專題03不等式考點(diǎn)01利用不等式性質(zhì)判斷其他不等式的真假（共3小題）（易錯(cuò)） 1考點(diǎn)02利用不等式的性質(zhì)求參(共3小題)（重點(diǎn)） 3考點(diǎn)03比較大小（共3小題） 4考點(diǎn)04對(duì)基本不等式的理解（共3小題） 5考點(diǎn)05利用基本不等式求最值（無條件）(共6小題)（重點(diǎn)） 6考點(diǎn)06利用基本不等式求最值——有附加條件（共7小題）(重點(diǎn)) 8考點(diǎn)07利用基本不等式解決恒成立或有解問題(共5小題)（重點(diǎn)） 12考點(diǎn)08證明不等式(共3小題)（難點(diǎn)） 15考點(diǎn)09解不含參的一元二次不等式、分式不等式及高次不等式（共6小題） 16考點(diǎn)10由不等式的解集求參（共4小題）（重點(diǎn)） 19考點(diǎn)11解含參的不等式(共4小題)（難點(diǎn)） 21考點(diǎn)12一元二次方程的實(shí)根分布(共4小題) 24考點(diǎn)13一元二次不等式恒成立或有解問題(共6小題)（重點(diǎn)） 26考點(diǎn)14不等式的整數(shù)解問題（共3小題）（難點(diǎn)） 30考點(diǎn)15不等式的實(shí)際應(yīng)用（共3小題） 32考點(diǎn)16與不等式有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題 35考點(diǎn)01利用不等式性質(zhì)判斷其他不等式的真假（共3小題）（易錯(cuò)）1．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知，，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個(gè)分子相同的分?jǐn)?shù)，分母越大，分?jǐn)?shù)值越小，以及不等式兩邊同時(shí)乘一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，不等式兩邊同時(shí)乘一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，再結(jié)合不等式的傳遞性，進(jìn)行大小比較即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，綜上，，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，綜上，和無法判斷正負(fù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.2．（24-25高一上·陜西西安·期中）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值討論各選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A，，所以，A選項(xiàng)正確；對(duì)于BCD，當(dāng)時(shí)，，，無意義，故BCD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.3．(多選)（24-25高一上·陜西西安·期末）已知，，則下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用特殊值判斷A、C，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、D.【詳解】對(duì)于A：如，，，，滿足，，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：如，，，，滿足，，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，，所以，故D正確.故選：BD考點(diǎn)02利用不等式的性質(zhì)求參(共3小題)（重點(diǎn)）4．（24-25高一上·江蘇泰州·期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，∴，又，∴，即的取值范圍是.故選：C.5．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋海?，兩式相加，得?故答案為：6．（24-25高一上·北京·期中）設(shè)實(shí)數(shù)滿足：，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍?考點(diǎn)03比較大小（共3小題）7．（24-25高一上·廣西北?！て谥校┮阎?，則（填“”或“”）【答案】>【分析】作差法比較大小.【詳解】，故.故答案為：>8．（24-25高一上·福建莆田·期中），，，則有.（請(qǐng)?zhí)睢啊?、“”、“”、“”、“”）【答案】【分析】利用作差法可得出、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.9．已知，試比較與的大小.【答案】【分析】利用兩個(gè)數(shù)都大于0,直接利用作商比較其大小即可.【詳解】，，.兩數(shù)作商，.考點(diǎn)04對(duì)基本不等式的理解（共3小題）10．（24-25高一上·北京·期末）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】AD通過分析符號(hào)可完成判斷；B由基本不等式可判斷選項(xiàng)正誤；C由做差法可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，因，則同號(hào)，但由題不能判斷同為正或同為負(fù)，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故B正確對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A分析，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，，則D錯(cuò)誤；故選：B11．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2 D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【分析】利用基本不等式的條件、取等號(hào)的條件逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，不能取到等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，，D錯(cuò)誤.故選：B12．（24-25高一上·貴州貴陽·期中）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．過點(diǎn)作垂直于的弦，連接．可證，因而．由于小于或等于圓的半徑，我們教材中利用該圖作為一個(gè)說法的幾何解釋，這個(gè)說法正確的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．對(duì)，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立D．對(duì)，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合小于或等于圓的半徑求解即可.【詳解】由題意，由于小于或等于圓的半徑，是圓的直徑，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C.考點(diǎn)05利用基本不等式求最值（無條件）(共6小題)（重點(diǎn)）13．（24-25高一上·山西·期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由，然后利用基本不等式求最大值．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為1.故選：C.14．（24-25高一上·天津和平·期末）若且，則的最大值為（

）A． B．0 C．2 D．8【答案】B【分析】利用不等式的基本條件“一正，二定，三相等”，對(duì)式子配湊完再提個(gè)負(fù)號(hào)即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)，解得：或（舍），即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B15．（24-25高一上·陜西漢中·期末）若，且，則（

）A．有最小值為 B．有最大值為C．有最小值為 D．有最大值為【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.故選：D.16．（24-25高一下·陜西·期末）實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知的范圍，然后將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.17．若，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.18．已知，則的最小值為.【答案】【分析】將變形為，換元，令，構(gòu)造均值不等式求解即可.【詳解】，令，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.考點(diǎn)06利用基本不等式求最值——有附加條件（共7小題）(重點(diǎn))19．（24-25高一上·浙江溫州·期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)，展開根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B20．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且滿足，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)橹?、，且滿足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.21．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，則的最小值為（

）．A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：A22．（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足，則的最小值為（

）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】利用，結(jié)合基本不等式求和的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C23.(多選)已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】A，利用變形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式變形為，利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，對(duì),，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，B錯(cuò)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得，故的最大值為，C對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D正確故選：ACD.24．（24-25高一上·浙江紹興·期中）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是.【答案】【分析】表示，再利用的代換解出最小值即可.【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值是.故答案為：25．（24-25高一上·吉林長春·期末）已知，，，則的最小值為.【答案】【分析】法一：由題意可得，則，又，則，化簡(jiǎn)后借助基本不等式計(jì)算即可得；法二：由題意可得，再借助權(quán)方和不等式計(jì)算即可得.【詳解】法一：借助基本不等式“1”的活用：由，，，則，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即、時(shí)，等號(hào)成立.法二：借助權(quán)方和不等式：由，，，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.考點(diǎn)07利用基本不等式解決恒成立或有解問題(共5小題)（重點(diǎn)）26．（2025·吉林延邊·一模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)題目等式變形得，再利用乘“1”法即可得到答案.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù),滿足，所以，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以．故選：B．27．（24-25高一下·安徽馬鞍山·開學(xué)考試）已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】不等式恒成，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故.故選：.28．（24-25高一上·安徽亳州·階段練習(xí)）對(duì)一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【分析】由題意可得，求得即可.【詳解】因?yàn)閤，，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的最小值是.故選：B.29．（24-25高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求不等式左側(cè)的最小值，根據(jù)不等式恒成立只需右側(cè)小于左側(cè)的最小值，應(yīng)用基本不等式求左側(cè)最小值，再解一元二次不等式求范圍.【詳解】由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故原不等式最小值為8，由于題設(shè)不等式恒成立，則，即，所以.故答案為：30．（24-25高一上·山東臨沂·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為或.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)且滿足時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由不等式解的結(jié)構(gòu)特征可得且和是方程的兩個(gè)根即可由根與系數(shù)的關(guān)系求解.（2）先由（1）結(jié)合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解該不等式即可得解.【詳解】（1）由題可知，且和是方程的兩個(gè)根，所以，此時(shí)原不等式為即，該不等式解集為或，符合，所以.（2）由（1）得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以有最小值為8.因?yàn)楹愠闪?，所以即，解方程得或，所以不等式的解集?所以滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)08證明不等式(共3小題)（難點(diǎn)）31．（24-25高一上·貴州貴陽·期中）（1）比較與的大??；（2）已知，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用作差法比較大??；（2）根據(jù)，得到，再由，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，從而得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，又，所以，得證.32．（24-25高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)證明即可；（2）應(yīng)用作差法比較大小，即可證.【詳解】（1）由，則，故，由，則，故，所以，得證.（2）由，而，所以，即，得證.33．證明姐妹不等式：(1)；(2)．【分析】不等式也可以表示為和，利用錯(cuò)位相乘可得，進(jìn)而可證，第二個(gè)不等式可以按照第一個(gè)來證明.【證明】（1）不等式也可以表示為，利用可得，（錯(cuò)位相乘），得，即．（2）不等式可以表示為．由(1)同理得，，即．考點(diǎn)09解不含參的一元二次不等式、分式不等式及高次不等式（共6小題）34．（2025高一·全國·專題練習(xí)）不等式的解集為.【答案】{或}.【分析】直接利用一元二次不等式的解法計(jì)算即可.【詳解】原不等式等價(jià)于不等式組，解第一個(gè)不等式得或，解第二個(gè)不等式得.故原不等式的解集為{或}.35.（24-25高二下·重慶·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】移項(xiàng)得，然后轉(zhuǎn)化為且，利用一元二次不等式求解即可.【詳解】由移項(xiàng)通分得：，則且，從而解得：或，即不等式的解集為.故答案為：36．（2025·上海黃浦·三模）不等式的解集為．【答案】【分析】應(yīng)用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集.【詳解】由題設(shè)，而，所以，則，即解集為.37．（24-25高一上·安徽亳州·階段練習(xí)）不等式的解集為．【答案】或【分析】將所求不等式變形為，利用“穿針引線”法可得出原不等式的解集.【詳解】由可得，即，如下圖所示：由“穿針引線”法可知，原不等式的解集為或.故答案為：或.38．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解（1）（2）；根據(jù)分式不等式的解法即可求解（3）.【詳解】（1），又，所以，即不等式的解集為；（2）方程中，，該方程無解，所以不等式的解集為；（3），解得或，即原不等式的解集為.39．（24-25高一上·湖南邵陽·期中）解下列一元二次不等式（本題答案必須用集合表示）(1)；(2)(3)．【答案】(1)或，(2)(3)或【分析】（1）（2）根據(jù)一元二次不等式的解的特征，即可求解，（3）根據(jù)分式不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由可得，解得或，故不等式的解為或，（2）由可得，即，解得，故不等式的解為（3）由得，故或，故不等式的解為或考點(diǎn)10由不等式的解集求參（共4小題）（重點(diǎn)）40．（24-25高一上·天津·期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，所以的兩個(gè)根為1，2，所以由韋達(dá)定理有，解得，所以不等式，即不等式或.故選：A.41．（24-25高一上·云南文山·期中）若關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】依題意可得為關(guān)于的一元二次方程的兩根且，利用韋達(dá)定理得到，再代入，解得即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次不等式的解集為或，所以為關(guān)于的一元二次方程的兩根且，所以，所以，則不等式即，因?yàn)椋?，即，解得，所以不等式的解集?故選：B.42.(多選)（23-24高一上·廣東珠?！て谥校┮阎P(guān)于的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為或【答案】BD【分析】由題意可得1和5是方程的兩根，且，利用韋達(dá)定理可得與的關(guān)系，然后逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】由題意可得1和5是方程的兩根，且，由韋達(dá)定理可得，得，對(duì)于A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不等式，即，即，得，所以不等式的解集是，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由不等式，得，即，則，得或，即解集為或，故D正確.故選：BD.43．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.【解析】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價(jià)于，則解集為，故選：D.考點(diǎn)11解含參的不等式(共4小題)（難點(diǎn)）44．（24-25高一上·廣東廣州·期中）關(guān)于的不等式：，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【答案】【分析】將不等式分解因式可得答案.【詳解】由得，由，得，解得，或，所以不等式的解集為.故答案為：45．（23-24高一上·北京·期末）求解下列關(guān)于的不等式，并寫出不等式的解集(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析.【分析】（1）將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組求解.（3）分類討論解含參數(shù)的不等式.【詳解】（1）不等式，化為，解得，所以原不等式的解集為.（2）不等式化為：或，解，得，即；解，得，即且，所以原不等式的解集為.（3）不等式，當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式為，解得或；當(dāng)時(shí)，不等式為，若，則；若，則無解；若，則，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.46．（24-25高一上·廣東廣州·期中）設(shè)函數(shù).(1)若，且集合中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值集合；(2)解關(guān)于的不等式；【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）由題設(shè)有且僅有一個(gè)根，討論參數(shù)a，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)值.（2）由題設(shè)，應(yīng)用分類討論求一元二次不等式的解集.【詳解】（1）函數(shù)，又有且只有一個(gè)元素，則方程有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，即，則，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，即，則，滿足題設(shè)，所以的取值集合為.（2）依題意，，整理得，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.47．（24-25高一上·福建南平·期中）設(shè).(1)若，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，直接利用二次不等式的解法額可得出原不等式的解集；（2）將所求不等式變形為，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【詳解】（1）若，則由，解得，所以不等式的解集為.（2）不等式，即，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，則，解原不等式可得；當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得或；當(dāng)時(shí)，原不等式即為，即恒成立；當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.考點(diǎn)12一元二次方程的實(shí)根分布(共4小題)48．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于2的相異實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為，根據(jù)滿足的條件列不等式組，解不等式組即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為,則由根與系數(shù)的關(guān)系，知所以由題意知，即，解得.故選：B49．（24-25高一上·重慶·期中）“”是“一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)根”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)一元二次方程的兩個(gè)正實(shí)根分別為、，由題意可得，解得，因?yàn)?，所以，“”是“一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)根”的必要不充分條件.故選：B.50．（24-25高一上·浙江·期中）關(guān)于的方程有兩根，其中一根小于2，另一根大于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合一元二次函數(shù)及其方程的性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組，即可求解．【詳解】設(shè)，則由題意可知，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．51．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知方程有一正根一負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)兩根之積小于0列不等式，求解可得結(jié)果.【詳解】設(shè)方程的兩根為，由韋達(dá)定理得.∵方程有一正根一負(fù)根，∴，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，此時(shí)，符合題意.故答案為：.考點(diǎn)13一元二次不等式恒成立或有解問題(共6小題)52．（23-24高二下·浙江·期中）關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】即不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象與x軸相切或在x軸上方，據(jù)此可得答案.【詳解】因關(guān)于的不等式的解集為，則圖象與與x軸相切或在x軸上方，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解集不是R則.故選：B53．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出原命題的否定，然后根據(jù)存在量詞命題的真假性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，命題“，”為真命題，所以，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以.故選：A54．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的最值性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，令，則，其圖象開口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，即，即，解得，所以的取值范圍是，故選：C.55．（23-24高一上·甘肅白銀·期中）若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值集合是.【答案】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及判別式求解即可.【詳解】由題意，可得，即，則實(shí)數(shù)的取值集合是.故答案為：.56．（24-25高一上·重慶·期中）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】分離參數(shù)，然后將不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【詳解】法一：原不等式可化為，因?yàn)椴坏仁皆谟薪?，所以；令，則；令，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以.法二：令，則即可；由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可知，，所以或，解得或，所以.故答案為：57．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值為.【答案】【分析】條件可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再求的最大值即可確定的范圍.【詳解】由不等式在上恒成立，得在上恒成立，所以在上恒成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，故的最小值為.故答案為：.58．已知關(guān)于的不等式.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式對(duì)任意恒成立，并說明理由；(2)若不等式對(duì)于恒成立，求m的取值范圍；(3)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【詳解】（1）原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于恒成立，則需且，無解，所以不存在實(shí)數(shù)對(duì)任意恒成立.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，且，所以，所以的取值范圍是.（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，成立，解得或，所以的取值范圍是.考點(diǎn)14不等式的整數(shù)解問題（共3小題）(難點(diǎn))59．（24-25高一上·江蘇南京·期中）若關(guān)于的不等式有5個(gè)負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】整理可得，結(jié)合題意分析可知不等式解集為，且，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，若不等式?個(gè)負(fù)整數(shù)解，則不等式解集為，且，解得，所以的取值范圍是.故選：A.60．（24-25高一上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解不等式可得或，再解不等式，進(jìn)而分三種情況討論，結(jié)合交集的定義求解即可.【詳解】由，即，解得或，由，即，當(dāng)時(shí)，不等式為，無解；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，結(jié)合題意，此時(shí)原不等式組的解集為，且僅有一個(gè)整數(shù)解，所以，即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，結(jié)合題意，要使不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則，即，綜上所述，k的取值范圍為，故選：D61．（24-25高一上·安徽合肥·期中）關(guān)于x的不等式的整數(shù)解恰有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口方向和根的判別式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，從而得到不等式，求出答案.【詳解】關(guān)于的不等式等價(jià)于，此不等式整數(shù)解恰有2個(gè)，則有且有，故有，令即得，故不等式的解集為，因?yàn)?，所以，所以解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，可得，解得．故答案為：．考點(diǎn)15不等式的實(shí)際應(yīng)用（共3小題）62．（24-25高一上·重慶·期中）某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就減少2000本.(1)試確定雜志的定價(jià)區(qū)間使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元？(2)假定雜志的成本是每本1元（不計(jì)其它成本），試確定雜志提價(jià)后的價(jià)格，使雜志銷售的利潤最大？【答案】(1)(2)元【分析】（1）設(shè)雜志提價(jià)后的價(jià)格，根據(jù)題意列出銷售總收入后建立不等式，即可解得結(jié)果；（2）設(shè)雜志提價(jià)后的價(jià)格為，列出雜志銷售的利潤表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在何處取最大值.【詳解】（1）設(shè)雜志提價(jià)后的價(jià)格是每本（）元，則，即，解得，所以雜志定價(jià)位于內(nèi)，能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元.（2）設(shè)雜志提價(jià)后的價(jià)格是每本（）元，則

=（），所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以雜志提價(jià)后價(jià)格為每本元時(shí)，雜志銷售的利潤最大.63．（24-25高一上·河北石家莊·開學(xué)考試）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．

(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商店按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少元時(shí)利潤最大？最大利潤是多少？(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【答案】(1)(2)當(dāng)單價(jià)為元時(shí)，取得最大利潤為元(3)件【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得正確答案.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的單價(jià).（3）根據(jù)已知條件列不等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得銷售量的最小值.【詳解】（1）設(shè)，由圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，由解得.所以每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式是.（2）若，則利潤，其開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，利潤取得最大值為，所以當(dāng)單價(jià)為元時(shí)，取得最大利潤為元.（3）由（2）得利潤，由整理得，即，解得，銷售量是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，銷售量最小，且最小值為件.64．（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）某主播在直播平臺(tái)上銷售一款成本為每件24元的商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該主播按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少元時(shí)利潤最大？最大利潤是多少？(3)若該主播要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【答案】(1)(2)單價(jià)定為元時(shí)利潤最大，最大利潤為元(3)【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得正確答案.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的單價(jià).（3）根據(jù)已知條件列不等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得銷售量的最小值.【詳解】（1）設(shè)，由圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，由解得.所以每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式是.（2）若單價(jià)不低于成本價(jià)24元，且不高于50元銷售，則，則利潤，其開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，利潤取得最大值為，所以當(dāng)單價(jià)為元時(shí)，取得最大利潤為元.（3）由（2）得利潤，又該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則，整理得，即，解得，銷售量是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，銷售量最小，且最小值為件.考點(diǎn)16與不等式有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題65．古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用