpha_2$。（二）應(yīng)用題（10分）設(shè)$\mathbb{R}^3$的兩組基為$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,1)^T$和$\beta_1=(1,0,1)^T$，$\beta_2=(0,1,1)^T$，$\beta_3=(1,1,0)^T$，求向量$\xi=(1,2,3)^T$在兩組基下坐標(biāo)的關(guān)系。解析：基變換矩陣$P=\begin{pmatrix}1&0&1\1&1&1\0&1&0\end{pmatrix}$，坐標(biāo)變換公式為$Y=P^{-1}X$，其中$X,Y$分別為$\xi$在$\alpha,\beta$下的坐標(biāo)。五、特征值與二次型（30分）（一）計(jì)算題（15分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix}$，求正交矩陣$Q$和對(duì)角矩陣$\Lambda$，使得$Q^TAQ=\Lambda$。解析：特征值$\lambda_1=4$（特征向量$(1,1,1)^T$），$\lambda_2=\lambda_3=1$（特征向量$(1,-1,0)^T,(1,0,-1)^T$），正交化后得$Q$，$\Lambda=\text{diag}(4,1,1)$。（二）證明題（15分）設(shè)$A$為$n$階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：（1）$A$正定的充要條件是存在可逆矩陣$B$，使得$A=B^TB$；（2）若$A$正定，$B$為$n$階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在可逆矩陣$P$，使得$P^TAP=E$且$P^TBP$為對(duì)角矩陣。證明：（1）正定矩陣合同于$E$，即$A=C^TEC=C^TC$，取$B=C$即可；反之，$B^TB$正定。（2）$A$正定，存在$P_1$使$P_1^TAP_1=E$，此時(shí)$P_1^TBP_1$為對(duì)稱矩陣，存在正交矩陣$P_2$使$P_2^T(P_1^TBP_1)P_2=\Lambda$，取$P=P_1P_2$即可。六、綜合應(yīng)用題（20分）某實(shí)驗(yàn)室培養(yǎng)兩種細(xì)菌，初始數(shù)量分別為$x_0,y_0$，設(shè)第$k$天的數(shù)量為$x_k,y_k$，滿足：$$\begin{cases}x_{k+1}=1.2x_k+0.5y_k\y_{k+1}=0.4x_k+1.1y_k\end{cases}$$（1）將上述模型表示為矩陣形式；（2）求矩陣的特征值與特征向量；（3）若初始數(shù)量為$(100,200)^T$，求第$k$天的數(shù)量表達(dá)式。解析：（1）$\begin{pmatrix}x_{k+1}\y_{k+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.2&0.5\0.4&1.1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_k\y_k\end{pmatrix}$；（2）特征值$\lambda_1=1.5$（特征向量$(5,4)^T$），$\lambda_2=0.8$（特征向量$(1,-1)^T$）；（3）初始向量分解為$4