24.4弧長和扇形面積（第1課時)（導學案）（解析版）（1）經歷探索弧長和扇形面積計算公式的過程，了解并會應用公式解決問題。（2）從學生熟知的圓的周長和面積公式入手進行推導，培養(yǎng)學生的探索和歸納能力。了解公式后，能用公式解決問題，訓練學生的數學運用能力。（3）讓學生體驗數學與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學習數學的興趣，提高他們的學習積極性，同時提高大家的運用能力。重點:弧長及扇形面積計算公式的推導及應用。難點:弧長及扇形面積計算公式的應用。第一環(huán)節(jié)自主學習溫故知新：2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱??；圓的一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。【學法指導】自研課本P111113頁內容(一)與弧長相關的計算1.弧是圓的一部分，弧長就是圓周長的一部分，在半徑為的圓中，1°的圓心角所對的弧長是多少？2.在半徑為的圓中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圓心角所對的弧長是多少？1°的圓心角所對的弧長是，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圓心角所對的弧長分別是的2、3、90、180、270、360倍。3.在半徑為的圓中，n°的圓心角所對的弧長是多少？注意:用弧長公式計算時，要注意公式中n的意義:n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位.（二）與扇形面積相關的計算1.扇形是圓的一部分，扇形面積就是圓面積的一部分，在半徑為的圓中，圓心角為1°的扇形面積是多少？2.在半徑為的圓中，圓心角為2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面積是多少？3.在半徑為的圓中，圓心角為n°的扇形面積是多少？注意:用扇形面積公式計算時，要注意公式中n的意義:n表示1°圓心角的倍數，它和弧長公式一樣是不帶單位.4.你發(fā)現了扇形的弧長公式與面積公式有什么聯(lián)系嗎?5.一條弧與過它兩端點的弦組成的封閉圖形叫弓形，怎樣求弓形的面積？弓形的面積是扇形的面積與三角形面積的和或差.自研課本P111113頁內容典型例題例1．制造彎形管道時，經常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖中的管道的展直長度L(結果取整數).【分析】將實際問題轉化為數學問題，按中心線計算管道的展直長度等于中間的弧長與兩邊的線段長的和。例2如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積.(結果保留小數點后兩位)【分析】將實際問題轉化為數學問題，連接OA，OB，截面上有水部分的面積等于扇形面積減去三角形面積。【詳解】解:如圖，連接OA，OB，過點O作弦AB的垂線，垂足為D，交于點C，連接AC.又AD⊥DC,∴AD是線段OC的垂直平分線，∴AC=AO=OC.120πx0.6/4B.0D=0.12π/x0.6√3x0.3≈0.22(m2).第二環(huán)節(jié)合作探究1.討論在半徑為的圓中，1°的圓心角所對的弧長是多少？2°、3°、90°、180°、270°、360°的圓心角所對的弧長是多少？n°的圓心角所對的弧長是多少？2.討論在半徑為的圓中，圓心角為1°的扇形面積是多少？圓心角為2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面積是多少？圓心角為n°的扇形面積是多少？3.討論弧長公式與扇形的面積公式有什么聯(lián)系嗎?扇形面積公式的另一種表示方法是什么以？4.討論怎樣求弓形的面積？【詳解】（1）解：∵是半圓O的直徑，∵是半圓O的切線，答：的度數是；課本練習1.弧長相等的兩段弧是等弧嗎?2.如圖，有一段彎道是圓弧形的，道長是12m，弧所對的圓心角是81°.這段圓弧所在圓的半徑R是多少米(結果保留小數點后一位)?3.如圖。正三角形ABC的邊長為a，D，E，F分別為BC，CA，AB的中點，以A，B，C三點為圓心，一長為半徑作圓.求圖中陰影部分的面積.練習答案：1.不一定.1.(2025?山西)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別以點B，C為圓心、BC的長為半徑畫弧，與BA，CA的延長線分別交于點D，E．若BC＝4，則圖中陰影部分的面積為()A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BC＝4，∴AB＝AC＝2∴S陰影BC故選：D．2.（2025.山東煙臺）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，中心為點O，以點O為圓心，以AB長為半徑作圓心角為120°的扇形，則圖中陰影部分的面積為16π3【詳解】解：連接OA、OE、OF，過點O作OM⊥AF于點M，如圖所示：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°∴△OAF和△OEF為等邊三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°，∴∠OEF＝∠OAF＝60°，∵OM⊥AF，∴AM＝FM=1∴OM=4∴S△OAF=1∵∠BAF＝120°，∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°，∴∠OAG＝∠OEH，∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°，∴∠GOA＝∠EOH，∴△GOA≌△HOE，∴S△GOA＝S△HOE，∴S△GOA+S四邊形AOHF＝S△HOE+S四邊形AOHF，∴S五邊形AGOHF＝S四邊形AOEF=2S∴S陰影＝S扇形﹣S五邊形AGOHF=120π×=16π答案為：16π33.（2025.河北）如圖1，圖2，正方形ABCD的邊長為5．扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，且不與點D重合，半徑OE＝2，點E，F分別在邊AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交線段OB于點M，記為EMF．（1）如圖1，當AE＝3時，求∠EMF的度數；（2）如圖2，當四邊形OEMF為菱形時，求DE的長；（3）當∠EOF＝150°時，求EMF的長．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為邊長為5的正方形，∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，∵AE＝3，∴DE＝2，∵DE＝DF，∴DE＝DF＝2．∵OE＝OF＝2，∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，∴四邊形OEDF為正方形，∴∠EOF＝90°，∴∠EMF=1（2）連接EF，交BD于點H，如圖，∵四邊形OEMF為菱形，∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，∵OM＝OE＝OF＝2，∴△OEM，△OFM為等邊三角形，∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，∴EH＝2×3∵四邊形ABCD為邊長為5的正方形，∴BD平分∠ADC，∴∠ADB＝45°，∴