第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025-2026學(xué)年重慶市永川區(qū)文理附中教共體九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.2025年10月31日23時(shí)44分，搭載神舟二十一號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙二十一運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，下列航天圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是（）A.中國(guó)火箭 B.中國(guó)探火

C.航天神舟 D.中國(guó)行星探測(cè)2.已知點(diǎn)P在⊙O外，且⊙O的半徑為5，則OP的長(zhǎng)可能是（）A.1 B.2 C.5 D.83.如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ACB=55°，則∠ABO的度數(shù)是（）A.30°

B.35°

C.40°

D.55°4.將拋物線y=x2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線表達(dá)式為（）A.y=（x+3）2+5 B.y=（x+3）2-5 C.y=（x-3）2+5 D.y=（x-3）2-55.如圖，一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶?jī)?nèi)液體的最大深度CD=2cm，則截面圓中弦AB的長(zhǎng)為（）

A. B.6cm C.8cm D.8.4cm6.2025年國(guó)慶節(jié)期間，重慶市游客數(shù)量再創(chuàng)新高，第一天游客數(shù)量為300萬(wàn)人，第三天游客數(shù)量為610萬(wàn)人.設(shè)平均增長(zhǎng)率為x,可列方程為（）A.300（1+x2）=610 B.300（1-x2）=610

C.300（1+x）+300（1+x）2=610 D.300（1+x）2=6107.已知拋物線y=x2-4x+5，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.拋物線開(kāi)口方向向上 B.當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大

C.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2 D.拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）8.如圖，一次函數(shù)y1=kx+n（k≠0）與二次函數(shù)的圖象相交于A，B（3，1）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式kx+n≤ax2+bx+c的解集為（）A.1≤x≤3

B.或x≥3

C.

D.x≤1或x≥3

9.如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上的點(diǎn)，Q為邊CD上的點(diǎn)，連接PQ，將線段PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)Q恰和點(diǎn)B重合，連接BQ交AC于點(diǎn)E.若正方形的邊長(zhǎng)為，AP=1，則PE的長(zhǎng)為（）A.

B.

C.1

D.10.已知多項(xiàng)式M=2x2-3x-2，多項(xiàng)式N=x2-ax+3，則下列結(jié)論正確的有（）

①若M=0，則代數(shù)式的值為-10；

②當(dāng)a=-3，x≥5時(shí)，代數(shù)式M-N的最小值為-10；

③當(dāng)a=0時(shí)，若M?N=0，則關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

④當(dāng)a=3時(shí)，若|M-2N+2|+|M-2N+15|=13，則x的取值范圍是.A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.關(guān)于x的一元二次方程x2-2025x+m=0有一個(gè)根是x=1，則m的值是

.12.拋物線y=（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．13.若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.14.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A′B′C，此時(shí)點(diǎn)A′恰好在AB邊上，則點(diǎn)B′與點(diǎn)B之間的距離為

.

15.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上半圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠OCE的角平分線交⊙O于點(diǎn)D.且⊙O的半徑為5，連接AD，則AD=

；若弦AC的長(zhǎng)為6，則CD=

.

16.一個(gè)兩位自然數(shù)m,若各位數(shù)字之和小于等于9，則稱為“完美數(shù)”.將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加所得的數(shù)放在m的前面，得到一個(gè)新數(shù)m′，那么稱m′為m的“前置完美數(shù)”；將m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加所得的數(shù)放在m的后面，得到一個(gè)新數(shù)mn，那么稱mn為m的“后置完美數(shù)”.記，例如：m=12時(shí)，m′=312，mn=123，.請(qǐng)計(jì)算F（32）=

；已知兩個(gè)“完美數(shù)”m=10a+b（6≤a≤9，0≤b≤9），n=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9），若F（m）是一個(gè)完全平方數(shù)，且2m+F（n）-8y=140，則n的最大值為

.三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題8分)

解方程：

（1）x2-2x-6=0；

（2）x（x-3）+x-3=0.18.(本小題8分)

如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)完成基本作圖：作出∠EAC的角平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，猜想線段BD與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

證明：∵四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD+______=180°，

∵∠BAD+∠EAD=180°，

∴______，

∵AD平分∠CAE，

∴______，

∴∠BCD=∠CAD，

又∵_(dá)_____（同弧所對(duì)的圓周角相等），

∴∠BCD=∠CBD，

∴BD=CD.19.(本小題10分)

關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求k的取值范圍；

（2）請(qǐng)選擇一個(gè)k的正整數(shù)值，并求出方程的根．20.(本小題10分)

如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，4），C（3，0）.

（1）將△ABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；

（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2C2，并寫出B2的坐標(biāo)；

（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)______.21.(本小題10分)

某服裝店以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件60元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元.

（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3640元，并且盡可能減少庫(kù)存，問(wèn)T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？22.(本小題10分)

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=75°，∠ABC=45°，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．

（1）求證：AD∥EC；

（2）若AD=6，求線段AE的長(zhǎng)．23.(本小題10分)

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿B→A方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，規(guī)定y1=S△PBQ，y2=S△DQC.

（1）請(qǐng)直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1，y2的圖象；并寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；

（3）根據(jù)函數(shù)，當(dāng)y1=y2時(shí)，直接寫出x的值為_(kāi)_____.

24.(本小題10分)

如圖，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（3，0），交y軸于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，已知直線BC上方拋物線上有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸與BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF∥x軸與y軸交于點(diǎn)F，求PE+PF的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將原拋物線沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，新拋物線與y軸交于點(diǎn)C′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)N是第一象限中新拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離的一半，問(wèn)在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得∠MNB′=∠C′B′N，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

25.(本小題10分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，AB=AC，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，將AE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AF.

（1）如圖1，若α=∠BAC=90°，連接BF，BF=3，BC=8，求△ABE的面積；

（2）如圖2，若α=2∠BAC=120°，連接CF交AB于H，求證：2AH+CE=AD；

（3）若在（2）的條件下，3CE=BC=9，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，將線段EP繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EQ，連接CQ，當(dāng)線段CQ取得最小值時(shí)，直接寫出四邊形BHQE的面積.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】2024

12.【答案】（2，1）

13.【答案】m＞-4

14.【答案】2

15.【答案】

16.【答案】2345

17.【答案】解：（1）∵x2-2x-6=0，

∴x2-2x=6，

配方得x2-2x+1=6+1，

x2-2x+1=7，

（x-1）2=7，

開(kāi)方得，

∴；

（2）∵x（x-3）+x-3=0，

∴（x-3）（x+1）=0，

則x-3=0或x+1=0，

解得：x1=3，x2=-1．

18.【答案】∠BCD

∠BCD=∠EAD

∠CAD=∠EAD

∠BCD=∠CAD

19.【答案】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△＞0，即△=9-4k＞0，

∴k＜；

（2）∵由（1）可知k＜，

∴選擇k等于2代入原方程得：x2-3x+2=0，

解方程得：x1=2，x2=1．

20.【答案】畫圖見(jiàn)解答；B1的坐標(biāo)為（-4，2）．

畫圖見(jiàn)解答；B2的坐標(biāo)為（-2，-4）．

（）

21.【答案】解：（1）設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元，依題意得：

（x+60-50）（300-10x）=3640，

解得：x1=4或x2=16，

∵要盡可能減少庫(kù)存，

∴x2=16不合題意，舍去．

∴T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高4元，

答：T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高4元；

（2）設(shè)利潤(rùn)為M元，由題意得：

M=（x+60-50）（300-10x）

=-10x2+200x+3000，

=-10（x-10）2+4000，

∴當(dāng)x=10時(shí)，M最大值

=4000元，

∴銷售單價(jià)：60+10=70（元），

答：當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)定為70元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元．

22.【答案】（1）證明：連接OC，

∵CE是⊙O的切線，

∴∠OCE=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠AOC=2∠ABC=90°，

∵∠AOC+∠OCE=180°，

∴AD∥EC；

（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于點(diǎn)F，

∴∠AFC=∠AOC=∠OCF=90°，

∴四邊形OAFC是矩形，

∵OA=OC，

∴四邊形OAFC是正方形，

∴AF=OA，

∵AD=6，

∴AF=AD=3，

∵∠AOC=90°，OA=OC，

∴∠OAC=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠BAD=∠BAC-∠OAC=75°-45°=30°，

∵AD∥EC，

∴∠E=∠BAD=30°，

在Rt△AFE中，

∴sinE=，

∴AE==6．

23.【答案】y1=S△PBQ=x2，y2=S△DQC=-4x+12，自變量x的取值范圍為0≤x≤3

圖象見(jiàn)解答

2

24.【答案】；

最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

存在點(diǎn)M，使得∠MNB'=∠C'B'N，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）或（6，-7）

25.【答案】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)M，

∵a=∠BAC=90°，

∴∠FAB=∠EAC，

在△FAB和△EAC中，

，

∴△FAB≌△EAC（SAS），

∴FB=CE，

又∵BF=3，BC=8，

∴BE=BC-CE=8-3=5，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴AM=BC=4．

∴S△ABE=BE?AM=×5×4=10．

（2）解：在BH上截取BP=CE，連接CP，

∵a=2∠BAC=120°，

∴∠BAC=60°，

∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC，

在△CBP和△ACE中，

，

∴△CBP≌△ACE（SAS），

∴CP=AE=AF，∠BPC=∠AEC=60°+∠BAE，

∴∠APC=180°-（∠BAE+60°），

∵∠FAB=120°-∠BAE，

∴∠APC=∠FAB，

在△AHF和△CPH中，

，

∴△AHF≌△PHC（AAS），

∴AH=PH，

∵BP=CE，

∴AB=BC=AD=AH+PH+CE=2AH+CE．

（3）解：如圖：

∵3CE=BC=9，

∴CE=3，BE=BC-CE=6，

連接EH，由（2）可知∠BAC=∠ABC=60°，BE=BH=6，

∴△BHE是等邊三角形，

∴∠BEH=60°，BE=HE，

將線段EP繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP1，

∴PE=P1E，∠PEP1=60°，即，∠HEP1=∠